关于算法:手把手教你刷搜索

搜寻个别指在无限的状态空间中进行枚举，通过穷尽所有的可能来找到符合条件的解或者解的个数。依据搜寻形式的不同，搜索算法能够分为 DFS，BFS，A* 算法等。这里只介绍 DFS 和 BFS，以及产生在 DFS 上一种技巧 - 回溯。

搜寻问题覆盖面十分宽泛，并且在算法题中也占据了很高的比例。我甚至还在公开演讲中提到了 前端算法面试中搜寻类占据了很大的比重，尤其是国内公司。

搜寻专题中的子专题有很多，而大家所熟知的 BFS，DFS 只是其中特地根底的内容。除此之外，还有状态记录与保护，剪枝，联通重量，拓扑排序等等。这些内容，我会在这里一一给大家介绍。

另外即便仅仅思考 DFS 和 BFS 两种根本算法，外面能玩的花色也十分多。比方 BFS 的双向搜寻，比方 DFS 的前中后序，迭代加深等等。

对于搜寻，其实在二叉树局部曾经做了介绍了。而这里的搜寻，其实就是进一步的泛化。数据结构不再局限于后面提到的数组，链表或者树。而扩大到了诸如二维数组，多叉树，图等。不过外围依然是一样的，只不过数据结构产生了变动而已。

实际上搜寻题目实质就是将题目中的状态映射为图中的点，将状态间的分割映射为图中的边。依据题目信息构建状态空间，而后对状态空间进行遍历，遍历过程须要记录和保护状态，并通过剪枝和数据结构等进步搜寻效率。

状态空间的数据结构不同会导致算法不同。比方对数组进行搜寻，和对树，图进行搜寻就不太一样。

再次强调一下，我这里讲的数组，树和图是 状态空间 的逻辑构造，而不是题目给的数据结构。比方题目给了一个数组，让你求数组的搜寻子集。尽管题目给的线性的数据结构数组，然而实际上咱们是对树这种非线性数据结构进行搜寻。这是因为这道题对应的 状态空间是非线性的。

对于搜寻问题，咱们外围关注的信息有哪些？又该如何计算呢？这也是搜寻篇外围关注的。而市面上很多材料讲述的不是很具体。搜寻的外围须要关注的指标有很多，比方树的深度，图的 DFS 序，图中两点间的间隔等等。这些指标都是实现高级算法必不可少的，而这些指标能够通过一些经典算法来实现 。这也是为什么我始终强调 肯定要先学习好根底的数据结构与算法 的起因。

不过要讲这些讲述残缺并非容易，以至于如果残缺写完可能须要花很多的工夫，因而始终没有入手去写。

另外因为其余数据结构都能够看做是图的特例。因而钻研透图的根本思维，就很容易将其扩大到其余数据结构上，比方树。因而我打算围绕图进行解说，并逐渐具象化到其余非凡的数据结构，比方树。

论断后行：状态空间其实就是一个图构造，图中的节点示意状态，图中的边示意状态之前的分割，这种分割就是题目给出的各种关系。

搜寻题目的状态空间通常是非线性的。比方下面提到的例子：求一个数组的子集。这里的状态空间实际上就是数组的各种组合。

对于这道题来说，其状态空间的一种可行的划分形式为：

长度为 1 的子集
长度为 2 的子集
。。。
长度为 n 的子集（其中 n 为数组长度）

而如何确定下面所有的子集呢。

一种可行的计划是能够采取相似分治的形式逐个确定。

比方咱们能够：

先确定某一种子集的第一个数是什么
再确定第二个数是什么
。。。

如何确定第一个数，第二个数。。。呢？

暴力枚举所有可能就能够了。

这就是搜寻问题的外围，其余都是辅助，所以这句话请务必记住。

所谓的暴力枚举所有可能在这里就是尝试数组中所有可能的数字。

比方第一个数是什么？很显著可能是数组中任意一项。ok，咱们就枚举 n 种状况。
第二个数呢？很显著能够是除了下面曾经被抉择的数之外的任意一个数。ok，咱们就枚举 n – 1 种状况。

