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本文将阐明金融数学中的R 语言优化投资组合，因子模型的实现和应用。

具备繁多市场因素的宏观经济因素模型

咱们将从一个蕴含单个已知因子（即市场指数）的简略示例开始。该模型为

其中显式因子ft为S＆P 500指数。咱们将做一个简略的最小二乘（LS）回归来预计截距和加载：

大多数代码行用于筹备数据，而不是执行因子建模。让咱们开始筹备数据：

 # 设置开始完结日期和股票名称列表begin_date <- "2016-01-01"end_date <- "2017-12-31"# 从YahooFinance下载数据data_set <- xts()for (stock_index in 1:length(stock_namelist))  data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],                                             from = begin_date, to = end_date, head(data_set)#>                AAPL  AMD      ADI     ABBV AEZS        A       APD       AA       CF#> 2016-01-04 98.74225 2.77 49.99239 49.46063 4.40 39.35598 107.89010 23.00764 35.13227#> 2016-01-05 96.26781 2.75 49.62508 49.25457 4.21 39.22057 105.96097 21.96506 34.03059#> 2016-01-06 94.38389 2.51 47.51298 49.26315 3.64 39.39467 103.38042 20.40121 31.08988#> 2016-01-07 90.40047 2.28 46.30082 49.11721 3.29 37.72138  99.91463 19.59558 29.61520#> 2016-01-08 90.87848 2.14 45.89677 47.77789 3.29 37.32482  99.39687 19.12169 29.33761#> 2016-01-11 92.35001 2.34 46.98954 46.25827 3.13 36.69613  99.78938 18.95583 28.14919head(SP500_index)#>              index#> 2016-01-04 2012.66#> 2016-01-05 2016.71#> 2016-01-06 1990.26#> 2016-01-07 1943.09#> 2016-01-08 1922.03#> 2016-01-11 1923.67plot(SP500_index) 

 # 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)N <- ncol(X)  # 股票数量T <- nrow(X)  # 天数

当初咱们筹备进行因子模型拟合。LS拟合很容易在R中实现，如下所示：

 beta <- cov(X,f)/as.numeric(var(f))alpha <- colMeans(X) - beta*colMeans(f)sigma2 <- rep(NA, N)print(alpha)#>              index#> AAPL  0.0003999086#> AMD   0.0013825599#> ADI   0.0003609968#> ABBV  0.0006684632#> AEZS -0.0022091301#> A     0.0002810616#> APD   0.0001786375#> AA    0.0006429140#> CF   -0.0006029705print(beta)#>          index#> AAPL 1.0957919#> AMD  2.1738304#> ADI  1.2683047#> ABBV 0.9022748#> AEZS 1.7115761#> A    1.3277212#> APD  1.0239453#> AA   1.8593524#> CF   1.5702493

或者，咱们能够应用矩阵表示法进行拟合，咱们定义和扩大因子。而后最小化

 t(X) %*% F_ %*% solve(t(F_) %*% F_)  #>              alpha      beta#> AAPL  0.0003999086 1.0957919#> AMD   0.0013825599 2.1738304#> ADI   0.0003609968 1.2683047#> ABBV  0.0006684632 0.9022748#> AEZS -0.0022091301 1.7115761#> A     0.0002810616 1.3277212#> APD   0.0001786375 1.0239453#> AA    0.0006429140 1.8593524#> CF   -0.0006029705 1.5702493E <- xts(t(t(X) - Gamma %*% t(F_)), index(X))  # 残差

另外，咱们能够简略地应用R为咱们实现工作：

 cbind(alpha = factor_model$alpha, beta = factor_model$beta)#>              alpha     index#> AAPL  0.0003999086 1.0957919#> AMD   0.0013825599 2.1738304#> ADI   0.0003609968 1.2683047#> ABBV  0.0006684632 0.9022748#> AEZS -0.0022091301 1.7115761#> A     0.0002810616 1.3277212#> APD   0.0001786375 1.0239453#> AA    0.0006429140 1.8593524#> CF   -0.0006029705 1.5702493

