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以逻辑回归为例，介绍分类结果的评价方式。
精准率和召回率
对于极度偏斜的数据，使用分类准确度来评判模型的好坏是不恰当的，精确度和召回率是两个更好的指标来帮助我们判定模型的好快。
二分类的混淆矩阵
精准率和召回率是存在于混淆矩阵之上的，以二分类为例，分类 0 是偏斜数据中占优势的一方，将关注的重点放在分类为 1 上，其混淆矩阵如下：
真实值预测值
0
1
0
9978（TN）
12（FP）
1
2（FN）
8（TP）
TN 的含义是预测 negative 正确的数量，即真实分类为 0 预测的分类结果也为 0 的共有 9978 个；
FN 的含义是预测 negative 错误的数量，即真实分类为 1 预测的分类结果为 0 的共有 2 个；
FP 的含义是预测 positive 错误的数量，即真实分类为 0 预测的分类结果为 1 的共有 12 个；
TP 的含义是预测 positive 正确的数量，即真实分类为 1 预测的分类结果也为 1 的共有 8 个。
TN、FN、FP、TP 的实现如下（y_true 表示真实分类，y_predict 表示预测结果）：
import numpy as np
def TN(y_true, y_predict):
return np.sum((y_true == 0) & (y_predict == 0))
def FP(y_true, y_predict):
return np.sum((y_true == 0) & (y_predict == 1))
def FN(y_true, y_predict):
return np.sum((y_true == 1) & (y_predict == 0))
def TP(y_true, y_predict):
return np.sum((y_true == 1) & (y_predict == 1))
混淆矩阵的结果为：
def confusion_matrix(y_test, y_predict):
return np.array([
[TN(y_test, y_log_predict), FP(y_test, y_log_predict)],
[FN(y_test, y_log_predict), TP(y_test, y_log_predict)]
])
Scikit Learn 中封装了混淆矩阵方法 confusion_matrix()：
from sklearn.metrics import confusion_matrix
confusion_matrix(y_true, y_predict)
精准率和召回率及实现
有了混淆矩阵，精准率和召回率久很好表示了。
精准率表示预测分类结果中预测正确的数量的占比，即：
$$
precision=\frac{TP}{TP+FP}
$$
将其用代码表示为：
def precision_score(y_true, y_predict):
tp = TP(y_true, y_predict)
fp = FP(y_true, y_predict)
try:
return tp / (tp + fp)
except:
return 0.0
召回率表示真实分类中被预测正确的数量的占比，即：
$$
recall=\frac{TP}{TP+FN}
$$
将其用代码表示为：
def recall_score(y_true, y_predict):
tp = TP(y_true, y_predict)
fn = FN(y_true, y_predict)
try:
return tp / (tp + fn)
except:
return 0.0
Scikit Learn 中也封装了计算精准率的方法 precision_score() 和计算召回率的方法 recall_score()：
from sklearn.metrics import precision_score
precision_score(y_true, y_predict)
from sklearn.metrics import recall_score
recall_score(y_true, y_predict)
F1 Score
精准率和召回率这两个指标的侧重点不同，有的时候我们注重精准率（如股票预测），有的时候我们注重召回率（病人诊断）。但有时候又需要把两者都考虑进行，此后就可以使用 F1 Score 指标。
F1 Score 是精准率和召回率的调和平均值，公式为：
$$
\frac{1}{F1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{precision}+\frac{1}{recall})
$$
即：$F1=\frac{2·precision·recall}{precesion+recall}$，并且 F1 Score 的取值是在区间 $[0, 1]$ 之中的。
代码实现为：
def f1_score(y_true, y_predict):
precision = precision_score(y_true, y_predict)
recall = recall_score(y_true, y_predict)
try:
return 2 * precision * recall / (precision + recall)
except:
return 0.0
Scikit Learn 中封装了方法 f1_score() 来计算 F1 Score：
from sklearn.metrics import f1_score
f1_score(y_true, y_predict)
Precision-Recall 曲线
Scikit Learn 的逻辑回归中的概率公式为 $\hat p=\sigma(\theta^T·x_b)$，其决策边界为 $\theta^T·x_b=0$，但是如果决策边界不为 0 会如何呢？
假定决策边界为 $\theta^T·x_b=threshold$，当 threshold 的取值不同（0、大于 0 的某个值、小于 0 的某个值），对应的精确度和召回率也不同。如图：
圆形和星形是不同的的分类，并且重点放在星形的分类上，可以看出，threshold 的取值越大时，精确率越高，而召回率越低。
如果要更改决策边界，逻辑回归的 decision_function() 返回传入数据的 $\theta^T·x_b$ 计算结果 decision_scores，接着再构建一个新的预测结果；如代码所示，设定 decision_scores >= 5（默认 decision_scores >= 0) 的预测结果才为 1，其余为 0：