据此，你能够画出如下的决策树。

（下图形容的是对一个长度为 3 的数组进行决策的局部过程，树节点中的数字示意索引。即确定第一个数有三个抉择，确定第二个数会依据上次的抉择变为剩下的两个抉择）

决策过程动图演示：

一些搜索算法就是基于这个奢侈的思维，实质就是模仿这个决策树 。这外面其实也有很多乏味的细节，前面咱们会对其进行更加具体的解说。而当初大家只须要对 解空间是什么以及如何对解空间进行遍历有一点概念就行了。 前面我会持续对这个概念进行加深。

这里大家只有记住 状态空间就是图，构建状态空间就是构建图。如何构建呢？当然是依据题目形容了。

DFS 和 BFS 是搜寻的外围，贯通搜寻篇的始终，因而有必要先对其进行解说。

DFS 的概念来自于图论，然而搜寻中 DFS 和图论中 DFS 还是有一些区别，搜寻中 DFS 个别指的是通过递归函数实现暴力枚举。

如果不应用递归，也能够应用栈来实现。不过实质上是相似的。

首先将题目的 状态空间映射到一张图，状态就是图中的节点，状态之间的分割就是图中的边 ，那么 DFS 就是在这种图上进行 深度优先 的遍历。而 BFS 也是相似，只不过遍历的策略变为了 广度优先，一层层铺开而已。所以BFS 和 DFS 只是遍历这个状态图的两种形式罢了，如何构建状态图才是要害。

实质上，对下面的图进行遍历的话会生成一颗 搜寻树 。为了 防止反复拜访，咱们须要记录曾经拜访过的节点 。这些是 所有的搜索算法共有的，前面不再赘述。

如果你是在树上进行遍历，是不会有环的，也天然不须要为了 防止环的产生记录曾经拜访的节点，这是因为树实质上是一个简略无环图。

首先将根节点放入 stack 中。
从 stack 中取出第一个节点，并测验它是否为指标。如果找到指标，则完结搜查并回传后果。否则将它某一个尚未测验过的间接子节点退出 stack 中。
反复步骤 2。
如果不存在未检测过的间接子节点。将上一级节点退出 stack 中。
反复步骤 2。
反复步骤 4。
若 stack 为空，示意整张图都查看过了——亦即图中没有欲搜查的指标。完结搜查并回传“找不到指标”。

这里的 stack 能够了解为自实现的栈，也能够了解为调用栈

上面咱们借助递归来实现 DFS。

const visited = {}
function dfs(i) {
    if (满足特定条件）{// 返回后果 or 退出搜寻空间}

    visited[i] = true // 将以后状态标为已搜寻
    for (依据 i 能达到的下个状态 j) {if (!visited[j]) { // 如果状态 j 没有被搜寻过
            dfs(j)
        }
    }
}

前序遍历与后序遍历

DFS 常见的模式有 前序和后序。二者的应用场景也是截然不同的。

下面讲述了搜寻实质就是在状态空间进行遍历，空间中的状态能够形象为图中的点。那么如果搜寻过程中，以后点的后果须要依赖其余节点（大多数状况都会有依赖），那么遍历程序就变得重要。

比方以后节点须要依赖其子节点的计算信息，那么应用后序遍历自底向上递推就显得必要了。而如果以后节点须要依赖其父节点的信息，那么应用先序遍历进行自顶向下的递归就不难想到。

比方下文要讲的计算树的深度。因为树的深度的递归公式为：$f(x) = f(y) + 1$。其中 f(x) 示意节点 x 的深度，并且 x 是 y 的子节点。很显著这个递推公式的 base case 就是根节点深度为一，通过这个 base case 咱们能够递推求出树中任意节点的深度。显然，应用先序遍历自顶向下的形式统计是简略而又间接的。

再比方下文要讲的计算树的子节点个数。因为树的子节点递归公式为：$f(x) = sum_{i=0}^{n}{f(a_i)}$ 其中 x 为树中的某一个节点，$a_i$ 为树中节点的子节点。而 base case 则是没有任何子节点(也就是叶子节点)，此时 $f(x) = 1$。因而咱们能够利用后序遍历自底向上来实现子节点个数的统计。

