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摘要
本文提供了一套用于剖析各种无限混合模型的办法。既包含传统的办法，如单变量和多变量正态混合的 EM 算法，也包含反映无限混合模型的一些最新钻研的办法。许多算法都是 EM 算法或基于相似 EM 的思维，因而本文包含无限混合模型的 EM 算法的概述。
1. 无限混合模型介绍
人群中的个体往往能够被划分为群。然而，即便咱们察看到这些个体的特色，咱们也可能没有真正察看到这些成员的群体。这项工作在文献中有时被称为 “ 无监督聚类 ”，事实上，混合模型个别能够被认为是由被称为 “ 基于模型的聚类 “ 的聚类办法的子集组成。
无限混合模型也可用于那些对个体聚类感兴趣的状况之外。首先，无限混合模型给出了整个子群的形容，而不是将个体调配到这些子群中。有时，无限混合模型只是提供了一种充沛形容特定散布的伎俩，例如线性回归模型中存在异样值的残差散布。
无论建模者在采纳混合模型时的指标是什么，这些模型的大部分实践都波及到一个假如，即子群是依照一个特定的参数模式散布的 – 而这个模式往往是单变量或多变量正态。
最近的钻研指标是放宽或批改多变量正态假如，无限混合模型剖析的计算技术，其中的成分是回归、多变量数据离散化产生的向量，甚至是齐全未指定的散布。
2. 无限混合模型的 EM 算法
===
EM 算法迭代最大化，而不是察看到的对数似然 Lx(θ)，算式为
1. E 步：计算 Q(θ|θ(t))
2. M 步骤：设定 θ(t+1)=argmaxθ∈Φ Q(θ|θ(t))
对于无限混合模型，E 步骤不依赖于 F 的构造，因为缺失数据局部只与 Z 无关。
Z 是离散的，它们的散布是通过贝叶斯定理给出的。M 步骤自身能够分成两局部，与 λ 无关的最大化，它不依赖于 F，与 φ 无关的最大化，它必须为每个模型专门解决（例如，参数化、半参数化或非参数化）。因而，模型的 EM 算法有以下独特特点。
11. E 步。计算成分蕴含的 “ 后验 “ 概率（以数据和 θ（t）为条件）。
对于所有 i = 1, . . .，n 和 j = 1，. . . 从数值上看，齐全依照公式（2）的写法来实现是很危险的，因为在 xi 离任何一个成分都很远的状况下，所有的 φ（t）j 0（xi）值都会导致数值下溢为零，所以可能会呈现不确定的模式 0 /0。因而，许多例程实际上应用的是等价表达式
或其某种变体。
2. λ 的 M 步骤。设
2.3. 一个 EM 算法的例子
作为一个例子，咱们思考对图 1 中形容的间歇泉喷发间隔时间期待数据进行单变量正态混合剖析。这种齐全参数化的状况对应于第 1 节中形容的单变量高斯家族的混合散布，其中（1）中的第 j 个重量密度 φj（x）为正态，均值为 μj，方差为 σ 2 j。
对于参数 (µj , σ2 j) 的 M 步，j = 1, . . 这个 EM 算法对这种单变量混合散布的 M 步骤是很简略的，例如能够在 McLachlan 和 Peel（2000）中找到。
mixEM(waiting, lambda = .5)
下面的代码将拟合一个二成分的混合散布（因为 mu 是一个长度为 2 的向量），其中标准偏差被假设为相等（因为 sigma 是一个标量而不是一个向量）。
图 1: 对数似然值的序列，Lx(θ (t))
图 2：用参数化 EM 算法拟合间歇泉期待数据。拟合的高斯成分。
R> plot(wait1, density = TRUE, cex.axis = 1.4, cex.lab = 1.4, cex.main = 1.8,
+ main2 = "Time between Old Faithful eruptions", xlab2 = "Minutes")两个图：察看到的对数似然值的序列 t 7→Lx(θ (t))和数据的直方图，其中有 N(ˆµj , σˆ 2 j)的 m(这里 m =2)个拟合的高斯重量密度，j=1, . . .，m，叠加在一起。预计 θˆ
另外，应用 summary 也能够失去同样的输入。
summary(wait1)
3. Cutpoint methods 切割点办法
传统上，大多数对于无限混合模型的文献都假如方程（1）的密度函数 φj（x）来自一个已知的参数族。然而，一些作者最近思考了这样的问题：除了确保模型中参数的可识别性所需的一些条件外，φj（x）是不指定的。咱们应用 Elmore 等人（2004）的切割点办法。
咱们参考 Elmore 等人从 -63 开始，始终到 63 大概以 10.5 的距离采纳切点。而后从原始数据中创立一个多指标数据集，如下所示。
R> cutpts <- 10.5*(-6:6)
R> mult(data, cuts = cutpts)一旦创立了多指标数据，咱们能够利用 EM 算法预计多指标参数。最初，计算并绘制出方程的预计散布函数。图 3 给出了 3 重量和 4 重量解决方案的图表；这些图表与 Elmore 等人（2004）的图 1 和图 2 中的相应图表十分类似。
R> plot(data, posterior, lwd = 2,
+ main = "三重量解")图 3(a)
图 3(b)
同样能够用 summary 来总结 EM 输入。
单变量对称、地位偏移的半参数例子
在 φ(-)绝对于 Lebesgue 度量是相对间断的额定假如下，Bordes 等人 (2007) 提出了一种预计模型参数的随机算法，即(λ, µ, φ)。一个特例
R> plot(wait1, which = 2)
R> wait2 <-EM(waiting)
R> plot(wait2, lty = 2)图 4(a)
图 4(b)
因为半参数版本依赖于核密度估计步骤（8），所以有必要为这个步骤抉择一个带宽。默认状况下，应用 ”Silverman 的教训法令 ”（Silverman 1986）利用于整个数据集。
R> bw.nrd0(wait)
但带宽的抉择会产生很大的不同，如图 4(b)所示。
> wait2a <- EM(wait, bw = 1)
> plot(wait2a
> plot(wait2b咱们发现，在带宽靠近 2 的状况下，半参数解看起来十分靠近图 2 的正态混合散布解。进一步升高带宽会导致图 4(b)中的实线所体现出的 “ 凹凸不平 ”。另一方面，在带宽为 8 的状况下，半参数解成果很差，因为算法试图使每个成分看起来与整个混合散布类似。
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