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关于算法:最大异或和

jiezi

一、字典树

用来高效的存储查找字符串汇合 也能够存储二进制信息

  1. 存储

字典树存储模式如下：其中每个单词的开端会做上一个 标记

  1. 查找

    • 判断单词是否在门路上
    • 如果在门路上，判断单词开端是否存在标记

残缺代码如下：

int son[N][26], cnt[N], idx;
// 0 号点既是根节点，又是空节点
// son[][] 存储树中每个节点的子节点, 26 是假如仅有小写字母, 则每个节点的孩子最多为 26 个
// cnt[] 存储以每个节点结尾的单词数量
// idx 示意每个节点的索引

// 插入一个字符串
void insert(char *str)
{
    int p = 0;
    for (int i = 0; str[i]; i ++ )
    {int u = str[i] - 'a';
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx; // 如果没有这个字符作为子节点，则新建
        p = son[p][u]; // 如果存在则以找到的这个节点为父节点向下寻找
    }
    cnt[p] ++ ; // 单词数加一
}

// 查问字符串呈现的次数
int query(char *str)
{
    int p = 0;
    for (int i = 0; str[i]; i ++ )
    {int u = str[i] - 'a';
        if (!son[p][u]) return 0;
        p = son[p][u];
    }
    return cnt[p];
}

二、字典树相干题目

143. 最大异或对

1. 异或和性质

异或被称为无进位加法，所以其与加法性质相似。

假如数 x 的二进制示意为 $x_n…x_1x_0$，数 y 的二进制示意为 $y_n…y_0$ 则二者的异或和为各位的异或后果乘以以后位的权值。即 $(x_n \bigoplus y_n) \times 2^n + … + (x_0 \bigoplus y_0) \times 2^0$

2. 崩溃思路

由上述性质可知为找到与 x 异或和最大的数，应优先找到与其高位二进制位相同的值，这里能够利用 trie 树 来存储每个数字的二进制位。存储时应由高位往低位，优先找高位与此位不同的数。
样例字典树模式为：

残缺代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5, M = N * 31; // 字典树的深度最高为 N * 31

int son[M][2], idx; // 定义字典树

int n, q[N];

// 将一个数退出字典树中
void insert(int x) {
    int p = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i--) { // 从最高位开始遍历
        int u = x >> i & 1; // 拿到 x 的第 i 位
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx; // 如果父节点没有这个孩子则插入
        p = son[p][u]; // 更换父节点
    }
}

// 查找与 x 异或和最大的一棵树
int query(int x) {
    int p = 0;
    int res = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i--) {int u = (x >> i) & 1;
        if (son[p][!u]) {p = son[p][!u], res += 1 << i; } // 查找有没有与以后位相同的数存在
        else p = son[p][u];
    }
    return res;
}

int main() {
    int res = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {scanf("%d", &q[i]);
        insert(q[i]); 
        res = max(query(q[i]), res);
    };
    printf("%d", res);
    return 0;
}

3485. 最大异或和 – AcWing 题库

算法要点： 将一段数的异或和最大值，转换为两个值的异或和最大值。
思路： 因为异或和具备相似加法的性质，所以能够采纳相似前缀和的思路。

$$
设：S_n = a_1 \bigoplus a_2 … \bigoplus a_n \\
则有：S_{i-1} \bigoplus S_{i…j} = S_j \\
所以：S_{i…j} = S_j \bigoplus S_{i-1}
$$

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = N * 31; // 字典树的深度最高为 N * 31

int son[M][2], idx, cnt[M]; // 定义字典树

int n, m, s[N];

// 将一个数退出字典树中
void insert(int x, int v) {
    int p = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i--) { // 从最高位开始遍历
        int u = x >> i & 1; // 拿到 x 的第 i 位
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx; // 如果父节点没有这个孩子则插入
        p = son[p][u]; // 更换父节点
        cnt[p] += v;
    }
}

// 查找与 x 异或和最大的一棵树
int query(int x) {
    int p = 0;
    int res = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i--) {int u            = (x >> i) & 1;
        if (cnt[son[p][!u]]) {p = son[p][!u], res += 1 << i; } // 查找有没有与以后位相同的数存在
        else p = son[p][u];
    }
    return res;
}

int main() {
    int res = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d", &s[i]);
        s[i] = s[i] ^ s[i - 1];
    };

    insert(s[0], 1);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {if (i > m) insert(s[i - m - 1], -1); // 当 i 大于 m 时删掉间隔以后大于 m 的数
        res = max(res, query(s[i]));
        insert(s[i], 1);
    } 

    printf("%d\n", res);
    return 0;
}
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