对于从递推关系剖析应用何种遍历办法，我在《91 天学算法》中的根底篇中的《模仿，枚举与递推》子专题中对此进行了具体的形容。91 学员能够间接进行查看。对于树的各种遍历办法，我在树专题中进行了具体的介绍。

迭代加深

迭代加深实质上是一种可行性的剪枝。对于剪枝，我会在前面的《回溯与剪枝》局部做更多的介绍。

所谓迭代加深指的是 在递归树比拟深的时候，通过设定递归深度阈值，超过阈值就退出的形式被动缩小递归深度的优化伎俩。这种算法成立的前提是 题目中通知咱们答案不超过 xxx，这样咱们能够将 xxx 作为递归深度阈值，这样不仅不会错过正确解，还能在极其状况下无效缩小不必须的运算。

具体地，咱们能够应用自顶向下的形式记录递归树的档次，和下面介绍如何计算树深度的办法是一样的。接下来在主逻辑前减少 以后档次是否超过阈值 的判断即可。

主代码：

MAX_LEVEL = 20
def dfs(root, level):
    if level > MAX_LEVEL: return
    # 主逻辑
dfs(root, 0)

这种技巧在理论应用中并不常见，不过在某些时候能施展意想不到的作用。

双向搜寻

有时候问题规模很大，间接搜寻会超时。此时能够思考从终点搜寻到问题规模的一半。而后将此过程中产生的状态存起来。接下来指标转化为在存储的中间状态中寻找满足条件的状态。进而达到升高工夫复杂度的成果。

下面的说法可能不太容易了解。接下来通过一个例子帮忙大家了解。

题目地址

https://leetcode-cn.com/probl…

题目形容

给你一个整数数组 nums 和一个目标值 goal。你须要从 nums 中选出一个子序列，使子序列元素总和最靠近 goal。也就是说，如果子序列元素和为 sum，你须要 最小化相对差 abs(sum - goal)。返回 abs(sum - goal) 可能的 最小值。留神，数组的子序列是通过移除原始数组中的某些元素（可能全副或无）而造成的数组。示例 1：输出：nums = [5,-7,3,5], goal = 6
输入：0
解释：抉择整个数组作为选出的子序列，元素和为 6。子序列和与目标值相等，所以相对差为 0。示例 2：输出：nums = [7,-9,15,-2], goal = -5
输入：1
解释：选出子序列 [7,-9,-2]，元素和为 -4。相对差为 abs(-4 - (-5)) = abs(1) = 1，是可能的最小值。示例 3：输出：nums = [1,2,3], goal = -7
输入：7
 

提醒：1 <= nums.length <= 40
-10^7 <= nums[i] <= 10^7
-10^9 <= goal <= 10^9

思路

从数据范畴能够看出，这道题大概率是一个 $O(2^m)$ 工夫复杂度的解法，其中 m 是 nums.length 的一半。

为什么？首先如果题目数组长度限度为小于等于 20，那么大概率是一个 $O(2^n)$ 的解法。

如果这个也不晓得，倡议看一下这篇文章 https://lucifer.ren/blog/2020… 另外我的刷题插件 leetcode-cheatsheet 也给出了工夫复杂度速查表供大家参考。

将 40 砍半恰好就能够 AC 了。实际上，40 这个数字就是一个强有力的信号。

回到题目中。咱们能够用一个二进制位示意原数组 nums 的一个子集，这样用一个长度为 $2^n$ 的数组就能够形容 nums 的所有子集了，这就是状态压缩。个别题目数据范畴是 <= 20 都应该想到。

这里 40 折半就是 20 了。

如果不相熟状态压缩，能够看下我的这篇文章状压 DP 是什么？这篇题解带你入门

接下来，咱们应用动静布局求出所有的子集和。

这也不难求出，转移方程为：dp[(1 << i) + j] = dp[j] + A[i]，其中 j 为 i 的子集，i 和 j 都是数字，i 和 j 的二进制示意的是 nums 的抉择状况。

