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leetcode买卖股票的最佳时机IIIIIIIV含手续费含冷冻期

jiezi

前言

出场率很高的系列面试题，半年内，头条 18 次，阿里 4 次，小米 3 次（我买了会员所以可以看到出场率）。最近要面试的必看。

121. 买卖股票的最佳时机（简单）

原题

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。注意你不能在买入股票前卖出股票。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

思路

注意：本题题限制交易次数为 1 次。

  • 第 i 天

    • 如果第 i 天持有股票。有两种可能会在第 i 天持有股票。

      1. 今天购买股票
      2. 今天之前就已经购买股票

    • 如果第 i 天不持有股票。有两种可能会在第 i 天不持有股票。

      1. 今天本身就不持有股票
      2. 今天卖出本身持有的股票

  • 第一天，股价为7

    • 由购买股票属于支出，所有如果在第一天购买股票，最大利润为0 - 7 = -7
    • 第一天不持有股票，利润为0

  • 第二天，股价为1

    • 我们需要将利润最大化，所以购买的股价越低越好。第二天股价为 1 是优于第一天的 7 的，所以我们应该选择在第二天购买股票，此时最大利润为 0 - 1 = -1。（由于本题本身限制了交易次数，所以不存在被除数 不等于 0 的情况）
    • 第二天不持有股票，有两种可能（第二天本身就不持有股票，状态沿用前一天的状态。或者，以️今天的股价卖出当前持有的股票。）。第一种可能，最大收益为0, 第二种可能，最大收益为1 - 7 = -6，小于0。所以我们在第二天的最大收益应该是0。

  • 第三天，股价为5

    • 第三天股价为 5 比前一天要高，所以我们依然选择在前一天购买股票，持有股票时第三天最大利润依然为-1
    • 第三天不持有股票，有两种可能。第一种可能是沿用前一日的状态，收益依然为0。第二种可能，以今天的股价卖出当前持有股票，收益为5 - 1 = 4（当前的股价 – 前一日持有股票时的最优值或者说成本最低值），结果是4，优于第一种可能。所以在第三天不持有股票的最大收益为4。

向后依次类推，找出，不持有股票的最优结果数组中的, 最大值即可。????（因为不持有股票时，才没有负担啊～～）。

代码


var maxProfit = function(prices) {if (prices.length === 0 || prices.length === 1) {return 0}
    // dp1 数组存储第 `i` 天，持有股票的最大利润
    const dp1 = []
    dp1[0] = -prices[0]
    // dp2 数组存储第 `i` 天，不持有股票的最大利润
    const dp2 = []
    dp2[0] = 0
    
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {dp1[i] = Math.max(dp1[i - 1], -prices[i])
        dp2[i] = Math.max(dp2[i - 1], prices[i] + dp1[i - 1])
    }
    
    return dp2[dp2.length - 1]
};

122. 买卖股票的最佳时机 II（简单）

原题

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3。

示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

思路

注意：本题不限制交易次数（309 题，714 题都可以看作是本题的引申）

与第一题不同，本题是可以进行无限次的交易。所以我们的收益是可以 累加 的。对状态转移方程式的影响，最直接的体现，就是对于 第i天持有股票的最优解 我们需要考虑前一天收益，而不是从 0 开始。所以，持有股票的状态转移方程式由，Max(前一天的状态, 0 - 今天的股价)变为Max(前一天的状态，前一天的最优收益 - 今天的股价）。

我们按照上题的推导逻辑，依次类推即可。最后，返回最后一天 不持有股票 时的最佳收益即可。

代码


/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {if (prices.length === 0 || prices.length === 1) {return 0}
    
    const dp1 = []
    dp1[0] = -prices[0]
    
    const dp2 = []
    dp2[0] = 0
    
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {dp1[i] = Math.max(dp1[i - 1], dp2[i - 1] - prices[i])
        dp2[i] = Math.max(dp2[i - 1], prices[i] + dp1[i - 1])
    }
    
    return dp2[prices.length - 1]
};

714. 买卖股票的最佳时机含手续费（中等）

原题

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。你可以无限次地完成交易，但是你每次交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。返回获得利润的最大值。

示例 1:

输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

思路

本题是 122 题的变种，我们只需要在卖出股票时，考虑手续费 fee 即可。

代码


/**
 * @param {number[]} prices
 * @param {number} fee
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices, fee) {if (prices.length === 0 || prices.length === 1) {return 0}
    
    const dp1 = []
    dp1[0] = -prices[0]

    const dp2 = []
    dp2[0] = 0
    
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {dp1[i] = Math.max(dp1[i - 1], dp2[i - 1] - prices[i])
        dp2[i] = Math.max(dp2[i - 1], prices[i] + dp1[i - 1] - fee)
    }
    
    return dp2[dp2.length - 1]
};

309. 最佳买卖股票时机含冷冻期（中等）

原题

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格。​设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

  • 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
  • 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

思路

本题依然是 122 题的变种，但是又有所区别。

交易股票分为 买入 ， 卖出 两步。买入 的操作是受到了冷冻期的限制，但是 卖出 是不受冷冻期的限制的。根据冷冻期的规则，我们需要将 持有股票的状态转移方程 调整为上图所示。但是很多人看到上面的公式，都会提出下面这个疑问。

