机器学习2决策树

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决策树 (Decision Tree)是一种十分常用的分类方法,作为一个预测模型,决策树表示对象属性与对象值之间的一种映射关系。

1. 信息熵和信息增益

1.1 信息熵

公式表示为: 其中 S 表示样本集,c 表示样本集合中类别个数,Pi 表示第 i 个类别的概率。

  • 信息熵的意思就是一个变量 i(就是这里的类别)可能的变化越多(只和值的种类多少以及发生概率有关),它携带的信息量就越大(因为是相加累计),即类别变量 i 的信息熵越大。
  • 二分类问题中,当 X 的概率 P(X) 为 0.5 时,表示变量的不确定性最大,此时的熵达到最大值 1。
  • 信息熵反映系统的确定程度:信息熵越低,系统越确定;信息熵越高,系统越不确定

1.2 条件熵

公式表示为: 其中 ti 表示属性 T 的取值。条件熵的直观理解:假设单独计算明天下雨的信息熵:H(Y)=2,而在已知今天阴天情况下计算明天下雨的条件熵:H(Y|X)=0.5(熵变小,确定性变大,明天下雨的概率变大,信息量减少),这样相减后为 1.5,在获得阴天这个信息后,下雨信息不确定性减少了 1.5,信息增益很大,所以今天是否时阴天这个特征信息 X 对明天下雨这个随机变量 Y 的来说是很重要的。

1.3 信息增益

公式表示为:
信息增益考察某个特征对整个系统的贡献。

2. 算法实现

2.0 数据集描述

通过“不浮出水面能否生存 no surfacing”和“是否有脚蹼 flippers”来判断 5 种海洋生物是否属于鱼类。

2.1 计算信息熵

from math import log

def calcInforEnt(dataSet):
    num = len(dataSet)
    labelCount = {}
    for featVec in dataSet:
        currentLabel = featVec[-1]
        if currentLabel not in labelCount.keys():
            labelCount[currentLabel] = 0
        labelCount[currentLabel] += 1  # 统计类别数目,labelCount = {'yes': 2, 'no': 3} 
    inforEnt = 0.0
    for key in labelCount:
        prob = float(labelCount[key]) / num
        inforEnt -= prob * log(prob, 2)
    return inforEnt

测试:

dataSet = [[1, 1, 'yes'], [1, 1, 'yes'], [1, 0, 'no'], [0, 1, 'no'], [0, 1, 'no']]
calcInforEnt(dataSet)  # 0.9709505944546686

2.2 划分数据集

按照给定特征值划分数据集

def splitDataSet(dateSet, axis, value):
    retDataSet = []
    for featVec in dataSet:
        if featVec[axis] == value:
            reducedFeatVec = featVec[:axis]
            reducedFeatVec.extend(featVec[axis+1:])
            retDataSet.append(reducedFeatVec)
    return retDataSet

测试:

dataSet = [[1, 1, 'yes'], [1, 1, 'yes'], [1, 0, 'no'], [0, 1, 'no'], [0, 1, 'no']]
splitDataSet(dataSet, 0, 1)  # [[1, 'yes'], [1, 'yes'], [0, 'no']]
splitDataSet(dataSet, 0, 0)  # [[1, 'no'], [1, 'no']]

2.3 选择最好的特征划分数据集

遍历整个数据集,循环计算信息熵和 splitDataSet() 函数,找到最好的特征划分方式。

def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
    numFeatures = len(dataSet[0]) - 1  # 数据集的最后一列表示类标签
    baseEntropy = calcInforEnt(dataSet)
    bestInforGain = 0.0
    bestFeature = -1
    for i in range(numFeatures):
        featList = [example[i] for example in dataSet]  # 取出每个属性的所有值,组成一个数组
        uniqueVals = set(featList)  # 去重
        newEntropy = 0.0
        for value in uniqueVals:
            subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)
            prob = len(subDataSet) / float(len(dataSet))
            newEntropy +=  prob * calcInforEnt(subDataSet)
        inforGain = bestInforGain - newEntropy
        if inforGain > bestInforGain:
            bestInforGain = inforGain
            bestFeature = i
    return bestFeature

测试:

dataSet = [[1, 1, 'yes'], [1, 1, 'yes'], [1, 0, 'no'], [0, 1, 'no'], [0, 1, 'no']]
chooseBestFeatureToSplit(dataSet)  # 0

2.4 递归构建决策树

工作原理:得到原始数据集,基于最佳的属性划分数据集,由于属性存在两个或以上属性值,因此存在两个或以上的数据分支。第一次划分结束后,数据向下传递到树分支中,每个分支按照条件继续分叉。
递归结束条件:程序遍历完所有划分数据集的属性,或者每一个分支下的实例属于相同分类

import operator

def majorityCnt(classList):
    classCount = {}
    for vote in classList:
        if vote not in classCount.keys(): 
            classCount[vote] = 0
        classCount[vote] += 1
        sortedClassCount = sorted(classCount.items(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True)
        return sortedClassCount[0][0]

# 创建树
def ctrateTree(dataSet, labels):
    classList = [example[-1] for example in dataSet]
    if classList.count(classList[0] == len(classList)):
        return classList[0]  # 类型相同,停止划分
    if len(dataSet[0]) == 1:
        return majorityCnt(classList)  # 遍历结束,返回出现频率最高的特征
    bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet)
    bestFeatLabel = labels[bestFeat]
    myTree = {bestFeatLabel: {}}
    del(labels[bestFeat])
    featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]
    uniqueVals = set(featValues)
    for value in uniqueVals:
        subLabels = labels[:]
        myTree[bestFeatLabel][value] = ctrateTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value), subLabels)
    return myTree 

测试:

dataSet = [[1, 1, 'yes'], [1, 1, 'yes'], [1, 0, 'no'], [0, 1, 'no'], [0, 1, 'no']]
labels = ['no surfacing', 'flippers']
ctrateTree(dataSet, labels)  # {'no surfacing': {0: 'no', 1: {'flippers':{0: 'no', 1: 'yes'}}}}

3. 评价

以上决策树的 ID3 的实现方式,没有剪枝的步骤,容易发生过度拟合,导致决策树过高。C4.5 决策树的改进策略:

  • 用信息增益率来选择属性,克服了用信息增益选择属性偏向选择多值属性的不足
  • 在构造树的过程中进行剪枝,参考剪枝算法
  • 对连续属性进行离散化
  • 能够对不完整的数据进行处理

4. 参考

  • 《机器学习实战》
  • 信息熵与信息增益

正文完
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