动静布局求子集和代码如下：

def combine_sum(A):
    n = len(A)
    dp = [0] * (1 << n)
    for i in range(n):
        for j in range(1 << i):
            dp[(1 << i) + j] = dp[j] + A[i]
    return dp

接下来，咱们将 nums 平分为两局部，别离计算子集和：

n = len(nums)
c1 = combine_sum(nums[: n // 2])
c2 = combine_sum(nums[n // 2 :])

其中 c1 就是前半部分数组的子集和，c2 就是后半局部的子集和。

接下来问题转化为：在两个数组 c1 和 c2 中找两个数，其和最靠近 goal。而这是一个十分经典的双指针问题，逻辑相似两数和。

只不过两数和是一个数组挑两个数，这里是两个数组别离挑一个数罢了。

这里其实只须要一个指针指向一个数组的头，另外一个指向另外一个数组的尾即可。

代码不难写出：

def combine_closest(c1, c2):
    # 先排序以便应用双指针
    c1.sort()
    c2.sort()
    ans = float("inf")
    i, j = 0, len(c2) - 1
    while i < len(c1) and j >= 0:
        _sum = c1[i] + c2[j]
        ans = min(ans, abs(_sum - goal))
        if _sum > goal:
            j -= 1
        elif _sum < goal:
            i += 1
        else:
            return 0
    return ans

下面这个代码不懂的多看看两数和。

代码

代码反对：Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def minAbsDifference(self, nums: List[int], goal: int) -> int:
        def combine_sum(A):
            n = len(A)
            dp = [0] * (1 << n)
            for i in range(n):
                for j in range(1 << i):
                    dp[(1 << i) + j] = dp[j] + A[i]
            return dp

        def combine_closest(c1, c2):
            c1.sort()
            c2.sort()
            ans = float("inf")
            i, j = 0, len(c2) - 1
            while i < len(c1) and j >= 0:
                _sum = c1[i] + c2[j]
                ans = min(ans, abs(_sum - goal))
                if _sum > goal:
                    j -= 1
                elif _sum < goal:
                    i += 1
                else:
                    return 0
            return ans

        n = len(nums)
        return combine_closest(combine_sum(nums[: n // 2]), combine_sum(nums[n // 2 :]))

复杂度剖析

令 n 为数组长度, m 为 $\frac{n}{2}$。

工夫复杂度：$O(m*2^m)$
空间复杂度：$O(2^m)$

相干题目举荐：

16. 最靠近的三数之和
1049. 最初一块石头的分量 II
1774. 最靠近指标价格的甜点老本

这道题和双向搜寻有什么关系呢？

回一下结尾我的话：有时候问题规模很大，间接搜寻会超时。此时能够思考从终点搜寻到问题规模的一半。而后将此过程中产生的状态存起来。接下来指标转化为在存储的中间状态中寻找满足条件的状态。进而达到升高工夫复杂度的成果。

对应这道题，咱们如果间接暴力搜寻。那就是枚举所有子集和，而后找到和 goal 最靠近的，思路简略间接。可是这样会超时，那么就搜寻到一半，而后将状态存起来（对应这道题就是存到了 dp 数组）。接下来问题转化为两个 dp 数组的运算。该算法，实质上是将位于指数位的常数项移动到了系数位。这是一种常见的双向搜寻，我权且称为 DFS 的双向搜寻。目标是为了和前面的 BFS 双向搜寻进行辨别。

