UX004
什么叫做二次函数?
想必大家上学的时候都接触过吧，大概的形式就是：y=ax^2+bx+c(a≠0)
为什么这种东西叫做“二次函数”呢，在 UX003 中，我们已经介绍过“次”的概念了，“次”指的就是“代数式”中“代数”的数量
➣那么这个“代数式”中明明有三个 x，为什么也能叫做“二次函数”呢？
这还要从代数学的基础开始讲起。
多项式
y=ax^2+bx+c(a≠0)中，固然可以包含 3 次，但是“二次函数”中的“次”，并不是指的整个式子的“次”，而是指的“最高项”的次。
➣那什么叫做“项”？
项就是“代数式中的乘法单元[1]”，乘法单元是由代数和放大倍数组成的。其中放大倍数我们又叫系数。
如果“项”中“代数的指数”是一样的，那么就可以通过“乘法结合律”将这些“项”进行合并。
比如 ax^2+bx^2+cx，就可以合并为(a+b)x^2+cx。
➣那什么叫做“多项式”?
不止一个乘法单元的“代数式”就叫做“多项式”。
所以，y=ax^2+bx+c(a≠0)都是“二次函数”，只要 (a≠0) 就可以了，因为当它等于 0 的时候，最高次就不是 2 了，b 或者 c 等于 0 那完全没有关系。
➣顺便提一下“元”
“元”指的就是“未知数的种类”。
比如 xyz 就是“三元函数”，x^3y 就是“二元函数”。
重新定义二次函数
不过，我并不喜欢把以上形式叫做二次函数。因为这种形式实在是不简洁。
所以在这个系列中 y =ax^2(a≠0)这种形式才会被称为二次函数。
因为这种形式不仅简洁，而且有一种传承的关系，他像是从刚刚学过的一次函数也就是 y =ax+ c 中，变过来的。
y=ax^2+bx+c(a≠0)更像是二次函数的某种变体，这种东西我们称为广义二次函数。
数学上的一个重要思想就是从普遍到特殊，研究一个东西，不能一口吃个胖子。
一些特殊的复杂的概念，往往是由简单的数学概念经过各种运算变化而来。
所以我们先掌握二次函数，这才是最重要的事情。
二次函数的解析
f(x)=ax^2(a≠0)
观察图像，再结合解析式，我们可以分析出二次函数的以下性质。
➣一定过原点(0,0)。
因为只有一个项，所以 x = 0 的话，输出值就永远是 0。
➣值域要不就是 >= 0 要不就是 <=0。
因为，单纯看 x^2 的话，值域一定是 >=0，因为这是一个偶数次幂，这种预算不可能产生负数。
但是，x^2 前面还有一个系数，之前我们说过系数主要有两个作用，一个是改变符号，另一个是数值成比例放大缩小。
所以当系数 <0 的时候，值域就一定是 <=0。
➣一定是偶函数 / Y 轴对称
因为偶函数的定义就是，当改变了参数符号时，输出值完全不变。
由偶次幂的原因，符号改变输出值是不会变的。
f(-x)=f(x)
➣剧烈度一定比一次函数强
可以想见，剧烈程度应该是比一次函数强的。
因为，毕竟是 x×x。
一次函数唯一的胜利
同时画出两种图像，发现最后一个结论是有问题的。
在系数一样的情况下，一次函数虽然整体上大幅落后，但是在最初的阶段却有一个短暂的胜利。
➣这到底是为什么？
其实仔细一想就懂了，幂函数固然厉害，但是乘法运算有一个问题。
就是对于 <1 的数进行乘法运算的时候，输出值反而还不如参数直接相加。
5×5=25，看起来很猛，但是 0.5×0.5=0.25
这个临界点就是 x =1，在 x = 1 的时候，两个式子最终的结果是完全一样的。
胳膊拧不过大腿
如果在二次函数的基础上，再加上一个一次函数，比如 h(x)=x^2+x，那么呈现出来的图像会是什么样子呢？
➣图像形状会不会发生改变？
➣图像将怎么移动？
➣图像的增减性和对称性会发生什么变化？
性状为啥不变?
➣从图上可以看出，图像的形状没有任何变化，这是为什么呢?
因为，图像的形状其实很大程度上取决于“斜率”，一次函数的斜率是不变的，所以就是一条斜线。
可以看到二次函数的斜率是一直在变化的，因为倾斜的角度越来越大，所以说二次函数是在“加速”，形成一个漏斗的形状。
加入一次函数，就相当于给二次函数增加了一个初始的速度，并不会影响其“加速度”，自然也就对形状不会造成任何影响。
只会对某一个时间点 (参数) 的速度造成造成影响，所以，只表现出了位移。
为啥总向下移动？
➣那么这种位移的规律是什么呢？
h(x)=x^2+5x 时，可以看到图像是往下移动的；那么 h(x)=x^2- x 的时候，是不是就向上移动？
听起来貌似好像有点道理，但是画出来之后发现还是向下移动的。
➣为什么会出现这种现象呢？
这就和之前的知识联系起来了，之前的时候我们介绍过函数的运算对无聊性的影响。
二次函数本身是没有无聊性的，但是从中间一劈两半他们是有的。
为了便于理解，我们拆成两半儿再来看。
f2(x)=x^2,(x>=0)
新的函数 f2 明显是递增函数，现在在此基础上加上一个一次函数 g(x)=-x。
那么，这就属于“增函数和减函数”的加法运算。
UX002 中提到，由于相加的两个函数趋势正好相反，所以最终的结论并不是显而易见的。
到底谁能够主导增减性，取决于某个区间内谁的优势更大。
根据之前分析过的性质，显然在 [0,1) 这个区间的时候，一次函数获得过一个短暂的优势，所以在 [0,1) 这个区间上的函数是一个减函数。
从图上来看就好像，一次函数把二次函数往下坠了一样。
当一次函数的系数的 <0 时，在左侧也会出现同样的状况，只不过由于符号变了，所以一个在正半轴一个在负半轴。
依旧对称
图像的形状没变，所以说依然对称。
只是位置变了，对称轴不是 Y 轴，自然也就不是偶函数了。
项首和最终走势
对于稍微复杂一点的多项式函数, 图像就不是那么直观了, 很难直接想象出准确的趋势.
但是根据“胳膊拧不过大腿”，它最终的趋势一定是“指数最高的那个项”来决定的。
比如,6x^4-3x^2+10, 这个函数的走势最终是 6x^4 这个项决定的。
之后的那些影响都很小，只能造成一些小波澜。
次数最高的项被称为多项式的“项首”，所以说：解析式的项首决定函数图像的最终走势。
拆弹部队
y=x^2-2x-2 是炸弹的起爆函数曲线，参数 x 代表时间，输出值 y 代表炸弹起爆时释放出的能量。
当 y >0 的时候，爆炸将无可避免的发生。
所以为了拆除炸弹，拆弹部队要在 y <0 之前就完成行动。
所以计算出起爆时间点就十分关键，一旦计算错误就会导致任务失败。
这个时间点也就是 -2x-2 与 x^2 战平的时间，从图上来看，也就是 X 轴截距。
那么，该如何计算出这个起爆时间点呢?
同志，我的命就交到你手上了。如果我死了，一定要去找你的数学老师算账！！！
注释
[1]“乘法单元”是一个自造词，只是为了解释的方便，之后不会使用这个词，而是使用通用的“项”。
关于本文
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我是心如止水，欢迎你和我换个姿势学数学。