大部分程序员因为理工科的背景，有一些高数、线性代数、概率论与数理统计的数学根底。所以当机器学习的热潮降临的时候，都蠢蠢欲动，对机器学习的算法以及背地的数学思维有比拟强烈的摸索欲望。
本文的作者就是其中的一位。然而实际的过程中，又发现数学知识的了解深度有些欠缺，在了解一些公式背地的意义时，有些力不从心的感觉。因而梳理了一些数学上的常识盲点，理顺本人的常识脉络，顺便分享给有须要的人。
本文次要解说余弦类似度的相干知识点。类似度计算用处相当宽泛，是搜索引擎、举荐引擎、分类聚类等业务场景的外围点。为了了解分明余弦类似度的前因后果，我将会从最简略的初中数学动手，逐渐推导出余弦公式。而后基于余弦公式串讲一些实际的例子。
一、业务背景
通常咱们日常开发中，可能会遇到如下的业务场景。
精准营销，图像处理，搜索引擎 这三个看似驴唇不对马嘴的业务场景，其实面临一个独特的问题就是类似度的计算。例如精准营销中的人群扩量波及用户类似度的计算；图像分类问题波及图像类似度的计算，搜索引擎波及查问词和文档的类似度计算。类似度计算中，可能因为《数学之美》的影响，大家最相熟的应该是余弦类似度。那么余弦类似度是怎么推导进去的呢？
二、数学根底
了解余弦类似度，要从了解金字塔开始。咱们晓得金字塔的底座是一个微小的正方形。例如吉萨大金字塔的边长超过230m。结构这样一个微小的正方形，如何保障结构进去的图形不走样呢？比方如何确保结构的后果不是菱形或者梯形。
1、勾股定理
要保障结构进去的四边形是正方形，须要保障两个点：其一是四边形的边长相等；其二是四边形的角是直角。四边形的边长相等很容易解决，在工程实际中，取一根定长的绳子作为边长就能够了。如何保障直角呢？今人是利用勾股定理解决的，更切确地说是勾股定理的逆定理。
结构一个三角形，保障三角形的三边长别离是3,4,5。那么边长为5的边对应的角为直角。中国有个成语“无规矩不成方圆”，其中的矩，就是直角的尺。
勾股证实是初中数学的常识，了解很容易。证实也很简略，据说爱因斯坦11岁就发现了一种证实办法。勾股定理的证实办法据统计有超过400种， 感兴趣的同学能够自行理解。另勾股定理也是费马大定理的灵感起源，费马大定理困扰了世间智者300多年，也诞生了很多的逸闻趣事，这里不赘述。
2、余弦定理
勾股定理存在着一个很大的限度，就是要求三角形必须是直角三角形。那么对于一般的三角形，三个边存在什么样的关系呢？这就引出了余弦定理。
余弦定理指出了任意三角形三边的关系，也是初中就能够了解的数学知识，证实也比较简单，这里就略过了。
其实对于三角形，了解了勾股定理和余弦定理。就曾经把握了三角形的很多个性和机密了。比方依据等边三角形，能够推导出cos(60)=1/2。然而如果想了解几何更多的机密，就须要进入解析几何的世界。这个数学知识也不算很浅近，高中数学常识。
这里咱们了解最简略就能够了，那就是三角形在直角坐标系中的示意。所谓“横看成岭侧成峰，远近高下各不同”，咱们能够了解为三角形的另一种表现形式。
比方咱们能够用a,b,c三个边形容一个三角形；在立体直角坐标系中，咱们能够用两个向量示意一个三角形。
3、余弦类似度
当咱们引入了直角坐标系后，三角形的示意就进入了更灵便、更弱小和更形象的境界了。几何图形能够用代数的办法来计算，代数能够用几何图形形象化示意，大大降低了解难度。比方咱们用一个向量来示意三角形的一个边，就能够从二维空间间接扩大到高维空间。
这里，向量的定义跟点是一样的；向量的乘法也只是各个维度值相乘累加；向量的长度看似是新的货色，其实绕了一个圈，实质上还是勾股定理，只是勾股定理从二维空间扩大到了N维空间而已。而且向量长度又是两个雷同向量乘法的特例。数学的严谨性在这里体现得酣畅淋漓。
联合勾股定理，余弦定理，直角坐标系，向量。咱们就能够很天然地推导出余弦公式了，这里惟一的了解难点就是勾股定理和余弦定理都是用向量来示意。
失去了余弦公式后，咱们该怎么了解余弦公式呢？
极其状况下，两个向量重合了，就代表两个向量齐全类似。然而这里的齐全类似，其实是指向量的方向。向量有方向和长度两个因素，这里只应用方向这一个因素，在实践中就埋下了隐患。然而毕竟一个数学模型建设起来了。咱们能够用这个模型解决一些理论中的问题了。
所谓数学模型，有可能并不需要浅近的数学知识，对外的体现也仅仅是一个数学公式。比方余弦定理这个数学模型，高中数学常识就足够了解了。而且对于模型，有这样一个很有意思的阐述：“所有的数学模型都是错的，然而有些是有用的”。这里咱们更多关注其有用的一面。
了解了向量夹角，那么该怎么了解向量呢？它仅仅是三角形的一条边吗？
人生有几何，万物皆向量。向量在数学上是简略的形象，这个形象咱们能够用太多理论的场景来使它落地。比方用向量来指代用户标签，用向量来指代色彩，用向量来指代搜索引擎的逻辑...
