原文链接： 何晓东 博客

交易股票最佳时机

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

如果你最多只容许实现一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

留神：你不能在买入股票前卖出股票。

 

示例 1:

输出: [7,1,5,3,6,4]输入: 5解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。     留神利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格须要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2:

输出: [7,6,4,3,1]输入: 0解释: 在这种状况下, 没有交易实现, 所以最大利润为 0。

起源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/probl...

解题思路 1 - 穷举

穷举相邻两个元素的差值，暴力求解。

后果是大量数据的时候会超时，阶乘的数量太多。

代码
class Solution {    /**     * @param Integer[] $prices     * @return Integer     */    function maxProfit($prices) {        $count = count($prices);        if ($count < 2) {            return 0;        }        // 有可能不做交易，因而后果的初始值设置为 0         $res = 0;        for ($i = 0; $i < $count - 1; $i++) {            for ($j = $i + 1; $j < $count; $j++) {                $res = max($res, $prices[$j] - $prices[$i]);            }        }        return $res;    }}
优化版穷举

提前记录一下最小值，省去内层循环。

class Solution {    /**     * @param Integer[] $prices     * @return Integer     */    function maxProfit($prices) {        $count = count($prices);        if ($count < 2) {            return 0;        }        $res = 0;        // 示意在以后地位之前的最小值        $minVal = $prices[0];        // 留神：这里从 1 开始        for ($i = 1; $i < $count; $i++) {            $res = max($res, $prices[$i] - $minVal);            $minVal = min($minVal, $prices[$i]);        }        return $res;    }}
解题思路 2 - 动静布局

设置状态 dp[i][j] 示意：在索引为 i 的这一天，用户手上持股状态为 j 时所取得的最大利润

j 只有 2 个值：0 示意不持股（特指卖出股票当前的不持股状态），1 示意持股

状态转移方程:

dp[i][0]怎么转移？

  • dp[i - 1][0]：当然能够从昨天不持股转移过去，示意从昨天到明天什么都不操作
  • dp[i - 1][1] + prices[i]：昨天持股，就在索引为 i 的这一天，我卖出了股票，状态由 1 变成了 0，此时卖出股票，因而加上这一天的股价

综上：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);

dpi怎么转移？

  • dp[i - 1][1]：昨天持股，明天什么都不操作，当然能够从昨天持股转移过去
  • -prices[i]：留神：状态 1 不能由状态 0 来，因为事实上，状态 0 特指：“卖出股票当前不持有股票的状态”，而且题目只容许一次交易，因而不能加上 dp[i - 1][0]

因而，-prices[i] 就示意，在索引为 i 的这一天，执行买入操作失去的收益
综上：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], -prices[i]);

初始值:

第 0 天不持股，显然 dp[0][0] = 0；
第 0 天持股，显然 dp[0][1] = -prices[0]

代码
class Solution {    /**     * @param Integer[] $prices     * @return Integer     */    function maxProfit($prices) {        $count = count($prices);        if ($count < 2) {            return 0;        }        $res = 0;        // 0：用户手上不持股所能取得的最大利润，特指卖出股票当前的不持股        // 1：用户手上持股所能取得的最大利润        // 留神：因为题目限度只能交易一次，因而状态只可能从 1 到 0，不可能从 0 到 1        $dp = [];        $dp[0][0] = 0;        $dp[0][1] = -$prices[0];        for ($i = 1; $i < $count; $i++) {            $dp[$i][0] = max($dp[$i - 1][0], $dp[$i - 1][1] + $prices[$i]);            $dp[$i][1] = max($dp[$i - 1][1], -$prices[$i]);        }        return $dp[$count - 1][0];        // 一维数组优化版        // $dp = [];        // $dp[0] = 0;        // $dp[1] = -$prices[0];        // for ($i = 1; $i < $count; $i++) {        //     $dp[0] = max($dp[0], $dp[1] + $prices[$i]);        //     $dp[1] = max($dp[1], -$prices[$i]);        // }        // return $dp[0];    }}
解题思路3 - 差分数组

差分数组的间断子区间和的值，就正好是原始股价数组进行一次交易的差价（后 - 前）

举个例子:对于数组 1 6 2 8，代表股票每天的价格

定义一下转换规则，以后天的价格减去前一天的价格，第一天因为没有前一天，规定为 0，用来代表不操作

数组就转换为 0 6-1 2-6 8-2，也就是 0 5 -4 6。当初的数组的含意就变成了股票绝对于前一天的变动了

当初咱们只须要找出间断的和最大是多少就能够了，也就是变成了 53 题

间断的和比方对应第 3 到 第 6 天加起来的和，那对应的买入卖出其实就是第 2 天买入，第 6 天卖出

因而，咱们能够在差分数组上，求“最大间断子序列的和”

代码
class Solution {    /**     * @param Integer[] $prices     * @return Integer     */    function maxProfit($prices) {        $count = count($prices);        if ($count < 2) {            return 0;        }        $dp = 0;        $max = 0;        for ($i = 1; $i < $count; $i++) {            // 累加的相邻日期的收益（差值）            $num = $prices[$i] - $prices[$i - 1];               $dp = max($dp + $num, $num);            $max = max($max, $dp);        }        return $max;    }}

参考链接

  1. 交易股票的最佳时机 作者：月伴飞鱼

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