简介

奇怪值是矩阵中的一个十分重要的概念，个别是通过奇怪值合成的办法来失去的，奇怪值合成是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵合成法，在统计学和信号处理中十分的重要。

在理解奇怪值之前，让咱们先来看看特征值的概念。

相似矩阵

在线性代数中，相似矩阵是指存在类似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^-1AP=B，则称矩阵A与B类似，记为A~B。

对角矩阵

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,...,an) 。对角矩阵能够认为是矩阵中最简略的一种，值得一提的是：对角线上的元素能够为 0 或其余值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包含和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且后果仍为对角阵。

可对角化矩阵

可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵 A 类似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P ⁻¹AP 是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。

特征值

设A为n阶矩阵，若存在常数及n维非零向量x，使得Ax=x，则称是矩阵A的特征值，x是A属于特征值的特征向量。

一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。

即特征向量被施以线性变换 A 只会使向量伸长或缩短而其方向不被扭转。

一个线性变换通常能够由其特征值和特征向量齐全形容。特色空间是雷同特征值的特征向量的汇合。

特色合成

特色合成（Eigendecomposition），又称谱合成（Spectral decomposition）是将矩阵合成为由其特征值和特征向量示意的矩阵之积的办法。须要留神只有对可对角化矩阵才能够施以特色合成。

令 A 是一个 N×N 的方阵，且有 N 个线性无关的特征向量 q_i(i=1,…,N)。这样， A 能够被合成为: A= QQ^-1

其中 Q 是N×N方阵，且其第 i列为 A 的特征向量 。如果A的所有特征向量用x1,x2 … xm来示意的话，那么Q能够示意为：$\left[x_1,x_2,…,x_m\right]$, 其中x是n维非零向量。

是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值，也即_ii=_i。 也就是$\left[\begin{matrix}_1 … 0\\… … …\\0 … _m \end{matrix}\right]$

这里须要留神只有可对角化矩阵才能够作特色合成。比方 $\left[\begin{matrix}11\\01 \end{matrix}\right]$不能被对角化，也就不能特色合成。

因为 A= QQ^-1 ，能够看做A被合成为三个矩阵，也就是三个映射。

如果当初有一个向量x，咱们能够得出上面的论断：

$Ax=QQ^{-1}x$

Q是正交矩阵，正交阵的逆矩阵等于其转置,所以$Q^{-1}$ = $Q^T$.$Q^T$对x的变换是正交变换，它将x用新的坐标系来示意，这个坐标系就是A的所有正交的特征向量形成的坐标系。比方将x用A的所有特征向量示意为：

$x=a_1x_1+a_2x_2+…+a_mx_m$

则通过第一个变换就能够把x示意为$[a_1 a_2 ... a_m]^T$。

$QQ^{-1}x=Q\left[\begin{matrix}x_1^T\\x_2^T\\…\\…\\x_m^T \end{matrix}\right](a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+…+a_mx_m)=Q\left[\begin{matrix}a_1\\a_2\\…\\a_m \end{matrix}\right]$

而后，在新的坐标系示意下，由两头那个对角矩阵对新的向量坐标换，其后果就是将向量往各个轴方向拉伸或压缩:

$Q\left[\begin{matrix}a_1\\a_2\\…\\a_m \end{matrix}\right]=Q\left[\begin{matrix}_1 … 0\\… … …\\0 … _m \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a_1\\a_2\\…\\a_m \end{matrix}\right]=Q\left[\begin{matrix}_1a_1\\_2a_2\\…\\_ma_m \end{matrix}\right]$

如果A不是满秩的话，那么就是说对角阵的对角线上元素存在0，这时候就会导致维度进化，这样就会使映射后的向量落入m维空间的子空间中。

最初一个变换就是Q对拉伸或压缩后的向量做变换，因为Q和$Q^{-1}$是互为逆矩阵，所以Q变换是$Q^{-1}$变换的逆变换。

特征值的几何意义

一个矩阵乘以一个列向量相当于矩阵的列向量的线性组合。一个行向量乘以矩阵，相当于矩阵的行向量的线性组合。

所以向量乘以矩阵之后，相当于将这个向量进行了几何变换。

之前讲了 是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值，也即_ii=_i。 也就是$\left[\begin{matrix}_1 … 0\\… … …\\0 … _m \end{matrix}\right]$

这些特征值示意的是对向量做线性变换时候，各个变换方向的变换幅度。

奇怪值 Singular value

如果A是m n阶矩阵，q=min(m,n)，AA的q个非负特征值的算术平方根叫作A的奇怪值。

奇怪值合成SVD

特征值合成能够不便的提取矩阵的特色，然而前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的状况下，就须要用到奇怪值合成了。先看下奇怪值合成的定义：

$A=UV^T$

其中A是指标要合成的m n的矩阵，U是一个 n n的方阵， 是一个n m 的矩阵，其非对角线上的元素都是0。$V^T$是V的转置，也是一个n n的矩阵。

奇怪值跟特征值相似，在矩阵中也是从大到小排列，而且奇怪值的缩小特地的快，在很多状况下，前10%甚至1%的奇怪值的和就占了全副的奇怪值之和的99%以上了。也就是说，咱们也能够用前r大的奇怪值来近似形容矩阵。r是一个远小于m、n的数，这样就能够进行压缩矩阵。

通过奇怪值合成，咱们能够通过更加大量的数据来近似代替原矩阵。

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