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两个随机变量之间的相依性问题备受关注, 相依性 (dependence) 是反映两个随机变量之间关联水平的一个概念。它与相关性 (correlation) 有区别，罕用的相关性度量是 Pearson 相关系数, 它只度量了两个随机变量之间的线性关系, 其值不仅依赖于它们的 Copula 函数, 而且还依赖它们的边缘散布函数。
直观地说,Copula 函数就是两个 (或多个) 随机变量的联结散布能够示意为它们的边缘散布函数的函数, 这个函数就是 Copula 函数, 它与随机变量的边缘散布没有关系, 所反映的是两个 (多个) 随机变量之间的“构造”, 这种构造蕴含了两个随机变量相依性的全副信息。
Joe(1990)尾部相依性指数
Joe(1990)提出了一个 (强) 尾部相依性指数。例如，对于下尾，能够思考
也就是
-
高低尾 (教训) 相依 性函数
咱们的想法是绘制下面的函数。定义
下尾
对上尾来说，其中是 与 ，相依的生存 copula，即
其中
当初，咱们能够很容易地推导出这些函数的教训对应关系，即：
因而，对于上尾，在左边，咱们有以下图形
而对于下尾，在右边，咱们有
损失赔偿数据
Copula 函数在经济、金融、保险等畛域有宽泛的利用. 早在 1998 年 Frees 和 Valdez(1998)钻研了索赔额与管理费之间的关系, 采纳了 Copula 函数对其进行刻画并利用于保费的定价。
对于代码，思考一些实在的数据，比方损失赔偿数据集。
损失赔偿费用数据有 1,500 个样本和 2 个变量。这两栏蕴含赔偿金付款 (损失) 和调配的损失调整费用(alae)。后者是与解决索赔相干的额定费用（如索赔考察费用和法律费用）。
咱们的想法是，在右边绘制下尾函数，在左边绘制上尾函数。
当初，咱们能够将这个图形，与一些具备雷同 Kendall’s tau 参数的 copulas 图形进行比拟
高斯 copulas
如果咱们思考高斯 copulas。
> copgauss=normalCopula(paramgauss)
> Lga=function(z) pCopula(c(z,z),copgauss)/z
> Rga=function(z) (1-2*z+pCopula(c(z,z),copgauss))/(1-z)
> lines(c(u,u+.5-u\[1\]),c(Lgs,Rgs)
Gumbelcopula
或 Gumbel 的 copula。
> copgumbel=gumbelCopula(paramgumbel, dim = 2)
> lines(c(u,u+.5-u\[1\])
置信区间
然而因为咱们没有任何置信区间，所以依然很难得出结论(即便看起来 Gumbel copula 比 Gaussian copula 更适宜)。一个策略能够是从这些 copula 曲线中生成样本，并可视化。对于高斯 copula 曲线
> nsimul=500
> for(s in 1:nsimul){+ Xs=rCopula(nrow(X),copgauss)
+ Us=rank(Xs\[,1\])/(nrow(Xs)+1)
+ Vs=rank(Xs\[,2\])/(nrow(Xs)+1)
+ lines(c(u,u+.5-u\[1\]),MGS\[s,\],col="red")包含–逐点–90% 的置信区间
> Q95=function(x) quantile(x,.95)
> lines(c(u,u+.5-u\[1\]),V05,col="red",lwd=2)高斯 copula 曲线
Gumbel copula 曲线
只管统计收敛的速度会很慢，评估底层的 copula 曲线是否具备尾部相依性简略。尤其是当 copula 曲线体现出尾部独立性的时候。比方思考一个 1000 大小的高斯 copula 样本。这是咱们生成随机计划后失去的后果。
或者咱们看一下右边的尾巴(用对数比例)
当初，思考 10000 个样本。
在这些图上，如果极限是 0，或者是某个严格的正值，是相当难以判定的（同样，当感兴趣的值处于参数的反对边界时，这是一个经典的统计问题）。所以，一个简略的想法是思考一个较弱的尾部相依指数。
===
_Ledford_ 和_Tawn(1996)_尾部相关系数
形容尾部相依性的另一种办法能够在 Ledford & Tawn（1996）中找到。假如和具备雷同的散布。当初，如果咱们假如这些变量是（严格）独立的。
但如果咱们假如这些变量是（严格的）同枯燥性的（即这里的变量是相等的，因为它们有雷同的散布），则
所以，有这样一个假如：
那么 a = 2 能够解释为独立性，而 a = 1 则示意强（完满）正相依性。因而，思考进行如下变换，失去 [0,1] 中的一个参数，其相依性强度随指数的减少而减少，例如
为了推导出尾部相依指数，假如存在一个极限，即
这将被解释为一个（弱）尾部相依指数。因而定义函数
下尾巴（在右边）
上尾（在左边）。计算这些函数的 R 代码非常简单。
> L2emp=function(z) 2*log(mean(U<=z))/
> R2emp=function(z) 2*log(mean(U>=1-z))/
+ log(mean((U>=1-z)&(V>=1-z)))-1
> plot(c(u,u+.5-u\[1\]),c(L,R),type="l",ylim=0:1,
> abline(v=.5,col="grey")高斯 copula 函数
同样，也能够将这些教训函数与一些参数函数进行比照，例如，从高斯 copula 函数中失去的函数（具备雷同的 Kendall’s tau）。
> copgauss=normalCopula(paramgauss)
> Lgs =function(z) 2*log(z)/log(pCopula(c(z,z),
+ copgauss))-1
> Rgas =function(z) 2\*log(1-z)/log(1-2\*z+
+ pCopula(c(z,z),copgauss))-1
> lines(c(u,u+.5-u\[1\])
Gumbel copula
> copgumbel=gumbelCopula(paramgumbel, dim = 2)
> L=function(z) 2*log(z)/log(pCopula(c(z,z),
+ copgumbel))-1
> R=function(z) 2\*log(1-z)/log(1-2\*z+
+ pCopula(c(z,z),copgumbel))-1
> lines(c(u,u+.5-u\[1\]),c(Lgl,Rgl),col="blue")
同样，咱们察看置信区间，Gumbel copula 在这里提供了一个很好的拟合
极值 copula
咱们思考 copulas 族中的极值 copulas。在双变量的状况下，极值能够写为
其中 为 Pickands 相依函数，它是一个凸函数，满足于
察看到，在这种状况下：
其中 肯德尔系数，可写成
例如
那么，咱们就失去了 Gumbel copula。当初，咱们来看（非参数）推理，更精确地说，是相依函数的预计。最规范的预计器的出发点是察看 是否有 copula 函数
具备散布函数
而反过来，Pickands 相依函数能够写成
因而，Pickands 函数的天然预计是
其中，是教训累积散布函数
这是 Capéràa, Fougères & Genest (1997)中提出的预计办法。在这里，咱们能够用
> Z=log(U\[,1\])/log(U\[,1\]*U\[,2\])
> h=function(t) mean(Z<=t)
> a=function(t){function(t) (H(t)-t)/(t*(1-t))
+ return(exp(integrate(f,lower=0,upper=t,
+ subdivisions=10000)$value))
> plot(c(0,u,1),c(1,A(u),1),type="l"整合失去 Pickands 相依函数的估计值。上图中能够直观地看到上尾的相依指数。
> A(.5)/2
\[1\] 0.4055346
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