BFS 也是图论中算法的一种。不同于 DFS，BFS 采纳横向搜寻的形式，从初始状态一层层开展直到指标状态，在数据结构上通常采纳队列构造。

具体地，咱们一直从队头取出状态，而后 将此状态对应的决策产生的所有新的状态推入队尾，反复以上过程直至队列为空即可。

留神这里有两个关键点：

将此状态对应的决策。实际上这句话指的就是状态空间中的图的边，而不论是 DFS 和 BFS 边都是确定的。也就是说不论是 DFS 还是 BFS 这个决策都是一样的。不同的是什么？不同的是进行决策的方向不同。
所有新的状态推入队尾。下面说 BFS 和 DFS 是进行决策的方向不同。这就能够通过这个动作体现进去。因为间接将所有 状态空间中的以后点的邻边 放到队尾。由队列的先进先出的个性，以后点的邻边拜访实现之前是不会持续向外扩大的。这一点大家能够和 DFS 进行比照。

最简略的 BFS 每次扩大新的状态就减少一步，通过这样一步步迫近答案。其实也就等价于在一个权值为 1 的图上进行 BFS。因为队列的 枯燥性和二值性 ，当第一次取出指标状态时就是起码的步数。基于这个个性，BFS 适宜求解一些 起码操作 的题目。

对于枯燥性和二值性，我会在前面的 BFS 和 DFS 的比照那块进行解说。

后面 DFS 局部提到了 不论是什么搜寻都须要记录和保护状态，其中一个就是节点拜访状态以避免环的产生 。而 BFS 中咱们经常用来求点的最短距离。值得注意的是，有时候咱们会应用一个哈希表 dist 来记录从源点到图中其余点的间隔。这个 dist 也能够充当 避免环产生的性能 ，这是因为第一次达到一个点后 再次达到此点的间隔肯定比第一次达到大，利用这点就可晓得是否是第一次拜访了。

首先将根节点放入队列中。
从队列中取出第一个节点，并测验它是否为指标。
- 如果找到指标，则完结搜寻并回传后果。
- 否则将它所有尚未测验过的间接子节点退出队列中。
若队列为空，示意整张图都查看过了——亦即图中没有欲搜寻的指标。完结搜寻并回传“找不到指标”。
反复步骤 2。

const visited = {}
function bfs() {let q = new Queue()
    q.push(初始状态)
    while(q.length) {let i = q.pop()
        if (visited[i]) continue
        for (i 的可到达状态 j) {if (j 非法) {q.push(j)
            }
        }
    }
    // 找到所有非法解
}

双向搜寻

题目地址(126. 单词接龙 II)

https://leetcode-cn.com/probl…

题目形容

按字典 wordList 实现从单词 beginWord 到单词 endWord 转化，一个示意此过程的 转换序列 是模式上像 beginWord -> s1 -> s2 -> ... -> sk 这样的单词序列，并满足：每对相邻的单词之间仅有单个字母不同。转换过程中的每个单词 si（1 <= i <= k）必须是字典 wordList 中的单词。留神，beginWord 不用是字典 wordList 中的单词。sk == endWord

给你两个单词 beginWord 和 endWord，以及一个字典 wordList。请你找出并返回所有从 beginWord 到 endWord 的 最短转换序列，如果不存在这样的转换序列，返回一个空列表。每个序列都应该以单词列表 [beginWord, s1, s2, ..., sk] 的模式返回。示例 1：输出：beginWord = "hit", endWord = "cog", wordList = ["hot","dot","dog","lot","log","cog"]
输入：[["hit","hot","dot","dog","cog"],["hit","hot","lot","log","cog"]]
解释：存在 2 种最短的转换序列："hit" -> "hot" -> "dot" -> "dog" -> "cog"
"hit" -> "hot" -> "lot" -> "log" -> "cog"


示例 2：输出：beginWord = "hit", endWord = "cog", wordList = ["hot","dot","dog","lot","log"]
输入：[]
解释：endWord "cog" 不在字典 wordList 中，所以不存在符合要求的转换序列。提醒：1 <= beginWord.length <= 7
endWord.length == beginWord.length
1 <= wordList.length <= 5000
wordList[i].length == beginWord.length
beginWord、endWord 和 wordList[i] 由小写英文字母组成
beginWord != endWord
wordList 中的所有单词 互不雷同

