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什么是频率学派？
在频率学派中，察看样本是随机的，而参数是固定的、未知的数量。
概率被解释为一个随机过程的许多观测的预期频率。
有一种想法是 “ 实在的 ”，例如，在预测鱼的生存环境时，盐度和温度之间的相互作用有一个回归系数？
什么是贝叶斯学派？
在贝叶斯办法中，概率被解释为对信念的主观掂量。
所有的变量 – 因变量、参数和假如都是随机变量。咱们用数据来确定一个预计的确定性（可信度）。
这种盐度 X 温度的相互作用反映的不是相对的，而是咱们对鱼的生存环境所理解的货色（实质上是粗率的）。
指标
频率学派
保障正确的误差概率，同时思考到抽样、样本大小和模型。
- 毛病：须要对置信区间、第一类和第二类谬误进行简单的解释。
- 长处：更具备外在的 “ 客观性 “ 和逻辑上的一致性。
贝叶斯学派
剖析更多的信息能在多大程度上进步咱们对一个零碎的意识。
- 毛病：这都是对于信奉的问题! … 有重大影响。
- 长处: 更直观的解释和施行，例如，这是这个假如的概率，这是这个参数等于这个值的概率。可能更靠近于人类天然地解释世界的形式。
理论利用中：为什么用贝叶斯
- 具备无限数据的简单模型，例如层次模型，其中
- 理论的先验常识非常少
贝叶斯法令：
一些典型的贝叶斯速记法。
留神:
- 贝叶斯的最大问题在于确定先验散布。先验应该是什么？它有什么影响？
指标:
计算参数的后验散布：π（θ|X）。
点估计是后验的平均值。
一个可信的区间是
你能够把它解释为一个参数在这个区间内的概率。
计算
皮埃尔 - 西蒙 - 拉普拉斯（1749-1827）（见：Sharon Bertsch McGrayne: The Theory That Would Not Die)
- 有些问题是可剖析的，例如二项式似然 - 贝塔先验。
- 但如果你有很多参数，这是不可能实现的操作
- 如果你有几个参数，而且是奇数散布，你能够用数值乘以 / 整合先验和似然（又称网格近似）。
- 只管该实践能够追溯到 1700 年，甚至它对推理的解释也能够追溯到 19 世纪初，但它始终难以更宽泛地施行，直到马尔科夫链蒙特卡洛技术的倒退。
MCMC
MCMC 的思维是对参数值 θi 进行 “ 抽样 ”。
回顾一下，马尔科夫链是一个随机过程，它只取决于它的前一个状态，而且（如果是遍历的），会生成一个安稳的散布。
技巧 “ 是找到渐进地靠近正确散布的抽样规定（MCMC 算法）。
有几种这样的（相干）算法。
- Metropolis-Hastings 抽样
- Gibbs 抽样
- No U-Turn Sampling (NUTS)
- Reversible Jump
一个一直倒退的文献和工作体系!
Metropolis-Hastings 算法
- 开始:
- 跳到一个新的候选地位:
- 计算后验:
- 如果
- 如果
- 转到第 2 步
Metropolis-Hastings: 硬币例子
你抛出了 5 个侧面。你对 θ 的最后 “ 猜想 “ 是
MCMC:
p.old <- prior *likelihood
while(length(thetas) <= n){theta.new <- theta + rnorm(1,0,0.05)
p.new <- prior *likelihood
if(p.new > p.old | runif(1) < p.new/p.old){
theta <- theta.new
p.old <- p.new
}画图:
hist(thetas\[-(1:100)\] )
curve(6*x^5)
采样链：调整、细化、多链
- 那个 “ 朝向 “ 安稳的初始过渡被称为 “ 预烧期 ”，必须加以修整。
- 怎么做？用眼睛看
- 采样过程（显然）是自相干的。
- 如何做？通常是用眼看，用 acf() 作为领导。
- 为了保障你收敛到正确的散布，你通常会从不同的地位取得多条链（例如 4 条）。
- 无效样本量
MCMC 诊断法
R 软件包帮忙剖析 MCMC 链。一个例子是线性回归的贝叶斯拟合（α,β,σ
plot(line)
预烧局部:
plot(line\[\[1\]\], start=10)
MCMC 诊断法
查看后验散布（同时评估收敛性）。
density(line)
参数之间的关联性，以及链内的自相干关系
levelplot(line\[\[2\]\])
acfplot(line)
统计摘要
运行 MCMC 的工具（在 R 外部）
逻辑 Logistic 回归：婴儿出世体重低
logitmcmc(low~age+as.factor(race)+smoke )
plot(mcmc)
MCMC 与 GLM 逻辑回归的比拟
MCMC 与 GLM 逻辑回归的比拟
对于这个利用，没有很好的理由应用贝叶斯建模，除非 – 你是 “ 贝叶斯主义者 ”。你有对于回归系数的真正先验信息（这基本上是不太可能的）。
一个次要的毛病是 先验散布辣手的调整参数。
然而，MCMC 能够拟合的一些更简单的模型（例如，档次的 logit MCMChlogit）。
Metropolis-Hastings
Metropolis-Hastings 很好，很简略，很广泛。然而对循环次数很敏感。而且可能太慢，因为它最终会回绝大量的循环。
Gibbs 采样
在 Gibbs 吉布斯抽样中，你不是用适当的概率承受 / 回绝，而是用适当的条件概率在参数空间中前进。并从该散布中抽取一次。
而后你从新的条件散布中抽取下一个参数。
比 Metropolis-Hastings 快得多。无效样本量要高得多!
