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蒙特卡洛办法利用随机数从概率分布 P(x)中生成样本，并从该散布中评估期望值，该期望值通常很简单，不能用准确办法评估。在贝叶斯推理中，P（x）通常是定义在一组随机变量上的联结后验散布。然而，从这个散布中取得独立样本并不容易，这取决于取样空间的维度。因而，咱们须要借助更简单的蒙特卡洛办法来帮忙简化这个问题；例如，重要性抽样、回绝抽样、吉布斯抽样和 Metropolis Hastings 抽样。这些办法通常波及从倡议密度 Q(x)中取样，以代替 P(x)。
在重要性抽样中，咱们从 Q(x)中产生样本，并引入权重以思考从不正确的散布中抽样。而后，咱们对咱们须要评估的预计器中的每个点的重要性进行调整。在回绝抽样中，咱们从提议散布 Q(x)中抽取一个点，并计算出 P(x)/Q(x)的比率。而后咱们从 U(0,1)散布中抽取一个随机数 u；如果 ，咱们就承受这个点 x，否则就回绝并回到 Q(x) 中抽取另一个点。吉布斯抽样是一种从至多两个维度的散布中抽样的办法。这里，提议散布 Q(x)是以联结散布 P(x)的条件散布来定义的。咱们通过从后验条件中迭代抽样来模仿 P(x)的后验样本，同时将其余变量设置在其以后值。
尽管，重要性抽样和回绝抽样须要 Q(x)与 P(x)类似（在高维问题中很难创立这样的密度），但当条件后验没有已知模式时，吉布斯抽样很难利用。这一假如在更广泛的 Metropolis-Hastings 算法中能够放宽，在该算法中，候选样本被概率性地承受或回绝。这种算法能够包容对称和不对称的提议散布。该算法能够形容如下
初始化
抽取
计算
从中抽取
如果 设
否则，设置
完结
吉布斯抽样是 Metropolis Hastings 的一个特例。它波及一个总是被承受的提议（总是有一个 Metropolis-Hastings 比率为 1）。
咱们利用 Metropolis Hastings 算法来预计规范 G -BLUP 模型中回归系数的方差成分。
对于 G -BLUP 模型。
其中 ， 代表表型的向量和基因型的矩阵。是标记效应的向量，是模型残差的向量，残差为正态分布，均值为 0，方差为 和。
思考到其余参数，的条件后验密度为：
这是一个逆卡方散布。
假如咱们须要使 的先验尽可能地不具信息性。一种抉择是设置 ，，并应用回绝抽样来预计；然而，设置 S0= 0 可能会导致算法卡在 0 处。因而，咱们须要一个能够代替逆卡方散布的先验，并且能够非常灵活。为此，咱们倡议应用 β 散布。因为所失去的后验不是一个适合的散布，Metropolis Hastings 算法将是取得 后验样本的一个好抉择。
这里咱们把 作为咱们的提议散布 Q。因而。
咱们的指标散布是 的正态似然与 的 β 先验的乘积。因为 β 散布的域在 0 和 1 之间，咱们用变量 来代替 β 先验，其中 MAX 是一个确保大于 的数字，这样。
其中 α1 和 α2 是 β 散布的形态参数，其平均值由 给出。
咱们依照下面的算法步骤，计算出咱们的承受率，如下所示。
而后咱们从均匀分布中抽取一个随机数 u，如果，则承受样本点，否则咱们回绝该点并保留以后值，再次迭代直至收敛。
Metropolis Hastings 算法
MetropolisHastings=function(p, ...)
chain\[1\]=x
for (i in 1:nIter) {y\[i\] <-(SS+S0)/rchisq(df=DF,n=1,...)
logp.old\[i\]=-(p/2)\*log(chai) - (SS/(2\*chain) + (shape1-1)*(log(chain\[i\]/(MAX)))+(shape2-1)*(log(1-(chain\[i\]/(MAX))
logp.new\[i\]=-(p/2)\*log(y\[i\]) - (SS/(2\*y\[i\])) + (shape1-1)*(log(y\[i\]/(MAX)))+(shape2-1)*(log(1-(y\[i\]/(MAX))
chain\[i+1\] = ifelse (runif(1)<AP\[i\] , y\[i\], chain\[i\],...)吉布斯采样器
gibbs=function(p,...)
b = rnorm(p,0,sqrt(varb),...)
for (i in 1:Iter) {chain\[i\] <-(S+S0)/rchisq(df=DF,n=1,...)绘制图
plot = function(out1,out2)
plot(density(chain1),xlim=xlim)
lines(density(chain2),xlim=xlim)
abline(v=varb,col="red",lwd=3)设置参数
运行吉布斯采样器
##################
out1=gibbs(p=sample.small,...)
out2=gibbs(p=sample.large,...)在不同的状况下运行 METROPOLIS HASTINGS
小样本量，先验
out.mh=mh(p=sample.small,nIter=nIter,varb=varb,shape1=shape.flat,shape2=shape.flat, MAX=MAX)
样本量小，β 值的形态 1 参数大
p=sample.small
nIter
varb
shape.skew\[1\]
shape.skew\[2\]
MAX
plot(out.mh, out.gs_1)
样本量小，β 值的形态 1 参数大
MetropolisHastings(p)
makeplot(out.mh, out.gs_1)## Summary of chain for MH:
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 0.2097 0.2436 0.2524 0.2698 0.2978 0.4658
样本量小，β 的形态参数雷同（大）
plot(out.mh, out1)
大的样本量，先验
plot(out.mh, out2)
大样本量，形态 1 参数的 β
plot(out.mh, out2)
大样本量，β 值的大形态 2 参数
plot(out.mh, out_2)
大样本量，β 的形态参数雷同（大）
plot(out.mh, out2)
参考文献
- Gelman, Andrew, et al. Bayesian data analysis. Vol. 2. London: Chapman & Hall/CRC, 2014.
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