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关于算法:特殊数据结构单调队列

jiezi

读完本文，你能够去力扣拿下如下题目：

239. 滑动窗口最大值

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前文讲了一种非凡的数据结构「枯燥栈」monotonic stack，解决了一类问题「Next Greater Number」，本文写一个相似的数据结构「枯燥队列」。

兴许这种数据结构的名字你没听过，其实没啥难的，就是一个「队列」，只是应用了一点奇妙的办法，使得队列中的元素枯燥递增（或递加）。这个数据结构有什么用？能够解决滑动窗口的一系列问题。

看一道 LeetCode 题目，难度 hard：

一、搭建解题框架

这道题不简单，难点在于如何在 O(1) 工夫算出每个「窗口」中的最大值，使得整个算法在线性工夫实现。在之前咱们探讨过相似的场景，失去一个论断：

在一堆数字中，已知最值，如果给这堆数增加一个数，那么比拟一下就能够很快算出最值；但如果缩小一个数，就不肯定能很快失去最值了，而要遍历所有数从新找最值。

回到这道题的场景，每个窗口后退的时候，要增加一个数同时缩小一个数，所以想在 O(1) 的工夫得出新的最值，就须要「枯燥队列」这种非凡的数据结构来辅助了。

一个一般的队列肯定有这两个操作：

class Queue {void push(int n);
    // 或 enqueue，在队尾退出元素 n
    void pop();
    // 或 dequeue，删除队头元素
}

一个「枯燥队列」的操作也差不多：

class MonotonicQueue {
    // 在队尾增加元素 n
    void push(int n);
    // 返回以后队列中的最大值
    int max();
    // 队头元素如果是 n，删除它
    void pop(int n);
}

当然，这几个 API 的实现办法必定跟个别的 Queue 不一样，不过咱们暂且不论，而且认为这几个操作的工夫复杂度都是 O(1)，先把这道「滑动窗口」问题的解答框架搭进去：

vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {
    MonotonicQueue window;
    vector<int> res;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {if (i < k - 1) { // 先把窗口的前 k - 1 填满
            window.push(nums[i]);
        } else { // 窗口开始向前滑动
            window.push(nums[i]);
            res.push_back(window.max());
            window.pop(nums[i - k + 1]);
            // nums[i - k + 1] 就是窗口最初的元素
        }
    }
    return res;
}

这个思路很简略，能了解吧？上面咱们开始重头戏，枯燥队列的实现。

二、实现枯燥队列数据结构

首先咱们要意识另一种数据结构：deque，即双端队列。很简略：

class deque {
    // 在队头插入元素 n
    void push_front(int n);
    // 在队尾插入元素 n
    void push_back(int n);
    // 在队头删除元素
    void pop_front();
    // 在队尾删除元素
    void pop_back();
    // 返回队头元素
    int front();
    // 返回队尾元素
    int back();}

而且，这些操作的复杂度都是 O(1)。这其实不是啥稀奇的数据结构，用链表作为底层构造的话，很容易实现这些性能。

「枯燥队列」的外围思路和「枯燥栈」相似。枯燥队列的 push 办法仍然在队尾增加元素，然而要把后面比新元素小的元素都删掉：

class MonotonicQueue {
private:
    deque<int> data;
public:
    void push(int n) {while (!data.empty() && data.back() < n) 
            data.pop_back();
        data.push_back(n);
    }
};

你能够设想，退出数字的大小代表人的体重，把后面体重有余的都压扁了，直到遇到更大的量级才停住。

如果每个元素被退出时都这样操作，最终枯燥队列中的元素大小就会放弃一个枯燥递加的程序，因而咱们的 max() API 能够能够这样写：

int max() {return data.front();
}

pop() API 在队头删除元素 n，也很好写：

void pop(int n) {if (!data.empty() && data.front() == n)
        data.pop_front();}

之所以要判断 data.front() == n，是因为咱们想删除的队头元素 n 可能曾经被「压扁」了，这时候就不必删除了：

至此，枯燥队列设计结束，看下残缺的解题代码：

class MonotonicQueue {
private:
    deque<int> data;
public:
    void push(int n) {while (!data.empty() && data.back() < n) 
            data.pop_back();
        data.push_back(n);
    }
    
    int max() { return data.front(); }
    
    void pop(int n) {if (!data.empty() && data.front() == n)
            data.pop_front();}
};

vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {
    MonotonicQueue window;
    vector<int> res;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {if (i < k - 1) { // 先填满窗口的前 k - 1
            window.push(nums[i]);
        } else { // 窗口向前滑动
            window.push(nums[i]);
            res.push_back(window.max());
            window.pop(nums[i - k + 1]);
        }
    }
    return res;
}

三、算法复杂度剖析

读者可能纳闷，push 操作中含有 while 循环，工夫复杂度不是 O(1) 呀，那么本算法的工夫复杂度应该不是线性工夫吧？

独自看 push 操作的复杂度的确不是 O(1)，然而算法整体的复杂度仍然是 O(N) 线性工夫。要这样想，nums 中的每个元素最多被 push_back 和 pop_back 一次，没有任何多余操作，所以整体的复杂度还是 O(N)。

空间复杂度就很简略了，就是窗口的大小 O(k)。

四、最初总结

有的读者可能感觉「枯燥队列」和「优先级队列」比拟像，实际上差异很大的。

枯燥队列在增加元素的时候靠删除元素放弃队列的枯燥性，相当于抽取出某个函数中枯燥递增（或递加）的局部；而优先级队列（二叉堆）相当于主动排序，差异大了去了。

连忙去拿下 LeetCode 第 239 道题吧～

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