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目标
1. 把握二维 DFT 变换及其物理意义
2. 把握二维 DFT 变换的 MATLAB 程序
3. 空域滤波与频域滤波
原理
1. 利用傅立叶变换进行图像处理
傅里叶变换是线性系统剖析的一个无力工具，它可能定量地剖析诸如数字化零碎、采样点、电子放大器、卷积滤波器、乐音和显示点等的作用。通过试验造就这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中无效利用数字图像处理技术的人来说，把工夫用在学习和把握博里叶变换上是很有必要的。
2. 傅立叶（Fourier）变换的定义
对于二维信号，二维 Fourier 变换定义为：
$$
F(u, v)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) e^{-j 2 \pi (u x+vy)} d x d y
$$
逆变换：
$$
f(x, y)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} F(u d, v) e^{j 2 \pi (u x+vy) } d u d v
$$
二维离散傅立叶变换为：
$$
F(u, v)=\sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x, y) e^{-j 2 \pi\left(\frac{\mathrm{ux}}{\mathrm{M}}+\frac{v y}{N}\right)}
$$
逆变换：
$$
f(x, y)=\frac{1}{M N} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u, v) e^{j 2 \pi\left(\frac{\mathrm{ux}}{M}+\frac{v y}{N}\right)}
$$
图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有疾速算法，具体参见参考书目，无关傅立叶变换的疾速算法的程序不难找到。实际上，当初有实现傅立叶变换的芯片，能够实时实现傅立叶变换。
利用 MATLAB 实现数字图像的傅立叶变换
A．
I=imread('D:\pic\DIP3E_CH03\Fig0316(3)(third_from_top).tif'); % 读入原图像文件
imshow(I); % 显示原图像
fftI=fft2(I); % 二维离散傅立叶变换
sfftI=fftshift(fftI); % 直流重量移到频谱核心
RR=real(sfftI); % 取傅立叶变换的实部
II=imag(sfftI); % 取傅立叶变换的虚部
A=sqrt(RR.^2+II.^2);% 计算频谱幅值
A=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(min(A)))*225; % 归一化
figure % 设定窗口
imshow(A); % 显示原图像的频谱 B．
傅立叶变换在图像处理，特地是在图像增强、还原和压缩中，扮演着十分重要的作用。理论中个别采纳一种叫做疾速傅立叶变换（FFT）的办法，MATLAB 中的 fft2 指令用于失去二维 FFT 的后果，ifft2 指令用于失去二维 FFT 逆变换的后果。
近似冲击函数的二维疾速傅立叶变换（FFT）
x=1:99;y=1:99;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
A=zeros(99,99);
A(49:51,49:51)=1;
B=fft2(A);
subplot(1,2,1),imshow(A),xlabel('空域图象');
subplot(1,2,2),imshow(B),xlabel('时域图象');
figure
subplot(1,2,1),mesh(X,Y,A),xlabel('空域'),grid on;
subplot(1,2,2),mesh(X,Y,abs(B)),xlabel('时域'),grid on;空域滤波与频域滤波
% 用于频域滤波的 m 函数
function g=dftfilt(f,H)
F=fft2(f,size(H,1),size(H,2));
g=real(ifft2(H.*F));
g=g(1:size(f,1),1:size(f,2));
%
function PQ=paddedsize(AB,CD,PARAM)
if nargin==1
PQ=2*AB;
elseif nargin ==2 & ~ischar(CD)
PQ=AB+CD-1;
PQ=2*ceil(PQ/2);
elseif nargin == 2
m=max(AB);
P=2^nextpow2(2*m);
PQ=[P,P];
elseif nargin == 3
m=max([AB CD]);
P=2^nextpow2(2*m);
PQ=[P,P];
else
error('Wrong number of inputs')
end
% 图像 f 的傅里叶频谱
f=imread('D:\pic\DIP3E_CH04\Fig0438(a)(bld_600by600).tif');
F=fft2(f);
S=fftshift(log(1+abs(F)));
%S=gscale(S);
% gscale 函数参照 function g=gscale(f,varargin)
imshow(S)
% 应用函数 fspecial 生成空间滤波器
h=fspecial(‘sobel’)
freqz2(h) % 查看相应频域滤波器图形
PQ=paddedsize(size(f));
H=freqz2(h,PQ(1),PQ(2));
H1=ifftshift(H);
imshow(abs(H),[])
figure,imshow(abs(H1),[])
gs=imfilter(double(f),h);% 生成滤波后的图像，并默认采纳了 0 进行边界填
充
gf=dftfilt(f,H1);
imshow(gs,[])
figure,imshow(gf,[])
figure,imshow(abs(gs),[])
figure,imshow(abs(gf),[])
% 创立一幅阀值 2 值图像
figure,imshow(abs(gs)>0.2*abs(max(gs(:))))
figure,imshow(abs(gf)>0.2*abs(max(gf(:))))
d=abs(gs-gf);
max(d(:))
min(d(:))参考文献：
[1] Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, and Steven L. Eddins. 2003. Digital Image Processing Using MATLAB. Prentice-Hall, Inc., USA.
[2] 阮秋琦. 数字图像处理（MATLAB 版）[M]. 北京：电子工业出版社, 2014..pdf)
[3] 冈萨雷斯. 数字图像处理（第三版）[M]. 北京：电子工业出版社, 2011..pdf)
