关于webgl:前端图形学从入门到放弃002-教练我想学矩阵

本文纲要

• 矩阵和线性变换是什么？
• webgl 如何实现缩放和旋转？
• 平移不是线性变换，那该怎么办？
• webgl 如何实现平移？

明天的主菜是“矩阵”

在上一篇中咱们曾经实现了应用 webgl 绘制图形这个小指标《前端图形学从入门到放弃》001 画一个三角形
明天咱们来探讨一个新的话题矩阵
咱们都晓得空间中的点咱们能够用向量示意，例如二维立体中的点（1，1）就示意第一象限的点：

而多个点就能组成图形，这也是上一篇文章中咱们说过的。
理论生产中这些图形往往并不会固定在画面中不懂，例如咱们能够对图形进行旋转，缩放，挪动。
实际上这个过程就是将图形的顶点组进行了旋转，缩放，挪动，成为了新的顶点组，再由新的顶点组绘制成新的图形。

例如咱们要将由点 A(0,0),B(1,0),C(0,1)组成的三角形放大一倍，那么咱们很容易晓得放大后的点ÂḂĆ的坐标

Âx = Ax2 = 02 = 0
Ây = Ay2 = 02 = 0
Ḃx = Bx2 = 12 = 2
Ḃy = By2 = 02 = 0
Ćx = Cx2 = 02 = 0
Ćy = Cy2 = 12 = 2

数学家嫌这一番操作太过麻烦，而点又是能够写成向量模式的，要是能把操作简化成Â = M* A 的模式就再好不过了，于是

    ⎡ 2  0 ⎤  
 = ⎪      ⎪ * A
    ⎣ 0  2 ⎦  

真是一顿操作猛如虎，一句不懂二百五

解剖矩阵

举证代表了一种计算，如上咱们应用了一个二维矩阵

    ⎡ A  B ⎤  
    ⎣ C  D ⎦  

与一个二维向量相乘，会失去一个新的二维向量，计算公式如下

    ⎡ A  B ⎤  ⎡x⎤  =   ⎡ A*x + B*y ⎤
    ⎣ C  D ⎦  ⎣y⎦      ⎣ C*x + D*y ⎦

当然矩阵也不仅仅能够和向量相乘也能够和举证相乘，矩阵也不仅仅能够是 2 2，也能够是 3 3，更能够是 n *m（n 代表行数，m 代表列数）。
两个矩阵能够相乘只须要，前一个矩阵的列数和后一个矩阵的函数相等即可。
例如 n m 的举证能够和 m l 的矩阵相乘，失去 n * l 的矩阵。
至于计算方法不是本文探讨的内容，举荐观看 3blue1brown 的视频。

缩放矩阵 与 旋转矩阵

而上文咱们看到的矩阵

    ⎡ 2  0 ⎤  
    ⎣ 0  2 ⎦  

就是一个把任意点放大两倍的矩阵，更个别的，如果能够写出缩放矩阵（n≠0）

    ⎡ n  0 ⎤  ⎡x⎤  =   ⎡ n*x ⎤
    ⎣ 0  n ⎦  ⎣y⎦      ⎣ n*y ⎦

相比于缩放还有一种操作也很高频，那就是旋转。后面没有提到，矩阵的变换是线性的。什么叫做线性？也是是说同样的操作（放大 2 倍）对 A 点产生的成果，和对 B 点产生的成果（放大 2 倍）是一样的。
所以对于旋转矩阵咱们也能够找到非凡的点进行求解，从而失去广泛实用的矩阵
对于 x 轴上的点 a，旋转ø角后，能够用下图形容

咱们就失去了二维立体上的旋转矩阵

    ⎡ cosø  -sinø ⎤  
    ⎣ sinø   cosø ⎦  

webgl 和矩阵更配哟～

上面咱们把矩阵和 webgl 联合起来，让《前端图形学从入门到放弃》001 画一个三角形中咱们实现的三角形能够旋转与缩放
首先咱们在页面上增加两个滑块分辨实现旋转与缩放

<canvas id="canvas" width="1000" height="1000"></canvas>
<div id="control">
    <input type="range" value=".75" min=".5" max="1" step="0.01" id="scale" value="0">
    <input type="range" value="0" min="0" max="360" step="0.01" id="rotate" value="0">
</div>

因为旋转和缩放操作仅仅影响顶点地位，上面咱们之须要批改顶点着色器即可：

<script id="vertex-shader-2d" type="notjs">
    attribute vec2 vertPosition;
    attribute vec3 vertColor;
    varying vec3 fragColor;
    // 额定申明两个矩阵用于旋转和缩放
    uniform mat2 scaleMatrix;
    uniform mat2 rotateMatrix;
    void main() {
      fragColor = vertColor;
      // 把顶点坐标与矩阵相乘，失去旋转和缩放后的新顶点，传给 gl
      gl_Position = vec4(scaleMatrix*rotateMatrix*vertPosition,0.0,1.0);
    }
   
  </script>

这两个申明的变量也要在 js 中取出

...
var positionAttribLocation = gl.getAttribLocation(program, 'vertPosition');
var colorAttribLocation = gl.getAttribLocation(program, 'vertColor');
var scaleMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'scaleMatrix');
var rotateMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'rotateMatrix');
...

