二进制下为什么能用补码来计算减法？

学习指标

  1. 计算机中是怎么去形容一个"数"的？（本文有答案）
  2. 补码到底是什么？为什么要创造它？为什么用补码就能够计算减法？取得一个原码的补码的原理是什么？（本文有答案，重点）
  3. 怎么晓得一个占n比特位的数，它所能示意的整数范畴是多少？（本文没细讲）
  4. 什么是浮点数？怎么用二进制示意浮点数？什么是浮点数的精度？（下一讲）

比照一个时钟，来看二进制补码

数据应该怎么在计算机内存储？

  • 在计算机的世界里，不管任何数据模式，只能用二进制示意和计算，因为作为开关的电信号仅有两种状态。

    二进制，简略来说我认为是一种计数规定，相比于咱们从小学到大的十进制，二进制就是逢二进一。

    举例，5(10) = 101(2) ，5在十进制数当中算作一位，因为他只有一个"个位"，而101(2) 这个数字在二进制中算作三位，每一位都以电信号的形式存储在计算机的某个半导体内。

    咱们这里的"位"，就叫做1一个比特位(bit)，这很重要，它间接影响了数的示意范畴。
  • 存储信息的半导体的个数是无限的，所以用来示意数的比特位也是无限的，咱们不能得心应手的有限扩张它，咱们要尽可能的增大示意范畴，又要控制数据的存储空间。

    举例，在Java中，一个int类型占据了4个字节(Byte)，再加上我偷偷通知你1个字节等于8个比特，所以Java里int占32位：

    在脑海里的样子：
    0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000

    什么？不看虚的？那你瞧一瞧上面这张图！????

    这，就是题目外面问题1的答案 -- 数据以一个个的电容信号存储在计算机硬件外面的某些半导体中，你仅能够设想它的样子（如下面的32个0） 。

  • 我在这里不想形容进制间是怎么转换的，这不是咱们明天探讨的重点，感兴趣的话能够自行搜寻。

整数的二进制示意和补码

  • 整数又分为正整数，负整数，零。如果想要简略的来示意无符号整数，定义一个正整数占4个比特位的话，那么

    6(10) = 0 23 + 1 22 + 1 21 + 0 20 = 0110(2)

    在这种状况下，咱们无奈示意出正数，那么用这样的办法示意多少个非负整数？

    也就是 0000(2) \~ 1111(2) 也就是 [0 \~ 23+22+21+20] = [0 \~ 15] 也就是 24个。

    可我就是想要示意-6怎么办呢？????

    咱们只能sacrifice掉一位男...额不对，是就义掉1个比特位。

    也就是说咱们要拿出1个比特位来做符号位，0示意正，1示意负

    那么，同样一个+6：

    6(10) = 1 22 + 1 21 + 0 * 20 = 0110(2)

    肯定要留神这次的计算形式和上一次的区别，少了一次对23的计算！是因为这次存储数值的总共就三位，还有一位用作了符号位：

    符号位    数值位    0       110

    自然而然 ，咱们会想到用 1110(2) 来示意-6的二进制（我肯定要先申明，这是一种谬误????♂️的做法，请往下看完）

    这里呈现了一个问题，如果我想让你计算 1-6=？

    /** 计算机没方法做减法，只能通过 1+(-6) 来实现1-6 **/   0 0 0 1 + 1 1 1 0   1 1 1 1

你会发现后果是 -7， 这显然不对。（起因是第一位是用来示意正或负号，不能参加计算）

  • 为了解决这个问题，人们想出了补码的概念。

    当正数用二进制补码示意后，符号位能与有效值局部一起加入运算，减法运算能够转换为加法运算并且后果正确。

    原理呢？别急，看看上面这个家伙

    这是一个时钟，12进制。咱们使用生存中的教训来答复以下几个问题：

    Q1.当初是8点，问5小时后是几点？8 + 5 = 13 然而时钟上没有13点，所以你看到的是1点Q2.当初是8点，问5小时前是几点？8 - 5 = 33点！可是请问用加法怎么解决这个问题呢？