思路

这道题就是咱们日常玩的 成语接龙游戏 。即让你从 beginWord 开始，接龙的 endWord。让你找到最短的接龙形式，如果有多个，则 全副返回。

不同于成语接龙的字首接字尾。这种接龙须要的是 下一个单词和上一个单词 仅有一个单词不同。

咱们能够对问题进行形象：即构建一个大小为 n 的图，图中的每一个点示意一个单词，咱们的指标是找到一条从节点 beginWord 到节点 endWord 的一条最短门路。

这是一个不折不扣的图上 BFS 的题目。套用下面的解题模板能够轻松解决。惟一须要留神的是 如何构建图 。更进一步说就是 如何构建边。

由题目信息的转换规则：每对相邻的单词之间仅有单个字母不同 。不难晓得，如果两个单词的仅有单个字母不同，就 阐明两者之间有一条边。

明确了这一点，咱们就能够构建邻接矩阵了。

外围代码：

neighbors = collections.defaultdict(list)
for word in wordList:
    for i in range(len(word)):
        neighbors[word[:i] + "*" + word[i + 1 :]].append(word)

构建好了图。BFS 剩下要做的就是明确终点和起点就好了。对于这道题来说，终点是 beginWord，起点是 endWord。

那咱们就能够将 beginWord 入队。一直在图上做 BFS，直到第一次遇到 endWord 就好了。

套用下面的 BFS 模板，不难写出如下代码:

这里我用了 cost 而不是 visitd，目标是为了让大家见识多种写法。上面的优化解法会应用 visited 来记录。


class Solution:
    def findLadders(self, beginWord: str, endWord: str, wordList: List[str]) -> List[List[str]]:
        cost = collections.defaultdict(lambda: float("inf"))
        cost[beginWord] = 0
        neighbors = collections.defaultdict(list)
        ans = []

        for word in wordList:
            for i in range(len(word)):
                neighbors[word[:i] + "*" + word[i + 1 :]].append(word)
        q = collections.deque([[beginWord]])

        while q:
            path = q.popleft()
            cur = path[-1]
            if cur == endWord:
                ans.append(path.copy())
            else:
                for i in range(len(cur)):
                    for neighbor in neighbors[cur[:i] + "*" + cur[i + 1 :]]:
                        if cost[cur] + 1 <= cost[neighbor]:
                            q.append(path + [neighbor])
                            cost[neighbor] = cost[cur] + 1
        return ans

当起点能够逆向搜寻的时候，咱们也能够尝试双向 BFS。更实质一点就是：如果你构建的状态空间的边是双向的，那么就能够应用双向 BFS。

和 DFS 的双向搜寻思维是相似的。咱们只须要应用两个队列别离存储中终点和起点进行扩大的节点（我称其为终点集与起点集）即可。当终点和起点在某一时刻交汇了，阐明找到了一个从终点到起点的门路，其门路长度就是两个队列扩大的门路长度和。

以上就是双向搜寻的大体思路。用图来示意就是这样的：

如上图，咱们从终点和重点（A 和 Z）别离开始搜寻，如果终点的扩大状态和起点的扩大状态重叠（实质上就是队列中的元素重叠了），那么咱们就晓得了一个从节点到起点的最短门路。

动图演示：

看到这里有必要暂停一下插几句话。

为什么双向搜寻就快了？什么状况都会更快么？那为什么不都用双向搜寻？有哪些应用条件？

咱们一个个答复。

为什么双向搜寻更快了？通过下面的图咱们发现通常刚开始的时候边比拟少，队列中的数据也比拟少。而随着搜寻的进行，搜寻树越来越大，队列中的节点随之增多 。和下面双向搜寻相似，这种增长速度很多状况下是指数级别的，而双向搜寻 能够将指数的常系数挪动到多项式系数。如果不应用双向搜寻那么搜寻树大略是这样的：

