首发于 樊浩柏科学院服务目前每月会对搬家师傅进行评级，根据师傅的评级排名结果，我们将优先保证最优师傅的全天订单。假设师傅每天工作 8 个小时，给定一天 n 个订单，每个订单其占用时间长为 $T_i$，挣取价值为 $V_i$，现请您为师傅安排订单，并保证师傅挣取价值最大。输入格式输入 n 组数据，每组以逗号分隔，并且每一个订单的编号、时长、挣取价值以空格分隔输出格式输出争取价值和订单编号，订单编号按照价值由大到小排序，争取价值相同，则按照每小时平均争取价值由大到小排序示例：输入：[MV10001 2 100,MV10008 2 30,MV10003 1 200,MV10009 6 500,MV10010 3 400]输出：730 MV10010 MV10003 MV10001 MV10008输入：[M10001 2 100,M10002 3 210,M10003 3 300,M10004 2 150,M10005 1 70,M10006 2 220,M10007 1 10,M10008 3 30,M10009 3 200,M10010 2 400]输出：990 M10010 M10003 M10006 M10005解题思路由于本题每个订单每天只被安排一次，是典型地采用 动态规划 求解的 01 背包问题。动态规划概念动态规划过程：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。动态规划原理：动态规划与分治法类似，都是把原问题拆分成不同规模相同特征的小问题，通过寻找特定的递推关系，先解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。建立动态方程假设，师傅挣取价值最大时的订单为 $x_1$,$x_2$,$x_3$,…,$x_i$（其中 $x_i$ 取 1 或 0，表示第 i 个订单被安排或者不安排），$v_i$ 表示第 i 个订单的价值，$w_i$ 表示第 i 个订单的耗时时长，$wv(i,j)$ 表示安排了第 i 个订单，师傅总耗时为 j 时的最大价值。可得订单价值和耗时的关系图：i12345w(i)22163v(i)10030200500400因此，可得 动态方程：$$wv(i,j) = begin{cases}wv(i-1,j)(j < w(i)) \max(wx(i-1,j),wv(i-1,j-w(i))+v(i))(j geq w(i))end{cases}$$说明：$j<w(i)$ 表示订单不被安排，$j \geq w(i)$ 表示订单被安排。确定边界可以确定边界条件 $wx(0,j) = wx(i, 0) = 0$，$wx(0,j)$ 表示一个订单都没安排，再怎么耗时价值都为 0，$wx(i,0)$ 表示没有耗时，安排多少订单价值都为 0。求解求解过程，可以填表来进行模拟：1) 如 i=1,j=1 时，有 $j<w(i)$，故 $wx(1,1) = wx(1-1,1) = 0$；2) 又如 i=1,j=2 时，有 $j=w(i)$，故 $wx(1,2) = max(wx(1-1,1), wx(1-1,2-w(1)) + v(1) = 100$；3) 如此下去，直至填到最后一个，i=5,j=8 时，有 $j<w(i)$，故 $wx(5,8) = max(wx(5-1,8), wx(5-1,8-w(5)) + v(5) = 730$；4) 在耗时没有超过 8 小时的前提下，当前 5 个订单都被安排过时，$wx(5,8) = 730$ 即为所求的最大价值；解的组成尽管 求解 过程已经求出了最大价值，但是并没有得出哪些订单被安排了，也就是没有得出解的组成部分。但是在求解的过程中不难发现，寻解方程满足如下定义：$$x(i) = begin{cases}wv(i,j) = wv(i-1,j) \wv(i,j) neq wv(i-1,j)end{cases}$$从表格右下到左上为寻解方向，寻解过程如下：1) i=5,j=8 时，有 $wv(5,8) != wv(4,8)$，故 $x(5) = 1$，此时 $j -= w(5)$，$j = 5$；2) i=4 时，无论 j 取何值，都有 $wv(4,j) == wv(3,j)$，故 $x(5) = 0$，此时 $j = 5$；3) i=3,j=5 时，有 $wv(3,5) != wv(2,5)$，故 $x(3) = 1$，此时 $j -= w(3)$，$j = 4$；4) i=2,j=4时，有 $wv(2,4) != wv(1,4)$，故 $x(2) = 1$，此时 $j -= w(2)$，$j = 2$；5) i=1,j=2时，有 $wv(1,2) != wv(1,2)$，故 $x(1) = 1$，此时 $j -= w(1)$，$j = 0$，寻解结束；编码实现实现的类结构如下，特殊的方法已提取出，并将一一详细说明。