序言
7月初的时候挑战了一下LeetCode的第29题（中等难度，仿佛没什么值得炫耀的），题目要求在不应用除、乘，以及模运算的状况下，实现整数相除的函数。
既然被除数和除数都是整数，那么用减法就能够实现除除法了（如许naive的想法）。一个trivial的、用JavaScript编写的函数能够是上面这样的（为了简略起见，只思考两个参数皆为正整数的状况）
function divide(n, m) { let acc = 0; while (n >= m) { n -= m; acc += 1; } return acc;}如此奢侈的divide函数提交给LeetCode是不会被承受的的——它会在像2147483648除以2这样的测试用例上超时。能够在本地运行一下感触下到底有多慢
➜ nodejs time node divide.js2147483648/2=1073741824node divide.js 1.14s user 0.01s system 99% cpu 1.161 total那么有没有更快的计算两个整数的商的算法呢？答案当然是必定的。
尝试优化
一眼就能够看出，运行次数最多的是其中的while循环。以2147483648除以2为例，while循环中的语句要被执行1073741824次。为了晋升运行速度，必须缩小循环的次数。
既然每次从n中减去m须要执行n/m次，那么如果改为每次从中减去2m，不就只须要执行(n/m)/2次了么？循环的次数一下子就缩小了一半，想想都感觉兴奋啊。每次减2m，并且自增2的算法的代码及其运行成果如下
➜ nodejs cat divide2.jsfunction divide(n, m) { let acc = 0; let m2 = m << 1; // 因为题目要求不能用乘法，所以用左移来代替乘以2。 while (n >= m2) { n -= m2; acc += 2; } while (n >= m) { n -= m; acc += 1; } return acc;}console.log(`2147483648/2=${divide(2147483648, 2)}`);➜ nodejs time node divide2.js2147483648/2=1073741824node divide2.js 2.65s user 0.01s system 99% cpu 2.674 total只管耗时不降反升，令局面一度非常难堪，但依据实践剖析可知，第一个循环的运行次数仅为原来的一半，而第二个循环的运行次数最多为1次，能够晓得这个优化的方向是没问题的。
如果计算m2的时候左移的次数为2，那么acc的自增步长须要相应地调整为4，第一个循环的次数将大幅降落至268435456，第二个循环的次数不会超过4；如果左移次数为3，那么acc的步长增至8，第一个循环的次数降至134217728，第二个循环的次数不会超过8。
显然，左移不能有限地进行上来，因为m2的值早晚会超过n。很容易算出左移次数的一个下限为
对数符号意味着即使对于很大的n和很小的m，上述公式的后果也不会很大，因而能够显著地晋升整数除法的计算效率。
在开始写代码前，让我先来简略地证实一下这个办法算进去的商与间接计算n/m是相等的。
一个简略的证实
记被减数为n，减数为m。显然，存在一个正整数N，使得
令
，再令
，那么n除以m等价于
证实结束。
从下面的公式还能够晓得，新算法将本来规模为n的问题转换为了一个规模为r的雷同问题，这意味着能够用递归的形式来优雅地编写最终的代码。
残缺的代码
最终的divide函数的代码如下
function divide(n, m) { if (n < m) { return 0; } let n2 = n; let N = 0; // 用右移代替左移，防止溢出。 while ((n2 >> 1) > m) { N += 1; n2 = n2 >> 1; } // `power`示意公式中2的N次幂 // `product`代表`power`与被除数`m`的乘积 let power = 1; let product = m; for (let i = 0; i < N; i++) { power = power << 1; product = product << 1; } return power + divide(n - product, m);}这个可比最开始的divide要快得多了，有图有假相
➜ nodejs time node divide3.js2147483648/2=1073741824node divide3.js 0.03s user 0.01s system 95% cpu 0.044 total后记
如果以T(n, m)示意被除数为n，除数为m时的算法工夫复杂度，那么它的递推公式能够写成下列的模式
但这玩意儿看起来并不能用主定理间接求出解析式，所以很遗憾，我也不晓得这个算法的工夫复杂度到底如何——只管我猜想就是N的计算公式。
如果有哪位善意的读者敌人晓得的话，还望不吝赐教。
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