可视化协方差矩阵

乏味的是，可视化对数收益率[算术解决误差]以及残差的预计协方差矩阵。让咱们从对数收益率的协方差矩阵开始：

 main = "单因子模型对数收益的协方差矩阵")

咱们能够察看到所有股票都是高度相干的，这是市场因素的影响。为了查看股票相干关系，咱们绘制相干图：

plot(cov2cor(Psi),         main = "残差协方差矩阵") 

 cbind(stock_namelist, sector_namelist)  # 股票的行业#>       stock_namelist sector_namelist         #>  [1,] "AAPL"         "Information Technology"#>  [2,] "AMD"          "Information Technology"#>  [3,] "ADI"          "Information Technology"#>  [4,] "ABBV"         "Health Care"           #>  [5,] "AEZS"         "Health Care"           #>  [6,] "A"            "Health Care"           #>  [7,] "APD"          "Materials"             #>  [8,] "AA"           "Materials"             #>  [9,] "CF"           "Materials"

乏味的是，咱们能够察看到对执行的主动聚类能够正确辨认股票的行业。

评估投资资金

在此示例中，咱们将基于因子模型评估几种投资基金的绩效。咱们将规范普尔500指数作为明确的市场因素，并假如无风险收益为零 rf = 0。特地是，咱们思考六种交易所交易基金（ETF）：

咱们首先加载数据：

 # 设置开始完结日期和股票名称列表begin_date <- "2016-10-01"end_date <- "2017-06-30"# 从YahooFinance下载数据data_set <- xts()for (stock_index in 1:length(stock_namelist))  data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index], head(data_set)#>                 SPY   XIVH     SPHB     SPLV     USMV      JKD#> 2016-10-03 203.6610 29.400 31.38322 38.55683 42.88382 119.8765#> 2016-10-04 202.6228 30.160 31.29729 38.10687 42.46553 119.4081#> 2016-10-05 203.5195 30.160 31.89880 38.02249 42.37048 119.9421#> 2016-10-06 203.6610 30.160 31.83196 38.08813 42.39899 120.0826#> 2016-10-07 202.9626 30.670 31.58372 37.98500 42.35146 119.8296#> 2016-10-10 204.0197 31.394 31.87970 38.18187 42.56060 120.5978head(SP500_index)#>              index#> 2016-10-03 2161.20#> 2016-10-04 2150.49#> 2016-10-05 2159.73#> 2016-10-06 2160.77#> 2016-10-07 2153.74#> 2016-10-10 2163.66# 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)N <- ncol(X)  # 股票数量T <- nrow(X)  # 天数

当初咱们能够计算所有ETF的alpha和beta：

 #>              alpha      beta#> SPY   7.142225e-05 1.0071424#> XIVH  1.810392e-03 2.4971086#> SPHB -2.422107e-04 1.5613533#> SPLV  1.070918e-04 0.6777149#> USMV  1.166177e-04 0.6511667#> JKD   2.569578e-04 0.8883843

当初能够进行一些察看：

  • SPY是S＆P 500的ETF，如预期的那样，其alpha值简直为零，beta值简直为1： = 7.142211×10-5和 = 1.0071423。
  • XIVH是具备高alpha值的ETF，计算出的alpha值是ETF中最高的（高1-2个数量级）： = 1.810392×10-3。
  • SPHB是一种ETF，据揣测具备很高的beta，而计算出的beta却是最高的，但不是最高的：= 1.5613531。乏味的是，计算出的alpha为负，因而，该ETF应审慎。
  • SPLV是升高波动性的ETF，实际上，计算得出的beta偏低：= 0.6777072。
  • USMV还是升高波动性的ETF，实际上，计算出的beta是最低的：= 0.6511671。
  • JKD显示出很好的折衷。