能够看出搜寻树大了很多，以至于很多点我都画不下，只好用”。。。“来示意。

什么状况下更快？相比于单向搜寻，双向搜寻通常更快。当然也有例外，举个极其的例子，如果从终点到起点只有一条门路，那么无论应用单向搜寻还是双向搜寻后果都是一样。

如图应用单向搜寻还是双向搜寻都是一样的。

为什么不都用双向搜寻？实际上做题中，我倡议大家尽量应用单向搜寻，因为写起来更节点，并且大多数都能够通过所有的测试用例。除非你预估到可能会超时或者提交后发现超时的时候再尝试应用双向搜寻。
有哪些应用条件？正如后面所说：”起点能够逆向搜寻的时候，能够尝试双向 BFS。更实质一点就是：如果你构建的状态空间的边是双向的，那么就能够应用双向 BFS。“

让咱们持续回到这道题。为了可能判断两者是否交汇，咱们能够应用两个 hashSet 别离存储终点汇合起点集。当一个节点既呈现终点集又呈现在起点集，那就阐明呈现了交汇。

为了节俭代码量以及空间耗费，我没有应用下面的队列，而是间接应用了哈希表来代替队列。这种做法可行的要害依然是下面提到的 队列的二值性和枯燥性。

因为 新一轮的出队列前，队列中的权值都是雷同的。因而从左到右遍历或者从右到左遍历，甚至是任意程序遍历都是无所谓的。（很多题都无所谓）因而应用哈希表而不是队列也是能够的。这点须要引起大家的留神。心愿大家对 BFS 的实质有更深的了解。

那咱们是不是不须要队列，就用哈希表，哈希汇合啥的存就行了？非也！我会在双端队列局部为大家揭晓。

这道题的具体算法：

定义两个队列：q1 和 q2，别离从终点和起点进行搜寻。
构建邻接矩阵
每次都尝试从 q1 和 q2 中的较小的进行扩大。这样能够达到剪枝的成果。

如果 q1 和 q2 交汇了，则将两者的门路拼接起来即可。

代码

语言反对：Python3

Python3 Code:

 class Solution:
    def findLadders(self, beginWord: str, endWord: str, wordList: list) -> list:
        #  剪枝 1
        if endWord not in wordList: return []
        ans = []
        visited = set()
        q1, q2 = {beginWord: [[beginWord]]}, {endWord: [[endWord]]}
        steps = 0
        # 预处理，空间换工夫
        neighbors = collections.defaultdict(list)
        for word in wordList:
            for i in range(len(word)):
                neighbors[word[:i] + "*" + word[i + 1 :]].append(word)
        while q1:
            # 剪枝 2
            if len(q1) > len(q2):
                q1, q2 = q2, q1
            nxt = collections.defaultdict(list)
            for _ in range(len(q1)):
                word, paths = q1.popitem()
                visited.add(word)
                for i in range(len(word)):
                    for neighbor in neighbors[word[:i] + "*" + word[i + 1 :]]:
                        if neighbor in q2:
                            # 从 beginWord 扩大过去的
                            if paths[0][0] == beginWord:
                                ans += [path1 + path2[::-1] for path1 in paths for path2 in q2[neighbor]]
                            # 从 endWord 扩大过去的
                            else:
                                ans += [path2 + path1[::-1] for path1 in paths for path2 in q2[neighbor]]
                        if neighbor in wordList and neighbor not in visited:
                            nxt[neighbor] += [path + [neighbor] for path in paths]
            steps += 1
            # 剪枝 3
            if ans and steps + 2 > len(ans[0]):
                break
            q1 = nxt
        return ans

总结

我想通过这道题给大家传递的知识点很多。别离是：

队列不肯定非得是惯例的队列，也能够是哈希表等。不过某些状况必须是双端队列，这个等会讲双端队列给大家讲。
双向 BFS 是只适宜双向图。也就是说从起点也往前推。
双向 BFS 从较少状态的一端进行扩大能够起到剪枝的成果
visitd 和 dist/cost 都能够起到记录点拜访状况以避免环的产生的作用。不过 dist 的作用更多，相应空间占用也更大。

双端队列

下面提到了 BFS 实质上能够看做是在一个边权值为 1 的图上进行遍历。实际上，咱们能够进行一个简略的扩大。如果图中边权值不全是 1，而是 0 和 1 呢？这样其实咱们用到双端队列。