????️Q：第 i 天持有股票的最优状态为什么要从第 i - 2 天不持有的状态获得，第 i-1 天就一定是冷冻期吗？

????A: 第 i 天持有股票的方式有两种可能。第一种可能，本身就持有股票，延续 i-1 天的状态 。第二种可能， 以第 i 天的股价购买股票 ，那么我们就需要考虑，第i-1 天不持有股票状态。

如果第 i-1 天是冷冻期。那么第 i-1 天的状态必然和第 i-2 天相等。

如果第 i-1 天不是是冷冻期。有两种可能。第一种可能，第 i-1 天本身就不持有股票，那么我们就需要得到第 i-2 天的状态 。第二种可能，第i-1 天卖出股票，由于冷冻期的限制，第 i 天就不能购买股票，所以这种可能不成立（无论是不是冷冻期，我们都不能在第 i-1 天卖出股票）。

通过上面的分析可知。无论第 i-1 天是不是冷冻期，我们都要从第 i-2 天不持有股票的最优解进行计算。

代码


/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {if (prices.length === 0 || prices.length === 1) {return 0}
    
    const dp1 = []
    dp1[0] = -prices[0]

    const dp2 = []
    dp2[0] = 0
    
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {let temp = dp2[i - 2] === undefined ? 0 : dp2[i - 2]
        dp1[i] = Math.max(dp1[i - 1], temp - prices[i])
        dp2[i] = Math.max(dp2[i - 1], prices[i] + dp1[i - 1])
    }
    
    return dp2[dp2.length - 1]
};

123. 买卖股票的最佳时机 III（困难）

原题

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天（股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3。

示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

思路

本题的思考需要增加一个纬度，之前我们只需要考虑 持有 与不持有 两种情况，我们在两种情况上，增加到四种情况。持有股票，还有两次交易机会 ， 持有股票，还有一次交易机会 ， 不持有股票，还有两次交易机会 ， 不持有股票，还有一次交易机会。

代码


/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {if (prices.length === 0 || prices.length === 1) {return 0}
    
    // 持有股票
    const dp1 = [[-prices[0]], // 还剩下两次交易机会
        [-prices[0]] // 还剩下一次交易机会
    ]
    // 不持有股票
    const dp2 = [[0], // 还剩下两次交易机会
        [0] // 还剩下一次交易机会
    ]
    
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
        // 持有股票，还有两次交易机会
        dp1[0][i] = Math.max(dp1[0][i - 1], -prices[i])
        // 持有股票，还有一次交易机会
        dp1[1][i] = Math.max(dp1[1][i - 1], dp2[0][i - 1] - prices[i])
        // 不持有股票，还有两次交易机会
        dp2[0][i] = Math.max(dp2[0][i - 1], prices[i] + dp1[0][i - 1]) 
        // 不持有股票，还有一次交易机会
        dp2[1][i] = Math.max(dp2[1][i - 1], prices[i] + dp1[1][i - 1])
    }
    
    return dp2[1][prices.length - 1]
};

188. 买卖股票的最佳时机 IV（困难）

原题

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [2,4,1], k = 2
输出: 2
解释: 在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2。

示例 2:

输入: [3,2,6,5,0,3], k = 2
输出: 7
解释: 在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3。

思路

本题是 123 题的衍生，在 leetcode 用例中，会有因为 k 过大，导致 dp 数组过大，导致内存溢出的问题。

长度为 n 的数组，最多进行 n/2 次的交易，所以所以 k 大于n/2，就相当于不限制交易次数, 我们就可以把本题当作第 122 题处理。

代码


/**
 * @param {number} k
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(k, prices) {if (prices.length === 0 || prices.length === 1) {return 0}
    
    if (k === 0) {return 0}
    
    if (k > prices.length / 2) {k = -1}
    
    const dp1 = []
    const dp2 = []
    
    if (k == -1) {dp1[0] = -prices[0]
        dp2[0] = 0
    } else {for (let i = 0; i < k; i++) {dp1.push([-prices[0]])
            dp2.push([0])
        }
    }
    
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {if (k === -1) {dp1[i] = Math.max(dp1[i - 1], dp2[i - 1] - prices[i])
            dp2[i] = Math.max(dp2[i - 1], prices[i] + dp1[i - 1])
        } else {for (let j = 0; j < k; j++) {if (j === 0) {dp1[j][i] = Math.max(dp1[j][i - 1], -prices[i]) 
                } else {dp1[j][i] = Math.max(dp1[j][i - 1], dp2[j - 1][i - 1] - prices[i])
                }
                dp2[j][i] = Math.max(dp2[j][i - 1], prices[i] + dp1[j][i - 1]) 
                dp2[j][i] = Math.max(dp2[j][i - 1], prices[i] + dp1[j][i - 1])
            }
        }
    }
    
    if (k === -1) {return dp2[prices.length - 1]
    } else {return dp2[k - 1][prices.length - 1]
    }
};

QA

????️Q：今天的最优解，是基于前一天的最优解得到的，这样可以保证全局最优吗？

????A：我们可以把每一天当作最后一天。在最后一天，我们️收益值基于两种可能。第一种可能，最后一天时我们没有股票，
由于是最后一天所以，我们也不能买入股票，只能维持前一天的收益值。第二种可能，最后我们手上恰好还有股票，我们只能选择将它卖出，我们的收益值取决于 当天的股价 以及 买入的价格（持有股票的最优值），当天的股价是确定以及肯定的，如果 买入的价格 不是最优值，我们必然无法得到收益的最大值。

参考

[Most consistent ways of dealing with the series of stock problems
](https://leetcode.com/problems…

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