咱们能够应用一些可视化：

 barplot(rev(alpha), horiz = TRUE, main = "alph

咱们还能够应用例如Sharpe比率，以更零碎的比拟不同的ETF。回顾一种资产和一个因素的因子模型

咱们取得

夏普比率如下：

假如。因而，基于Sharpe比率对不同资产进行排名的一种办法是依据/比率对它们进行排名：

 print(ranking)#>         alpha/beta         SR         alpha      beta#> XIVH  7.249952e-04 0.13919483  1.810392e-03 2.4971086#> JKD   2.892417e-04 0.17682677  2.569578e-04 0.8883843#> USMV  1.790904e-04 0.12280053  1.166177e-04 0.6511667#> SPLV  1.580189e-04 0.10887903  1.070918e-04 0.6777149#> SPY   7.091574e-05 0.14170591  7.142225e-05 1.0071424#> SPHB -1.551287e-04 0.07401566 -2.422107e-04 1.5613533

能够看到：

  • 就/而言，XIVH最佳（最大），而SPHB最差（负）。
  • 就夏普比率（更确切地说，是信息比率，因为咱们疏忽了无风险利率）而言，JDK是最好的，其次是SPY。这证实了大多数投资基金的体现不超过市场的观点。
  • 显然，无论以哪种衡量标准，SPHB都是最差的：负，负比率和Sharpe比率。
  • JDK之所以可能获得最佳性能，是因为它的alpha值很好（只管不是最好的），而同时具备0.88的中等beta值。
  • XIVH和SPHB有大量不同的beta，因而在市场上具备极其敞口。
  • USMV在市场上的曝光率最小，有可承受的alpha值，并且其Sharpe比率靠近第二和第三高的地位。

Fama-French三因子模型

该示例将阐明应用规范普尔500指数中的九种股票的Fama-French三因子模型。让咱们从加载数据开始：

 # 设置开始完结日期和股票名称列表begin_date <- "2013-01-01"end_date <- "2017-08-31"# 从YahooFinance下载数据data_set <- xts()for (stock_index in 1:length(stock_namelist))  data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index], # 下载Fama-French因子head(fama_lib)#>            Mkt.RF   SMB   HML#> 1926-07-01   0.10 -0.24 -0.28#> 1926-07-02   0.45 -0.32 -0.08#> 1926-07-06   0.17  0.27 -0.35#> 1926-07-07   0.09 -0.59  0.03#> 1926-07-08   0.21 -0.36  0.15#> 1926-07-09  -0.71  0.44  0.56tail(fama_lib)#>            Mkt.RF   SMB   HML#> 2017-11-22  -0.05  0.10 -0.04#> 2017-11-24   0.21  0.02 -0.44#> 2017-11-27  -0.06 -0.36  0.03#> 2017-11-28   1.06  0.38  0.84#> 2017-11-29   0.02  0.04  1.45#> 2017-11-30   0.82 -0.56 -0.50# 计算股票的对数收益率和Fama-French因子X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)N <- ncol(X)  #股票数量

当初咱们在矩阵F中具备三个因子，并心愿拟合模型，其中当初的载荷是一个beta矩阵：。咱们能够做最小二乘拟合，最小化。更不便地，咱们定义和扩大因子 。而后能够将LS公式写为最小化

print(Gamma)#>              alpha        b1          b2          b3#> AAPL  1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858#> AMD   6.181760e-04 1.4062105  0.80738336 -0.07240117#> ADI  -2.285017e-05 1.2124008  0.09025928 -0.20739271#> ABBV  1.621380e-04 1.0582340  0.02833584 -0.72152627#> AEZS -4.513235e-03 0.6989534  1.31318108 -0.25160182#> A     1.146100e-05 1.2181429  0.10370898 -0.20487290#> APD   6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061  0.11060938#> AA   -4.587722e-05 1.3391852  0.62590136  0.99858692#> CF   -5.777426e-04 1.0387867  0.48430007  0.82014523