三、业务实际
了解了余弦定理，了解了数学建模的形式。接下来咱们就能够做一些有意思的事件了。比方后面提到的三个业务场景，咱们能够看看如何用余弦类似度来解决。当然理论问题必定远远要简单得多，然而外围的思维都是相似的。
案例1：精准营销
假如一次经营打算，比方咱们圈定了1w的用户，如何扩大到10万人呢？
利用余弦类似度，咱们这里其实最外围的问题就是：如何将用户向量化？
将每个用户视为一个向量，用户的每个标签值视为向量的一个维度。当然这里理论工程中还有特色归一化，特色加权等细节。咱们这里仅作为演示，不陷入到细节中。
对于人群，咱们能够取人群中，所有用户维度值的平均值，作为人群向量。这样解决后，就能够应用余弦公式计算用户的类似度了。
咱们通过计算大盘用户中每个用户跟圈定人群的类似度，取topN即可实现人群的扩量。
间接“show me the code”吧！
# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport numpy.linalg as linalg def cos_similarity(v1, v2): num = float(np.dot(v1.T, v2)) # 若为行向量则 A.T * B denom = linalg.norm(v1) * linalg.norm(v2) if denom > 0: cos = num / denom # 余弦值 sim = 0.5 + 0.5 * cos # 归一化 return sim return 0 if __name__ == '__main__': u_tag_list = [ ["女", "26", "是", "白领"], ["女", "35", "是", "白领"], ["女", "30", "是", "白领"], ["女", "22", "是", "白领"], ["女", "20", "是", "白领"] ] new_user = ["女", "20", "是", "白领"] u_tag_vector = np.array([ [1, 26, 1, 1], [1, 35, 1, 1], [1, 30, 1, 1], [1, 22, 1, 1], [1, 20, 1, 1] ]) c1 = u_tag_vector[0] c1 += u_tag_vector[1] c1 += u_tag_vector[2] c1 += u_tag_vector[3] c1 += u_tag_vector[4] c1 = c1/5 new_user_v1 = np.array([1, 36, 1, 1]) new_user_v2 = np.array([-1, 20, 0, 1]) print("vector-u1: ", list(map(lambda x: '%.2f' % x, new_user_v1.tolist()[0:10]))) print("vector-u2: ", list(map(lambda x: '%.2f' % x, new_user_v2.tolist()[0:10]))) print("vector-c1: ", list(map(lambda x: '%.2f' % x, c1.tolist()[0:10]))) print("sim<u1,c1>: ", cos_similarity(c1, new_user_v1)) print("sim<u2,c1>: ", cos_similarity(c1, new_user_v2))案例2：图像分类
有两类图片，美食和萌宠。对于新的图片，如何主动分类呢？
这里咱们的外围问题是：图片如何向量化？
图片由像素形成，每个像素有RGB三个通道。因为像素粒度太细，将图片宰割成大小绝对的格子，每个格子定义3个维度，维度值取格子内像素均值。
参考博客： 图像根底7 图像分类——余弦类似度
上面也是给出样例代码:
# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport numpy.linalg as linalgimport cv2 def cos_similarity(v1, v2): num = float(np.dot(v1.T, v2)) # 若为行向量则 A.T * B denom = linalg.norm(v1) * linalg.norm(v2) if denom > 0: cos = num / denom # 余弦值 sim = 0.5 + 0.5 * cos # 归一化 return sim return 0 def build_image_vector(im): """ :param im: :return: """ im_vector = [] im2 = cv2.resize(im, (500, 300)) w = im2.shape[1] h = im2.shape[0] h_step = 30 w_step = 50 for i in range(0, w, w_step): for j in range(0, h, h_step): each = im2[j:j+h_step, i:i+w_step] b, g, r = each[:, :, 0], each[:, :, 1], each[:, :, 2] im_vector.append(np.mean(b)) im_vector.append(np.mean(g)) im_vector.append(np.mean(r)) return np.array(im_vector) def show(imm): imm2 = cv2.resize(imm, (510, 