双端队列能够在头部和尾部同时进行插入和删除，而一般的队列仅容许在头部删除，在尾部插入。

应用双端队列，当每次取出一个状态的时候。如果咱们能够 无代价 的进行转移，那么就能够将其间接放在队头，否则放在队尾。由 后面讲的队列的枯燥性和二值性 不难得出算法的正确性。而如果状态转移是有代价的，那么就将其放到队尾即可。这也是很多语言提供的内置数据结构是双端队列，而不是队列的起因之一。

如下图：

下面的队列是一般的队列。而上面的双端队列，能够看出咱们在队头插队了一个 B。

动图演示：

思考：如果图对应的权值不出 0 和 1，而是任意正整数呢？

后面咱们提到了 是不是不须要队列，就用哈希表，哈希汇合啥的存就行了？ 这里为大家揭秘。不能够的。因为哈希表无奈解决这里的权值为 0 的状况。

BFS 和 DFS 别离解决什么样的问题？两者到底有什么样的区别？这些都值得咱们认真钻研。

简略来说，不论是 DFS 还是 BFS 都是对 题目对应的状态空间进行搜寻。

具体来说，二者区别在于：

DFS 在分叉点会任选一条深刻进入，遇到起点则返回，再次返回到分叉口后尝试下一个抉择。基于此，咱们能够在门路上记录一些数据。由此也能够衍生出很多乏味的货色。

如下图，咱们遍历到 A，有三个抉择。此时咱们能够任意抉择一条，比方抉择了 B，程序会持续往下进行抉择分支 2，3。。。

如下动图演示了一个典型的 DFS 流程。前面的章节，咱们会给大家带来更简单的图上 DFS。

BFS 在分叉点会抉择搜寻的门路各尝试一次。应用队列来存储待处理的元素时，队列中最多只会有两层的元素，且满足枯燥性，即雷同层的元素在一起。基于这个特点有很多乏味的优化。

如下图，广度优先遍历会将搜寻的抉择全副抉择一遍会才会进入到下一层。和下面一样，我给大家标注了程序执行的一种可能的程序。

能够发现，和我下面说的一样。右侧的队列始终最多有两层的节点，并且雷同层的总在一起，换句话说队列的元素在层上 满足枯燥性。

如下动图演示了一个典型的 BFS 流程。前面的章节，咱们会给大家带来更简单的图上 BFS。

以上就是《搜寻篇（上）》的所有内容了。总结一下搜寻篇的解题思路：

依据题目信息构建状态空间（图）。
对图进行遍历（BFS 或者 DFS）
记录和保护状态。（比方 visited 保护拜访状况，队列和栈保护状态的决策方向等等）

咱们花了大量的篇幅对 BFS 和 DFS 进行了具体的解说，包含两个的比照。

外围点须要大家留神：

DFS 通常都是有递推关系的，而递归关系就是图的边。依据递归关系大家能够抉择应用前序遍历或者后序遍历。
BFS 因为其枯燥性，因而适宜求解最短距离问题。
。。。

双向搜寻的实质是将复杂度的常数项从一个影响较大的地位（比方指数位）移到了影响较小的地位（比方系数位）。

搜寻篇知识点比拟密集，心愿大家多多总结温习。

下一节，咱们介绍：

回溯与剪枝。
罕用的指标与统计办法。具体包含：
1. 树的深度与子树大小
2. 图的 DFS 序
3. 图的拓扑序
4. 图的联通重量

下节内容会首发在《91 天学算法》。想加入的能够戳这里理解详情：https://lucifer.ren/blog/2021…

关于算法:手把手教你刷搜索

大话搜寻

搜寻的外围是什么？

状态空间

DFS 和 BFS

DFS

算法流程

算法模板

罕用技巧

前序遍历与后序遍历

迭代加深

双向搜寻

题目地址

题目形容

思路

代码

BFS

算法流程

算法模板

罕用技巧

双向搜寻

题目地址(126. 单词接龙 II)

题目形容

思路

代码

总结

双端队列

DFS 和 BFS 的比照

总结