因为咱们冀望在滑动滑块时，页面实时变动，因而须要一个 loop 函数来实现这所有：

....
 gl.useProgram(program);
      gl.drawArrays(gl.TRIANGLES, 0, 6);
      loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix);
    }
...

loop 函数：

var scaleNode = document.querySelector("#scale");
var rotateNode = document.querySelector("#rotate");
function loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix) {
      var angle = rotateNode.value/180*Math.PI;
      var scale = scaleNode.value;
      var sin = Math.sin(angle);// 旋转角度正弦值
      var cos = Math.cos(angle);// 旋转角度余弦值
      var myArr = new Float32Array([cos, -sin, sin, cos,]);
      var scaleArr = new Float32Array([scale, 0, 0, scale,]);
      gl.uniformMatrix2fv(rotateMatrix, false, myArr);
      gl.uniformMatrix2fv(scaleMatrix, false, scaleArr);
      gl.clearColor(0.75, 0.85, 0.8, 1.0);
      gl.clear(gl.COLOR_BUFFER_BIT | gl.DEPTH_BUFFER_BIT);
      requestAnimationFrame(function () {loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix);
      });
      gl.drawArrays(gl.TRIANGLES, 0, 3);
    }

功败垂成：

教练我动不了了

不晓得各位看官有没有发现，在矩阵这套线性变动下，咱们没方法做平移操作。因为作为原点的 o(0，0)不管乘以什么矩阵，后果都还是本人。然而平移操作是日常工作中极其常见的操作，不能平移甚至无奈实现拖拽！
难道图形学之路就此 gg？

但天无绝人之路，只有零点不是零点我就能够挪动它，对于二维立体，我能够把它看作三维世界中一个不过原点的立体，本来的 (x,y) 变为 (x，y，1)
此时就能够实现平移

依据上文，咱们曾经理解的矩阵常识，不难写出

而这种通过 n + 1 维实现了 n 维线性变换外加挪动操作的变换，就被称为 齐次变换。

webgl 和齐次变换更配哟～

上面咱们持续革新原有的 webgl 代码！
首先咱们还须要退出两个滑块别离管制，图形高低和左右静止

<div id="control">
   ...
    <input type="range" value="0" min="-0.5" max="0.5" step="0.01" id="tranX">
    <input type="range" value="0" min="-.5" max=".5" step="0.01" id="tranY">
  </div>

因为齐次变换将所有的矩阵都升维了，咱们须要革新定点着色器。

<script id="vertex-shader-2d" type="notjs">
    ...
    // 将本来二维矩阵定义为三维
    uniform mat3 scaleMatrix; 
    uniform mat3 rotateMatrix;
    uniform mat3 transformMatrix;
    void main() {
      fragColor = vertColor;
      vec3 v = rotateMatrix*scaleMatrix*transformMatrix*vec3(vertPosition,1.0);
      // 因为咱们之须要 x，y 把他们取出即可
      gl_Position = vec4(v.xy,0.0,1.0);
    }
   
  </script>

因为矩阵从二维变为三维，取出的变量也须要从新定义为三维：

...
var trMatrix = gl.getUniformLocation(program,'transformMatrix');
      var scaleMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'scaleMatrix');
      var rotateMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'rotateMatrix');
...
// 获取滑块
var tranXNode = document.querySelector("#tranX");
var tranYNode = document.querySelector("#tranY");
// 批改 loop 函数
...
    loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix,trMatrix);
}
function loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix,trMatrix) {
...
    var myArr = new Float32Array([cos, -sin, 0 , sin, cos, 0,0,0,1]);
    var scaleArr = new Float32Array([scale, 0, 0,0, scale,0,0,0,1]);
    var tranArr = new Float32Array([1,0,0,0,1,0,tranXNode.value,tranYNode.value,1]);
    // console.log(tranXNode.value);
    gl.uniformMatrix3fv(rotateMatrix, false, myArr);
    gl.uniformMatrix3fv(scaleMatrix, false, scaleArr);
    gl.uniformMatrix3fv(trMatrix, false, tranArr);
....

功败垂成：

下期预报

我想二维的世界，大家也腻了，下篇咱们将进入三维世界，并说说光线是如何影响物体的