另外，咱们能够应用R实现：

#>              alpha    Mkt.RF         SMB         HML#> AAPL  1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858#> AMD   6.181760e-04 1.4062105  0.80738336 -0.07240117#> ADI  -2.285017e-05 1.2124008  0.09025928 -0.20739271#> ABBV  1.621380e-04 1.0582340  0.02833584 -0.72152627#> AEZS -4.513235e-03 0.6989534  1.31318108 -0.25160182#> A     1.146100e-05 1.2181429  0.10370898 -0.20487290#> APD   6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061  0.11060938#> AA   -4.587722e-05 1.3391852  0.62590136  0.99858692#> CF   -5.777426e-04 1.0387867  0.48430007  0.82014523

统计因子模型

当初让咱们思考统计因子模型或隐式因子模型，其中因子和载荷均不可用。调用具备 K因子的模型 XT =1T+ BFT + ET的主成分办法：

  1. PCA：

    • 样本均值：
    • 矩阵：
    • 样本协方差矩阵：
    • 特色合成：

  2. 预计：

    •  
  3. 更新特色合成：
  4. 反复步骤2-3，直到收敛为止。
#>              alpha                                        #> AAPL  0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226#> AMD   0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146  0.0114549515#> ADI   0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139#> ABBV  0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810#> AEZS -0.0041576357 0.0769496344  0.002935950  0.0006249473#> A     0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654#> APD   0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394#> AA    0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957#> CF   -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661

同样，咱们能够应用R实现工作：

#>              alpha      factor1      factor2       factor3#> AAPL  0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226#> AMD   0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146  0.0114549515#> ADI   0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139#> ABBV  0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810#> AEZS -0.0041576357 0.0769496344  0.002935950  0.0006249473#> A     0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654#> APD   0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394#> AA    0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957#> CF   -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661

通过不同因子模型进行协方差矩阵预计的最终比拟

咱们最终将比拟以下不同的因子模型：

  • 样本协方差矩阵
  • 宏观经济一因素模型
  • 根本的三因素Fama-French模型
  • 统计因素模型

咱们在训练阶段预计模型，而后将预计的协方差矩阵与测试阶段的样本协方差矩阵进行比拟。预计误差将依据PRIAL（均匀损失进步百分比）进行评估：

加载训练和测试集：

# 设置开始完结日期和股票名称列表begin_date <- "2013-01-01"end_date <- "2015-12-31"# 筹备股票数据data_set <- xts()for (stock_index in 1:length(stock_namelist))  data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index], #   Fama-French 因子mydata <- mydata[-nrow(mydata), # 筹备指数f_SP500 <- diff(log(SP500_index), na.pad = FALSE)# 将数据拆分为训练数据和测试数据T_trn <- round(0.45*T)X_trn <- X[1:T_trn, ]X_tst <- X[(T_trn+1):T, ]

 当初让咱们用训练数据估算不同的因子模型：

 # 样本协方差矩阵Sigma_SCM <- cov(X_trn)# 单因素模型Gamma <- t(solve(t(F_) %*% F_, t(F_) %*% X_trn))E <- xts(t(t(X_trn) - Gamma %*% t(F_)), index(X_trn))# Fama-French三因子模型Sigma_FamaFrench <- B %*% cov(F_FamaFrench_trn) %*% t(B) + diag(diag(Psi))# 统计单因子模型while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {  B <- eigSigma$vectors[, 1:K, drop = FALSE] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)# 统计三因子模型K <- 3while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {  B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)  Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))Sigma_PCA3 <- Sigma# 统计五因子模型K <- 5eigSigma <- eigen(Sigma)while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {  B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)  Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))

最初，让咱们比拟测试数据中的不同预计：

 Sigma_true <- cov(X_tst)barplot(error, main = "协方差矩阵预计误差", 

 PRIAL <- 100*(ref - error^2)/refbarplot(PRIAL, main = "协方差矩阵预计的先验办法",

最终能够看到应用因子模型进行协方差矩阵预计会有所帮忙。