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2D 矩阵对旋转的局限性在之前的文章中咱们探讨过旋转这件事，也说过用 2 阶矩阵形容的旋转：
教练我想学矩阵
很多成熟的框架 / 库也是基于矩阵这套逻辑来写的，比如说我膜拜的 pixi.js
{
// get the matrix values of the displayobject based on its transform properties..
lt.a = this._cx * this.scale.x;
lt.b = this._sx * this.scale.x;
lt.c = this._cy * this.scale.y;
lt.d = this._sy * this.scale.y;
lt.tx = this.position.x - ((this.pivot.x * lt.a) + (this.pivot.y * lt.c));
lt.ty = this.position.y - ((this.pivot.x * lt.b) + (this.pivot.y * lt.d));
this._currentLocalID = this._localID;
// force an update..
this._parentID = -1;
}然而很显著应用二阶矩阵有两个问题，第一旋转操作只能利用于原点，咱们无奈应用二阶矩阵实现绕任意点转动的计算，第二遇到平移操作时咱们须要拓展成齐次矩阵（这部分能够回看之前的文章）第一个问题其实在引入奇次矩阵后就能够解决，只有先把旋转点 A 平移到 0，绕原点旋转𝛉，再把 0 平移回旋转点 A。
这套逻辑尽管也够用，但更多状况下咱们只须要解决绕某个原点外的点旋转的逻辑即可。
比方下图模仿一个地月日零碎时解决月球绕地球的旋转。
有没有更优雅的模式呢？还真有那用复数。复数与复立体复数是什么？
复数与复立体
复数就是一个定义在复立体上的数，复立体相似咱们的直角坐标系，只不过 x 轴上是实数单位，y 轴上是虚数单位（就是高中数学外面那个√-1）
这个复立体上的一个点示意办法又很多比方能够用 x 轴 y 轴对应的长度示意成数系：(a,b)
能够分解成 xy 轴 (相似物理力的合成 \()：a cos\theta + b\bar{i}sin\theta \)
留神这里的加号并不示意两者能相加只是个记号
还能够示意成相似极坐标的模式：\(re^{i\theta} \)
同时因为复数是一个数，它还能够进行四则运算。
加法：
\(z_{A}+z_{B} = (x_{A},y_{A})+(x_{B},y_{B}) = (x_{A}+x_{B},y_{A}+y_{B}) \)
这不就是平移操作？就是 A 点向 x 方向平移了 \(x_{B} \)向 y 方向平移了 \(y_{B} \)
乘法：
\(z_{A}z_{B}=(Ae^{i\alpha})(Be^{i\beta}) = ABe^{i(\alpha+\beta)} \)
他的几何意义：
A 绕原点逆时针旋转了 \(\beta\)而长度减少了 B 倍。看到这里是不是 DNA 动了？
复数体系内缩放 / 旋转 / 平移是闭合的。不过咱们明天不聊缩放只着墨于旋转 + 平移。
复数形容平移与旋转
平移操作
咱们应用记号 \(T_{v}(z) \)示意将立体上的一个复数 z 挪动 v，即：\(T_{v}(z) = z + v \)。\(T_{v} \)的逆向操作就是 \(T_{v}^{-1} \)。
因为 \(T_{v}(z)T_{v}^{-1} (z)= T_{v}^{-1}(z)T_{v}(z)=z \)所以 \(T_{v}^{-1}= T_{-v} \)
而复合的平移能够写成：
\(T_{v}\circ T_{w}(z) = T_{v}(z+w)=z+(w+v) \)
旋转操作
对于旋转操作咱们能够定义绕 a 旋转𝛉为 \(R_{a}^{\theta} \)而显然 \(R_{a}^{\theta}R_{a}^{\vartheta}=R_{a}^{\theta+\vartheta} \)，\((R_{a}^{\theta})^{-1} = R_{a}^{-\theta} \)。而绕原点的旋转则能够写成
\(R_{0}^{\theta}(z)=e^{i\theta}z \)
那么怎么求出这个 \(R_{a}^{\theta} \)，咱们能够套用矩阵时的思路，把先把 a 平移到 0, 绕原点旋转𝛉, 再把 0 平移回 a:
\(R_{a}^{\theta}(z)=T_{a}\circ R_{a}^{\theta}\circ T_{a}^{-1}(z)=e^{i\theta}(z-a)+a=e^{i\theta}z+k \)
其中 \(k=a(1-e^{i\theta}) \)
这就意味着，绕任何点的旋转都能够写成绕原点的旋转再加上一个平移量。而后这个操作还是关闭的。
那么间断绕两个不同的点旋转？
\((R_{a}^{\alpha}\circ R_{b}^{\beta}) (z)= e^{i(\alpha+\beta)}z+v 其中 v=be^{i\alpha}(1-e^{i\beta})+a(1-e^{\alpha}) \)
\(当(\alpha+\beta) \ne 2k\pi 时：\)
\((R_{a}^{\alpha}\circ R_{b}^{\beta}) (z)=R_{c}^{\alpha+\beta} 其中 c= \frac{v}{1-e^{i(\alpha+\beta)}}=\frac{be^{i\alpha}(1-e^{i\beta})+a(1-e^{\alpha})}{1-e^{i(\alpha+\beta)}} \)
\(当(\alpha+\beta) = 2k\pi 时 e^{i(\alpha+\beta)}=1\)
\((R_{a}^{\alpha}\circ R_{b}^{\beta}) =T_{c} 其中 c=(1-e^{i\alpha})(b-a) \)
几何解释
最初咱们再从几何直观上了解下这两个过程，绕点 a 旋转后再绕点 b 旋转，在数学上能够证实总能找到另外一点 c 使得绕 c 点旋转 \((\alpha+\beta) \)与绕点 a 旋转后再绕点 b 旋转等价：
而 时，就是按连贯第一个旋转核心到第二个旋转核心的复数的 2 倍作平移：
代码层面
代码层面反而是最简略的，乞丐版只须要实现一个类 complexNumber 即可，在外部有一个办法 add 和 multi，对外只须要裸露一个 rotate 办法即可：
class complexNumber {
_real: number;
_imaginary: number;
constructor(real: number, imaginary: number) {
this._real = real;
this._imaginary = imaginary;
}
private _add(a:complexNumber,b:complexNumber):complexNumber{return new complexNumber(a._real+b._real,a._imaginary+b._imaginary);
}
private _mul(a:complexNumber,b:complexNumber):complexNumber{
const real = a._real*b._real-a._imaginary*b._imaginary;
const imaginary = a._real*b._imaginary+a._imaginary*b._real;
return new complexNumber(real,imaginary);
}
private sub(a:complexNumber,b:complexNumber):complexNumber{return new complexNumber(a._real-b._real,a._imaginary-b._imaginary);
}
public rotate(angle:number,z:complexNumber):[number,number]{const p = new complexNumber(Math.cos(angle),Math.sin(angle));
const v:complexNumber = this._mul(z,this.sub(new complexNumber(1,0),p));
const result:complexNumber = this._add(this._mul(p,this),v);
return [result._real,result._imaginary]
}
}
