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线性代数内容都很连贯，整体就是 [行列式 –> 矩阵 –>n 维向量 –> 线性方程组 –> 类似对角型 –> 二次型]。行列式就是一个值，行列式为 0 则对应线性方程组有多解，且对应矩阵不可逆，若为 0 则解惟一。n 维向量可由矩阵示意。线性方程组又可示意成 n 维向量的模式，有齐次和非齐次两种。
通过特色合成能够将方阵类似对角化，让矩阵的特色更直观的体现。一种乏味的思维是，矩阵能够看作一个变换 ，他作用在特定的正交基上，对每个维度进行拉伸和膨胀。特色合成正是失去了这个正交基（特征向量）以及相应的收放系数（特征值）。其中，实对称矩阵肯定能够正交类似对角化。
二次型与解方程组非亲非故。咱们通常关注的是如何将二次型转化为标准型，这里也会引申出 正定负定 的概念。转化为标准型后，每一个变量仅与本人相互作用，这和 PCA 降维很像啊。
学习线性代数我认为有两个作用。一是读论文能看懂每一步在干嘛，二是了解数据的并行处理。上面补充一下比拟重要的知识点。
1. 行列式
所有都要从行列式说起。行列式 $D$ 能够通过行列展开式计算，即 $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3}+…+a_{in}A_{in}$，其中 $A=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 称为代数余子式，$M$ 为余子式。行列式的性质包含：
- 调换两行变号
- 如果两行相等则 $D=0$（将这两行变号后，$-D=D$）
- $k\times D$ 等价于 $D$ 的某一行 / 列乘上 $k$（将行列式按此行开展，能够将 k 提出）
- 行列式某一行 + 另一行后，值不变
- 齐次线性方程组 $AX=0$ 若要有非 0 解，须要 $|A|=0$，即行列式奇怪，如果不为 0，则线性方程组只有惟一 0 解。
2. 矩阵
最重要的一点，只有 方阵才能够探讨其行列式及可逆性 。这一部分的知识点连起来很好记，注：初等变换不扭转行列式是否为 0
$$\begin{array}{lcl} 矩阵满秩 \\\ \Leftrightarrow 行列式不为 0 \\\ \Leftrightarrow 矩阵非奇怪 \\\ \Leftrightarrow 矩阵可示意为一系列初等矩阵的乘积 \\\ \Leftrightarrow 矩阵与 E 等价 \\\ \Leftrightarrow 矩阵可逆 \\\ \Leftrightarrow 方程组有惟一解 \end{array}$$
其余的知识点，如下：
- 同阶方阵 $|AB|=|A||B|$
- 随同阵 $A\cdot A^* = A^*\cdot A = |A|E$
- 由随同阵咱们也就失去了逆矩阵的求解形式之一：$A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}$
3.n 维向量
- 首先要理解线性相关：1 个向量可由其余 m - 1 个向量线性示意，称作线性相关，所以任意蕴含 0 向量的向量组均线性相关
- m 个 n 维向量如果线性相关，则秩 $ r(A)_ {m\times n}<m $，当 m>n 时，肯定线性相关，因为 $ r(A)_ {m\times n} <=n<m $
- 矩阵相乘秩不会增大 $r(A\cdot B)<=min\{r(A),r(B)\}$
- 正交阵不仅要求行列正交，并且行列都是单位向量，即 单位正交阵$|A|=_-^+1,AA^T=E$
4. 线性方程组
m 个 n 维向量（m 个方程，n 个未知变量）组成的方程组，当其系数矩阵 A(m*n)的秩 r(A)<n 时，则其根底解系基向量有 n - r 个，当 m 小于 n 时，能够看作约束条件少，秩 r(A)<=m<n 则肯定能够有根底解系，当秩 r(A)= n 时，只有 0 解。线性方程组刚好能够和数据集分割起来。每一条样本当作一个方程，当只用线性模型拟合数据集时，样本越多，代表束缚越多。当样本数太多，线性模型参数解将会惟一，而当特色增多时，代表信息越多，数据集越容易线性可分，当特色数超过样本数时，其秩肯定小于行数，则肯定存在根底解系。其余的本人想吧。
$$\Bigg(\begin{array}{lcl} 1 \\\ 2 \\\ … \\\ m \end{array} \Bigg)x_1+\Bigg(\begin{array}{lcl} 1 \\\ 2 \\\ … \\\ m \end{array} \Bigg)x_2+…+\Bigg(\begin{array}{lcl} 1 \\\ 2 \\\ … \\\ m \end{array} \Bigg)x_n=0$$
初等变换等价标准型：