300)) print(imm2.shape) imm3 = imm2[0:50, 0:30] cv2.imshow("aa", imm3) cv2.waitKey() cv2.destroyAllWindows() imm4 = imm2[51:100, 0:30] cv2.imshow("bb", imm4) cv2.waitKey() cv2.destroyAllWindows() imm2.fill(0) def build_image_collection_vector(p_name): path = "D:\\python-workspace\\cos-similarity\\images\\" c1_vector = np.zeros(300) for pic in p_name: imm = cv2.imread(path + pic) each_v = build_image_vector(imm) a=list(map(lambda x:'%.2f' % x, each_v.tolist()[0:10])) print("p1: ", a) c1_vector += each_v return c1_vector/len(p_name) if __name__ == '__main__': v1 = build_image_collection_vector(["food1.jpg", "food2.jpg", "food3.jpg"]) v2 = build_image_collection_vector(["pet1.jpg", "pet2.jpg", "pet3.jpg"]) im = cv2.imread("D:\\python-workspace\\cos-similarity\\images\\pet4.jpg") v3 = build_image_vector(im) print("v1,v3:", cos_similarity(v1,v3)) print("v2,v3:", cos_similarity(v2,v3)) a = list(map(lambda x: '%.2f' % x, v3.tolist()[0:10])) print("p1: ", a) im2 = cv2.imread("D:\\python-workspace\\cos-similarity\\images\\food4.jpg") v4 = build_image_vector(im2) print("v1,v4:", cos_similarity(v1, v4)) print("v2,v4:", cos_similarity(v2, v4))至于代码中用到的图片，用户能够自行收集即可。笔者也是间接从搜索引擎中截取的。程序计算的后果也是很直观的，V2(萌宠)跟图像D1的类似度为0.956626，比V1(美食)跟图像D1的类似度0.942010更高，所以后果也是很明确的。
案例3：文本检索
假如有三个文档，形容的内容如下。一个是疫情背景下，苹果公司的资讯，另外两个是水果相干的信息。输出搜索词“苹果是我最喜爱的水果”， 该怎么找到最相干的文档？
这里的外围问题也是文本和搜索词如何向量化？
这里其实能够把搜索词也视为文档，这样问题就简化成：文档如何向量化？
出于简化问题的角度，咱们能够给出最简略的答案:文档由词组成，每个词作为一个维度；文档中词呈现的频率作为维度值。
当然，实际操作时咱们维度值的计算会更简单一些，比方用TF-IDF。这里用词频(TF)并不影响演示成果，所以咱们从简。
将文本向量化后，剩下也是如法炮制，用余弦公式计算类似度, 流程如下：
最初，给出代码：
# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport numpy.linalg as linalgimport jieba def cos_similarity(v1, v2): num = float(np.dot(v1.T, v2)) # 若为行向量则 A.T * B denom = linalg.norm(v1) * linalg.norm(v2) if denom > 0: cos = num / denom # 余弦值 sim = 0.5 + 0.5 * cos # 归一化 return sim return 0 def build_doc_tf_vector(doc_list): num = 0 doc_seg_list = [] word_dic = {} for d in doc_list: seg_list = jieba.cut(d, cut_all=False) seg_filterd = filter(lambda x: len(x)>1, seg_list) w_list = [] for w in seg_filterd: w_list.append(w) if w not in word_dic: word_dic[w] = num num+=1 doc_seg_list.append(w_list) print(word_dic) doc_vec = [] for d in doc_seg_list: vi = [0] * len(word_dic) for w in d: vi[word_dic[w]] += 1 doc_vec.append(np.array(vi)) print(vi[0:40]) return doc_vec, word_dic def build_query_tf_vector(query, word_dic): seg_list = jieba.cut(query, cut_all=False) vi = [0] * len(word_dic) for w in seg_list: if w in word_dic: vi[word_dic[w]] += 1 return vi if __name__ == '__main__': doc_list = [ """ 受寰球疫情影响，3月苹果发表敞开除大中华区之外数百家寰球门店，其宏大的供应链体系也受到冲击， 只管目前富士康等代工厂曾经开足马力复原生产，但相比之前产能仍然受限。