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文章和代码曾经归档至【Github 仓库：https://github.com/timerring/algorithms-notes】或者公众号【AIShareLab】回复 算法笔记 也可获取。
Trie 树（字典树）
Trie 树是用来疾速存储和查找 字符串汇合的数据结构。某个字符串汇合对应的有根树。树的每条边上对应有恰好一个字符，每个顶点代表从根到该节点的门路所对应的字符串（将所有通过的边上的字符按程序连接起来）。利用字符串的公共前缀来缩小查问工夫，最大限度地缩小无谓的字符串比拟，查问效率比哈希树高。
根本思维
存储若干字符串（通常样本中的字符较少），而后依据字符串中字符呈现的先后顺序建设树，把具备雷同前缀的字符串依照其前缀归类在一个分支中，并且须要在字符串的最初一个地位进行标记（表明到此为一个残缺的字符串）。
查找时只须要寻找是否有匹配的序列，并且是否已标记结尾即可。
例题 Trie 字符串统计
保护一个字符串汇合，反对两种操作：
I x向汇合中插入一个字符串 x；Q x询问一个字符串在汇合中呈现了多少次。
共有 N 个操作，输出的字符串总长度不超过 $10^5$，字符串仅蕴含小写英文字母。
输出格局
第一行蕴含整数 N，示意操作数。
接下来 N 行，每行蕴含一个操作指令，指令为 I x 或 Q x 中的一种。
输入格局
对于每个询问指令 Q x，都要输入一个整数作为后果，示意 x 在汇合中呈现的次数。
每个后果占一行。
数据范畴
$1≤N≤2∗10^4$
输出样例：
5
I abc
Q abc
Q ab
I ab
Q ab
输入样例：
1
0
1
code
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
// 下标 0 代表根节点和空节点，cnt 用于计数，idx 代表以后的节点（和单链表一样）相当于是一个举世无双的递增编号，son[N][26]每个节点最多有 26 条边（小写英文字母）int son[N][26], cnt[N], idx;
char str[N];
// 插入
void insert(char str[])
{
int p = 0;// 根节点
// 遍历字符串，cpp 中 str 最初一位是 \0
for(int i = 0; str[i]; i ++)
{
// 映射字母 a - z 为 0 -25
int u = str[i] - 'a';
// 若不存在该节点则创立一个
if(!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx;
// 走到该子节点
p = son[p][u];
}
cnt[p] ++ ;// 标记该子节点存在的单词个数 记住这里 p = son[p][u];
}
// 查问
int query(char str[])
{
int p = 0;
for(int i = 0; str[i]; i++)
{int u = str[i] - 'a';
if(!son[p][u]) return 0;
p = son[p][u];
}
return cnt[p];
}
int main()
{//ios::sync_with_stdio(false);
//cin.tie(0);
int n;
scanf("%d", &n);
while(n --)
{char op[2];
scanf("%s%s", op, str);
if(op[0] == 'I') insert(str);
else printf("%d\n", query(str));
}
return 0;
}对于 idx 的了解
不论是链表，Trie 树还是堆，他们的根本单元都是一个个结点连贯形成的，能够成为“链”式构造。这个结点蕴含两个根本的属性：自身的值和指向下一个结点的指针。按情理，应该依照构造体的形式来实现这些数据结构的，然而做算法题个别用数组模仿，次要是因为比拟快。
原来这两个属性都是以构造体的形式分割在一起的，当初如果用数组模仿，如何能力把这两个属性分割起来呢，如何辨别各个结点呢？答案是采纳 idx。
idx 的操作总是 idx++，这就保障了不同的 idx 值对应不同的结点，这样就能够利用 idx 把构造体内两个属性分割在一起了。因而，idx 能够了解为结点。
idx 相当于一个分配器，如果须要退出新的结点就用 ++idx 调配出一个下标, 输出字符串的总长度不超过 $10^5$，因而最多会用到 $10^5$ 个 idx。
Trie 树中有个二维数组 son[N][26]，示意以后结点的儿子，如果没有的话，能够等于 ++idx。Trie 树实质上是一颗多叉树，对于字母而言最多有 26 个子结点。所以这个数组蕴含了两条信息。比方：son[1][0]=2示意 1 结点的一个值为 a 的子结点为结点 2; 如果 son[1][0] = 0，则意味着没有值为a 子结点。这里的 son[N][26] 相当于链表中的ne[N]。当然这里 2 仅仅是一个节点的编号而已。
参考：https://www.acwing.com/solution/content/5673/
模板总结
int son[N][26], cnt[N], idx;
// 0 号点既是根节点，又是空节点
// son[][]存储树中每个节点的子节点