    这里咱们能够用8+7来失去3点

    把8-5看作是时针从8点向前拨动了5个小时，回到了3的地位，然而他也等同于把时针从8点向后拨动7个小时，达到了3的地位上。

    而后你心里面肯定会有疑难????️

    小学数学通知咱们8-5=3，可是你来给我解释解释8+7为什么等于3！

    $$\begin{cases} \text{-5 + 0 = -5}\\ \text{0 = 12} \ \ \text{在时钟只有一个的状况下（只有1个比特位时）0 = 12 （能够看下时钟，0点也是12点，对吧？）} \end{cases}$$

    所以 -5 + 12 = 7 = -5

    能够看到，这里的-5等于了7，咱们把12进制中的7和-5就称作是一组互补数，用这样办法，能够做到加法代替减法，让计算机把符号位带入还能够失常运算

    如果你没看懂，那你听听我的另一种解释：8+7=15，然而时钟是一个12进制的工具，所以十进制的15(10) 的理论表白是12进制的13(12) ，然而因为咱们只有一个时钟，就相当于咱们只有一个比特位来存储13(12)这个数据，那么第二位"1"就溢出了，这个"1"相当于是被一个黑洞给吞掉了，咱们基本没有方法去找回来，所以最初只剩下一个12进制的3(12)，所以最初8+7=3！

  • 那么，在二进制中，该怎么计算出补码呢？

    负数和0的补码就是该二进制自身，也就是原码。正数的补码则是将其对应负数的原码按位取反失去反码再加1。

    原理呢！

    咱们假设当初用2个比特位来示意1个数，依葫芦画瓢，列出上面的不等式组：

    $$\begin{cases} \text{原码 + 补码 = 00}\\ \text{00 = 100} \ \ \text{只有2个比特位时} \end{cases}$$

    补码 = 100(2) - 原码 = （11(2) + 01(2) ）- 原码 = 11(2) - 原码 + 01(2)

    而11(2) - 原码是什么？认真想一下，这不就是相当于是原码取反后的后果吗！

    写到这里，我想你终于能够弄懂问题2了吧？

小数的二进制示意

  • 小数能够拆成整数局部和小数局部，整数局部的示意办法在下面，小数局部应该怎么做呢？

    举例，十进制123.45示意成二进制如下图：

    具体的转换形式是：

    • 整数局部采纳十进制转二进制办法进行
    • 小数局部乘以2，而后取整数局部。一直反复该操作直到小数局部为0，或达到指定的精度

  • 你想要的只是岁月静好。然而呢，不是所有的小数都能转换无限位数的二进制小数。例如10进制0.2的二进制：

    0.2 x 2 = 0.4 0
    0.4 x 2 = 0.8 0
    0.8 x 2 = 1.6 1
    0.6 x 2 = 1.2 1
    0.2 x 2 = 0.4 0
    0.4 x 2 = 0.8 0
    0.8 x 2 = 1.6 1
    0.6 x 2 = 1.2 1
    ……不光岁月静好，我还送你天荒地老

    这是为什么呢？

    抛开数学概念，十进制中1的一半是0.5，二进制中1的一半是0.1；十进制中天然能够十等分造成小数，所有不能十等分的都是有限循环，同理二进制中只能二等分，所有不能二等分的天然都是有限循环。正如切蛋糕，二进制就像一把一次只能切一半的刀。

  • 讲了这么久，该示意示意了吧？

    所以，实践上，咱们能够这样存储小数（以123.5为例）：

    符号位       整数位        小数位    0        0111,1011    1000,0000

    然而，这种办法是不被采纳的，本质上，被用来示意小数的货色叫做浮点数。

浮点数的二进制示意

  • 敬请期待

本文援用了

  • 为什么十进制小数转换成二进制有可能有限循环？ 卫知 的答复
  • 浮点数在计算机中是如何存储的？

注

  • V(base): 下标base代表进制数，V则代表了在该进制下的值示意。