中国是iPhone生产的大本营， 为了转移危险，iPhone零部件是否实现印度制作？实现印度生产的最大难点就是，绝对中国，印度制造业依然欠发达 """, """ 苹果是一种低热量的水果，每100克产生大概60千卡左右的热量。苹果中营养成分可溶性大，容易被人体排汇，故有“活水”之称。 它有利于溶解硫元素，使皮肤光滑娇嫩。 """, """ 在生存当中，香蕉是一种很常见的水果，一年四季都能吃得着，因其肉质香甜软糯，且营养价值高，所以深受老百姓的青睐。 那么香蕉有什么具体的效用，你理解吗？ """ ] query = "苹果是我喜爱的水果" doc_vector, word_dic = build_doc_tf_vector(doc_list) query_vector = build_query_tf_vector(query, word_dic) print(query_vector[0:35]) for i, doc in enumerate(doc_vector): si = cos_similarity(doc, query_vector) print("doc", i, ":", si)咱们检索排序的后果如下：
文档D2是类似度最高的，合乎咱们的预期。这里咱们用最简略的办法，实现了一个搜寻打分排序的样例，尽管它并没有实用价值，然而演示出了搜索引擎的工作原理。
四、超过余弦
后面通过简略的3个案例，演示了余弦定理的用法，然而没有齐全开释出余弦定理的洪荒之力。接下来展现一下工业级的零碎中是如何应用余弦定理的。这里选取了开源搜索引擎数据库ES的内核Lucene作为钻研对象。钻研的问题是：Lucene是如何应用余弦类似度进行文档类似度打分？
当然，对于Lucene的实现，它有另一个名字：向量空间模型。即许多向量化的文档汇合造成了向量空间。咱们首先间接看公式：
很显著，理论公式跟实践公式长相差别很大。那么咱们怎么了解呢？换言之，咱们怎么基于实践公式推导出理论公式呢？
首先须要留神的是，在Lucene中，文档向量的特色不再是咱们案例3中展现的，用的词频，而是TF-IDF。对于TF-IDF相干的常识，比较简单，次要的思路在于：
如何量化一个词在文档中的要害水平？ TF-IDF给出的答案是综合思考词频(词在以后文档中呈现的次数)以及逆文档频率(词呈现的文档个数)两个因素。
- 词在以后文档中呈现次数(TF)越多， 词越重要
- 词在其余文档呈现的次数(IDF)越少，词越独特
感兴趣的话，能够自行参考其余材料，这里不开展阐明。
回到咱们的外围问题: 咱们怎么基于实践公式推导出理论公式呢？
四步走就能够了，如下图：
第一步：计算向量乘法
向量乘法就是套用数学公式了。这里须要留神的是，这里有两个简化的思维：
- 查问语句中不存在的词tf(t,q)=0
- 查问语句根本没有反复的词tf(t,q)=1
所以咱们比较简单实现了第一步推导：
第二步: 计算查问语句向量长度|V(q)|
计算向量长度，其实就是勾股定理的应用了。只不过这里是多维空间的勾股定理。
这里取名queryNorm, 示意这个操作是对向量的归一化。这个其实是当向量乘以queryNorm后，就变成了单位向量。单位向量的长度为1，所以称为归一化，也就是取名norm。了解了这一层，看lucene源码的时候，就比拟容易了解了。这正如琅琊榜的台词一样：问题出自朝堂，答案却在江湖。这里是问题出自Lucene源码，答案却在数学。
第三步：计算文档向量长度|V(d)|
这里其实是不能沿用第二步的做法的。后面曾经提到，向量有两大因素：方向和长度。余弦公式只思考了方向因素。这样在理论利用中，余弦类似度就是向量长度无关的了。
这在搜索引擎中，如果查问语句命中了长文档和短文档，依照余弦公式TF-IDF特色，偏差于对短小的文档打较高的分数。对长文档不偏心，所以须要优化一下。
这里的优化思路就是采纳文档词个数累积，从而升高长文档和短文档之间的差距。当然这里的业务诉求可能比拟多样，所以在源码实现的时候，凋谢了接口容许用户自定义。借以晋升灵便度。
第四步：混合用户权重和打分因子
所谓用户权重，就是指用户指定查问词的权重。例如典型地竞价排名就是人为晋升某些查问词的权重。所谓打分因子，即如果一个文档中相比其它的文档呈现了更多的查问关键词，那么其值越大。综合思考了多词查问的场景。通过4步，咱们再看推导进去的公式和理论公式，发现类似度十分高。
推导公式和官网公式根本就统一了。
五、总结
本文简略介绍了余弦类似度的数学背景。从埃及金字塔的建设问题登程，引出了勾股定理，进而引出了余弦定理。并基于向量推导进去了余弦公式。
接下来通过三个业务场景的例子，介绍余弦公式的利用，即数学模型如何落地到业务场景中。这三个简略的例子代码不过百行，可能帮忙读者更好地了解余弦类似度。
最初介绍了一个工业级的样例。基于Lucene构建的ES是以后最炽热的搜索引擎解决方案。学习余弦公式在Lucene中落地，有助于了解业界的实在玩法。进一步晋升对余弦公式的了解。
六、参考文献
- 书籍《数学之美》 作者：吴军
- 图像根底7 图像分类——余弦类似度
作者：Shuai Guangying