// cnt[]存储以每个节点结尾的单词数量
// 插入一个字符串
void insert(char *str)
{
int p = 0;
for (int i = 0; str[i]; i ++ )
{int u = str[i] - 'a';
if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx;
p = son[p][u];
}
cnt[p] ++ ;
}
// 查问字符串呈现的次数
int query(char *str)
{
int p = 0;
for (int i = 0; str[i]; i ++ )
{int u = str[i] - 'a';
if (!son[p][u]) return 0;
p = son[p][u];
}
return cnt[p];
}利用 最大异或对
在给定的 N 个整数 $A_1$，$A_2$……$A_N$ 中选出两个进行 $xor$（异或）运算（个别异或运算是按位计算的），失去的后果最大是多少？
输出格局
第一行输出一个整数 N。
第二行输出 N 个整数 $A_1$～$A_N$。
输入格局
输入一个整数示意答案。
数据范畴
$1≤N≤10^5$
$0≤A_i<2^{31}$
输出样例：
3
1 2 3
输入样例：
3
剖析
首先是暴力做法 BF $O(n^2)$：
for (int i = 0; i < n; i++)
{for (int j = 0; j < i; j++)
{// 但其实 a[i] ^ a[j] == a[j] ^ a[i], 所以内层循环 j < i
// 因为 a[i] ^ a[i] == 0 所以当时把返回值初始化成 0 不必判断相等的状况
}
}异或也能够了解为不进位加法，雷同的话异或值为 0。Trie 树不仅能够存储整数，也能够存储二进制数。而计算机中所有文件都是以二进制的模式保留的，换句话说 Trie 数能够存储任何文件。异或后最大，这须要寻找出与原数每位不同的数，为保障最大值，须要从最高位开始顺次寻找，过程如下所示：
能够不必先全副插入，因为这是有程序的，防止屡次枚举 $a_j$ 和 $a_i$ 以及 $a_i$ 和 $a_j$ 的状况。因而能够先查找再插入（可能最开始的状况下要写一个特判, 因为最开始没有能够查找的内容），当然也能够先插入再查找（可能存在的问题就是每次本人和本人异或是 0，没有意义）。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
// N 是整数个数，M 是树的总宽度
const int N = 100010, M = 3100010;
int n;
int a[N], son[M][2], idx;
void insert(int x)
{
int p = 0;
for (int i = 30; i >= 0; i --)
{
// 从高到低顺次取每一位
int u = x >> i & 1;
// 没有该节点则插入该节点
if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx;
// 指针指向下一层
p = son[p][u];
}
}
int query(int x)
{
int p = 0, res = 0;
for (int i = 30; i >= 0; i --)
{
// 从最大位开始找
int u = x >> i & 1;
// 如果以后层有对应的不雷同的数,p 指针就指到不同数的地址
if (son[p][!u])
{p = son[p][!u];
// 因为这一位不同，异或后为 1，这里向前移位并且保留相反数即可。res = res * 2 + !u;
}
else
{p = son[p][u];
// 如果没有相异的数，则只能向前移一位而后保留该数即可。res = res * 2 + u;
}
}
return res;
}
int main()
{scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++)
{insert(a[i]);
int t = query(a[i]);
// 最初再进行异或解决
res = max(res, a[i] ^ t);
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}同时，这里对于代码有两个思路，一个是下面这种 query 须要寻找的对应的异或的整数，最初 max(res, a[i] ^ t) 失去后果。
此外还能够间接在 query 中提前进行比拟计算，最初间接比拟后果即可 max(res, t)，过程如下：
int query(int x)
{
int p = 0, res = 0;
for (int i = 30; i >= 0; i --)
{
// 从最大位开始找
int u = x >> i & 1;
// 如果以后层有对应的不雷同的数,p 指针就指到不同数的地址
if (son[p][!u])
{p = son[p][!u];
// 因为这一位不同，异或后为 1，只须要向前移并且加 1 即可
res = res * 2 + 1;
}
else
{p = son[p][u];
// 这一位雷同，xor 后为 0，向前移一位而后置 0 即可。res = res * 2 + 0;
}
}
return res;
}