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
log_reg = LogisticRegression()
# X_train, y_train 为训练数据集
log_reg.fit(X_train, y_train)
# X_test，y_test 为测试数据集
decision_scores = log_reg.decision_function(X_test)
y_log_predict_threshold = np.array(decision_scores >= 5, dtype=’int’)
如此可以得到不同的 y_log_predict_threshold，进而得到不同的精准率和召回率。
以手写数字识别数据为例，将标记为 9 的数据分类为 1，其余分类为 0：
from sklearn import datasets
digits = datasets.load_digits()
X = digits.data
y = digits.target.copy()
y[digits.target==9] = 1
y[digits.target!=9] = 0
from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=500)
接着训练逻辑回归模型：
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
log_reg = LogisticRegression()
log_reg.fit(X_train, y_train)
获取测试数据集 X_test 对应的 $\theta^T·x_b$ 取值：
decision_scores = log_reg.decision_function(X_test)
在 decision_scores 的取值区间划分为一系列值 thresholds，并将其中的值依次作为决策边界，进而得到不同的精确率和召回率
from sklearn.metrics import precision_score
from sklearn.metrics import recall_score
precisions = []
recalls = []
thresholds = np.arange(np.min(decision_scores), np.max(decision_scores), 0.1)
for threshold in thresholds:
y_predict = np.array(decision_scores >= threshold, dtype=’int’)
precisions.append(precision_score(y_test, y_predict))
recalls.append(recall_score(y_test, y_predict))
将精确率、召回率与决策边界的关系绘制如图：
精确度与召回率的关系，即 Precision-Recall 曲线则为：
Scikit Learn 中提供的 precision_recall_curve() 方法传入真实分类结果和 decision_scores，返回 precisions、recalls 和 thresholds：
from sklearn.metrics import precision_recall_curve
precisions, recalls, thresholds = precision_recall_curve(y_test, decision_scores)
Precision-Recall 曲线越靠外（即面积越大）则表示模型越好。
多分类中的精确率和召回率
在过分类中，Sckit Learn 提供的 confusion_matrix() 可以直接返回多分类的混淆矩阵，而对于精确率和召回率，则要在 Sckit Learn 提供的方法中指定 average 参数值为 micro，如：
from sklearn.metrics import precision_score
precision_score(y_test, y_predict, average=’micro’)
ROC 曲线
对于用图形面积判断模型好快，ROC 曲线比 Precision-Recall 曲线要好。
ROC 曲线涉及两个指标，TPR 和 FPR。TPR 就是召回率，即：$TPR=\frac{TP}{TP+FN}$；FPR 表示真实分类（偏斜数据中占优势的分类）中被预测错误的数量的占比，即：$FPR=\frac{FP}{TN+FP}$。实现代码为：
def TPR(y_true, y_predict):
tp = TP(y_true, y_predict)
fn = FN(y_true, y_predict)
try:
return tp / (tp + fn)
except:
return 0.0
def FPR(y_true, y_predict):
fp = FP(y_true, y_predict)
tn = TN(y_true, y_predict)
try:
return fp / (fp + tn)
except:
return 0.0
对于决策边界的不同，这两个指标的变化趋势是一致的。还是以上面的手写数字识别数据为例，计算不同决策边界下的两指标的值为：
fprs = []
tprs = []
for threshold in thresholds:
y_predict = np.array(decision_scores >= threshold, dtype=’int’)
fprs.append(FPR(y_test, y_predict))
tprs.append(TPR(y_test, y_predict))
作出的 TPR 和 FPR 的关系图（即 ROC 曲线）为：
Scikit Learn 中提供的 roc_curve() 方法传入真实分类结果和 decision_scores，返回 TPR、FPR 和 thresholds：
from sklearn.metrics import roc_curve
fprs, tprs, thresholds = roc_curve(y_test, decision_scores)
roc_auc_score() 方法传入真实分类结果和 decision_scores，返回 ROC 曲线表示的面积。
from sklearn.metrics import roc_auc_score
roc_auc_score(y_test, decision_scores)
面积越大，则模型越好。
源码地址
Github | ML-Algorithms-Action
