希尔伯特空间
先来说一下什么是希尔伯特空间。
这个概念听起来高大上，其实是个非常简单的概念。
先说什么是线性空间
线性空间
线性空间即定义了数乘和加法的空间。这个就是具备线性构造的空间。有了线性空间的概念之后，因为无数乘和加法，所以空间中能够找到一组基底可能通过线性组合失去空间中所有的点。
度量空间和赋范空间
间隔的定义必须满足如下三个条件：
- d(x,y)≥0;d(x,y)=0 的充要条件是x=y即非负性
- d(x,y)=d(y,x);对称性
- d(x,z)+d(z,y)≥d(x,y) 满足三角不等式。
定义了间隔的空间叫度量空间。
定义了间隔的线性空间叫线性度量空间
接下来再定义范数||x||，范数的定义必须满足：
- ||x||≥0即非负性
- ||x||=||||x||
- ||x||+||y||≥||x+y||满足三角不等式
所以范数这个概念，能够看成从零点到x的间隔，同时加上第二条||x||=||||x|| ，即数乘能够提取进去。
所以：
** 由范数能够定义间隔，即d(x,y)=||x−y||，然而间隔不能够定义范数
因为间隔的定义，不满足范数的第二条条件，范数是比间隔更具体的一个货色（水果和寒带水果）**
定义了范数的空间，叫赋范空间和度量空间。另外齐备的赋范空间叫巴拿赫空间。
而定义了范数的线性空间，叫赋范线性空间