class Knapsack{ //物品重量,index从1开始表示第1个物品 public $w = array(); //物品价值,index从1开始表示第1个物品 public $v = array(); //最大价值,$wv[$i][$w]表示前i个物品重量为w时的最大价值 public $wv = array(); //物品总数 public $n = 0; //物品总重量 public $W = 0; //背包中的物品 public $goods = array(); /** * Knapsack constructor. * @param array $goods 物品信息,格式如下: * [ * [index, w, v] //good1 * … * ] * @param $c */ public function __construct(array $goods, $c) { $this->goods = $goods; $this->W = $c; $this->n = count($goods); //初始化物品价值 $v = array_column($goods, 2); array_unshift($v, 0); $this->v = $v; //初始化物品重量 $w = array_column($goods, 1); array_unshift($w, 0); $this->w = $w; //初始化最大价值 $this->wv = array_fill(0, $this->n + 1, array_fill(0, $this->W + 1, 0)); $this->pd(); $this->canPut(); } public function getMaxPrice() { return $this->wv[$this->n][$this->W]; }}动态求解过程：public function pd(){ for ($i = 0; $i <= $this->W; $i++) { for ($j = 0; $j <= $this->n; $j++) { //未放入物品和重量为空时,价值为0 if ($i == 0 || $j == 0) { continue; } //决策 if ($i < $this->w[$j]) { $this->wv[$j][$i] = $this->wv[$j - 1][$i]; } else { $this->wv[$j][$i] = max($this->wv[$j - 1][$i], $this->wv[$j - 1][$i - $this->w[$j]] + $this->v[$j]); } } }}寻解过程：public function canPut(){ $c = $this->W; for ($i = $this->n; $i > 0; $i–) { //背包质量为c时,前i-1个和前i-1个物品价值不变,表示第1个物品未放入 if ($this->wv[$i][$c] == $this->wv[$i - 1][$c]) { $this->goods[$i - 1][3] = 0; } else { $this->goods[$i - 1][3] = 1; $c = $c - $this->w[$i]; } }}按照订单价值降序获取订单信息（若订单价值相同则按单位时间平均价值降序排列）：public function getGoods(){ $filter = function($value) { return $value[3]; }; $goods = array_filter($this->goods, $filter); usort($goods, function($a, $b) { if ($a[2] == $b[2]) { if ($a[2] / $a[1] < $b[2] / $b[1]) { return 1; } return 0; } return $a[2] < $b[2]; }); return $goods;}接收标准输入处理并输出结果：$arr = explode(’,’, $input);$filter = function ($value) { return explode(’ ‘, $value);};$knapsack = new Knapsack(array_map($filter, $arr), 8);$goods = $knapsack->getGoods();echo $knapsack->getMaxPrice(), ’ ‘, implode(’ ‘, array_column($goods, 0)), PHP_EOL;总结该题使用动态规划求解，算法的时间复杂度为 $O(nc)$，当然也可以采用其他方式求解。例如先将订单按照价值排序，然后依次尝试进行安排订单，直至剩余耗时不能再被安排订单。有关动态规划的其他典型应用，请参考 常见的动态规划问题分析与求解 一文。相关文章 »王者编程大赛之一（2017-12-05）王者编程大赛之二 — 蓄水池 （2017-12-05）王者编程大赛之四 — 约瑟夫环（2017-12-06）王者编程大赛之五 — 最短路径（2017-12-06）