BUGS（OpenBUGS，WinBUGS）是应用吉布斯采样器的贝叶斯推理。
JAGS 是 “ 吉布斯采样器 ”
其余采样器
汉密尔顿蒙特卡洛（HMC）– 是一种梯度的 Metropolis-Hastings，因而速度更快，对参数之间的关联性更好。
No-U Turn Sampler（NUTS）– 因为不须要固定的长度，它的速度更快。这是 STAN 应用的办法（见 http://arxiv.org/pdf/1111.424…）。
(Hoffman and Gelman 2011)
其余工具
你可能想创立你本人的模型，应用贝叶斯 MC 进行拟合，而不是依赖现有的模型。为此，有几个工具能够抉择。
- BUGS / WinBUGS / OpenBUGS (Bayesian inference Using Gibbs Sampling) – 贝叶斯抽样工具的鼻祖（自 1989 年起）。WinBUGS 是专有的。OpenBUGS 的支持率很低。
- JAGS（Just Another Gibbs Sampler）承受一个用相似于 R 语言的语法编写的模型字符串，并应用吉布斯抽样从这个模型中编译和生成 MCMC 样本。能够在 R 中应用 rjags 包。
- Stan（以 Stanislaw Ulam 命名）是一个相似于 JAGS 的相当新的程序 – 速度更快，更弱小，倒退迅速。从伪 R / C 语法生成 C ++ 代码。装置：http://mc-stan.org/rstan.html**
- Laplace’s Demon 所有的贝叶斯工具都在 R 中：http://www.bayesian-inference…
STAN
要用 STAN 拟合一个模型，步骤是:
- 为模型生成一个 STAN 语法伪代码（在 JAGS 和 BUGS 中雷同
- 运行一个 R 命令，用 C ++ 语言编译该模型
- 应用生成的函数来拟合你的数据
STAN 示例 – 线性回归
STAN 代码是 R（例如，具备散布函数）和 C（即你必须申明你的变量）之间的一种混合。每个模型定义都有三个块。
_1_. 数据块:
int n; //
vector\[n\] y; // Y 向量 这指定了你要输出的原始数据。在本例中，只有 Y 和 X，它们都是长度为 n 的（数字）向量，是一个不能小于 0 的整数。
_2_. 参数块
real beta1; // slope这些列出了你要预计的参数：截距、斜率和方差。
_3_. 模型块
sigma ~ inv_gamma(0.001, 0.001);
yhat\[i\] <- beta0 + beta1 * (x\[i\] - mean(x));}
y ~ normal(yhat, sigma);留神:
- 你能够矢量化，但循环也同样快
- 有许多散布（和 “ 平均值 “ 等函数）可用
请常常参阅手册！https://github.com/stan-dev/stan/releases/download/v2.9.0/stan-reference-2.9.0.pdf
2. 在 R 中编译模型
你把你的模型保留在一个独自的文件中，而后用 stan_model() 命令编译这个模型。
这个命令是把你形容的模型，用 C ++ 编码和编译一个 NUTS 采样器。置信我，本人编写 C ++ 代码是一件十分十分苦楚的事件（如果没有很多教训的话），而且它保障比 R 中的等同代码快得多。
留神：这一步可能会很慢。
3. 在 R 中运行该模型
这里的要害函数是 sampling()。还要留神的是，为了给你的模型提供数据，它必须是列表的模式
模仿一些数据。
X <- runif(100,0,20)
Y <- rnorm(100, beta0+beta1*X, sigma)进行取样!
sampling(stan, Data)这里有大量的输入，因为它计算了
print(fit, digits = 2)
MCMC 诊断法
为了利用 coda 系列的诊断工具，你须要从 STAN 拟合对象中提取链，并将其从新创立为 mcmc.list。
extract(stan.fit
alply(chains, 2, mcmc)
最受欢迎的见解
1.matlab 应用贝叶斯优化的深度学习
2.matlab 贝叶斯隐马尔可夫 hmm 模型实现
3.R 语言 Gibbs 抽样的贝叶斯简略线性回归仿真
4.R 语言中的 block Gibbs 吉布斯采样贝叶斯多元线性回归
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6.Python 用 PyMC3 实现贝叶斯线性回归模型
7.R 语言应用贝叶斯 层次模型进行空间数据分析
8.R 语言随机搜寻变量抉择 SSVS 预计贝叶斯向量自回归（BVAR）模型
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