$$\bold I_{m\times n}=\Bigg(\begin{array}{lcl} 1\quad\quad\space b_{1,1}\space…\space b_{1,n-r}\\\ \quad…\quad b_{2,1}\space…\space b_{2,n-r} \\\ \quad\quad 1 \space b_{r,1}\space…\space b_{r,n-r} \\\ 0 \quad…\quad 0 \quad … \quad 0 \\\ 0 \quad…\quad 0 \quad … \quad 0 \end{array} \Bigg)$$
对于非齐次方程 $AX=b$，只有当 $r(A)=r(\bar{A})$ 时，方程组有惟一解，后者为增广矩阵。类比于线性模型的数据集，只有当特色数 > 样本数时，若特色无关（PCA 降维前驱），则肯定线性可分，label 肯定能够线性示意。当特色数少于样本数时，则特色只能线性示意样本中的一类点，而不能示意全副。
5. 类似对角型和二次型
- $A\sim B:B=P^{-1}AP,|A|=|B|$
- 特征向量与特征值：$A\alpha=\lambda\alpha，解特征值可通过解方程(A-\lambda E)\alpha= 0 失去 $
- 类似对角化：实对称矩阵肯定能够类似对角化，且是正交类似
- 正交合同：$A=P^TBP$，能够发现，类似和正交合同肯定是等价标准型，然而类似不仅要求等价规范，还要求行列变换互逆；而正交合同则要求行列变换互为转置。
- 二次型肯定能够化为标准型，因为实对称矩阵正交类似即合同
- 实对称矩阵正定则各阶奴才式 >0，则特征值全 >0
- 二次型变换与 PCA 神似。都是正交基的转换，不过 PCA 会波及到降维
6. 范数
范数 (norm) 常常作为参数束缚应用，像多任务学习中的束缚项、指标函数中的权重衰减、RNN 中的梯度裁剪等都会用到范数。
- 向量 L1 范数:$||W||_1$，在每个地位的斜率雷同均为 1
- 向量 L2 范数:$||W||_2$，与整体向量相干
- 向量 L2 平方范数:$||W||_2^2$，每个元素仅与本身相干，但 原点处增长非常迟缓
- 矩阵 F 范数 $||A||_ F=\sqrt{\sum\limits_ {ij}A_{ij}^2} $，相似于向量 L2 范数
7. 其余
对角阵
对角阵与 X 的矩阵乘积相当于将 X 的每个元素放大了 Vi 倍，这个性质应该很有用，尽管我也想不起来哪里有用
$$diag(V)\cdot X=V\bigodot X$$
正交阵
还是独自点一下，理论后面类似对角化提到过了，正交阵是单位正交，矩阵的逆和矩阵的转置雷同
$$A^TA=AA^T=I$$
$$A^{-1}=A^T$$
特色合成
针对方阵咱们有特色合成能够应用（前提是矩阵可逆），矩阵合成能够看作矩阵 A 作用于 n 个特征向量所组成的正交基，相当于在每个方向 $V_i$ 上延展了特征值 $\lambda_i$ 倍，对正交空间拉伸或膨胀。特色合成常常用于各种降维算法外面，像 PCA 和 LDA（线性判别分析，不是潜在迪利克雷散布模型）。有一些乏味的性质须要记一下：
- $A=Q\Lambda Q^{-1}$，前提是 A 有 n 个线性无关的特征向量，实对称矩阵肯定能够类似对角化
- 如果 A 有 0 特征值，那么 A 将是奇怪的。$Av=0$，所以 A 列向量线性相关，所以 A 不满秩，所以 A 不可逆，所以 A 奇怪
- 半正定矩阵可
- 保障 $X^TAX>=0$
SVD
对于方阵有特色合成，那对于个别矩阵就能够应用奇怪值合成。
$$A_{m\times n}=U_{m\times m}D_{m\times n}V^T_{n\times n}\begin{cases}U:AA^T 的特征向量，左奇怪向量 \\\ D:A^TA 的特征值的平方根，奇怪值 \\\ V^T:A^TA 的特征向量，右奇怪向量 \end{cases}$$
奇怪值合成作为一种矩阵合成办法，也常常用到降维场景，像 PCA，相较于特色合成的长处是：在应用右奇怪向量对特色进行降维时，防止了与数据量线性相关，速度更快。
Moore-Penrose 伪逆
奇怪矩阵不可逆，那有没有方法求逆呢？答案是有的，对于 $AX=y$，矩阵 A 的伪逆运算 $A^+=\lim\limits_{\alpha\rightarrow 0}(A^T+\alpha I)^{-1}A^T$，理论中常常会用奇怪值合成进行伪逆求解 $A^+=VD^+U^T$。伪逆运算能够这么了解，退出正则化后，使得欠定问题可定。
- 当 A 行数 < 列数时，$X=A^+y$ 是 $||x||_2$ 最小的一个
- 当行数 > 列数时，可能无解，有解时失去的 x 使得 $||AX-y||_2$ 最小
能够看出，这就是正则化的作用。
迹运算
迹运算就是对角线元素的乘积。最有用的一条性质是：$||A||_F=\sqrt{Tr(AA^T)}$
行列式
行列式 D = 特征值的乘积。$|A-\lambda E|=(\lambda-a_1)…(\lambda-a_n)，令 \lambda=0, 则 |A|=a_1a_2…a_n$
行列式的绝对值掂量了矩阵参加乘积后体积扩充或者放大了多少。当 |D|=0，阐明空间沿着某一维齐全膨胀了；当 |D|=1，阐明空间体积放弃不变。
