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规范的 ARIMA（挪动均匀自回归模型）模型容许只依据预测变量的过来值进行预测。该模型假设一个变量的将来的值线性地取决于其过来的值，以及过来（随机）影响的值。ARIMAX 模型是 ARIMA 模型的一个扩大版本。它还包含其余独立（预测）变量。该模型也被称为向量 ARIMA 或动静回归模型。
ARIMAX 模型相似于多变量回归模型，但容许利用回归残差中可能存在的自相干来进步预测的准确性。
本文练习提供了一个进行 ARIMAX 模型预测的练习。还查看了回归系数的统计学意义。
这些练习应用了冰淇淋生产数据。该数据集蕴含以下变量。
- 美国的冰淇淋生产（人均）
- 每周的均匀家庭收入
- 冰淇淋的价格
- 平均温度。
观测数据的数量为 30 个。它们对应的是 1951 年 3 月 18 日至 1953 年 7 月 11 日这一时间段内的周围工夫。
练习 1
加载数据集，并绘制变量 cons（冰淇淋生产）、temp（温度）和支出。
ggplot(df, aes(x = X, y = income)) +
ylab("支出") +
xlab("工夫") +
grid.arrange(p1, p2, p3, ncol=1, nrow=3)练习 2
对冰淇淋生产数据预计 ARIMA 模型。而后将该模型作为输出传给预测函数，失去将来 6 个期间的预测数据。
auto.arima(cons)
fcast\_cons <- forecast(fit\_cons, h = 6)
练习 3
绘制失去的预测图。
练习 4
找出拟合的 ARIMA 模型的均匀绝对误差（MASE）。
accuracy
练习 5
为生产数据预计一个扩大的 ARIMA 模型，将温度变量作为一个额定的回归因子（应用 auto.arima 函数）。而后对将来 6 个期间进行预测（留神这个预测须要对冀望温度进行假如；假如将来 6 个期间的温度将由以下向量示意：
fcast_temp <- c(70.5, 66, 60.5, 45.5, 36, 28)）绘制取得的预测图。
练习 6
输入取得的预测摘要。找出温度变量的系数，它的标准误差，以及预测的 MASE。将 MASE 与初始预测的 MASE 进行比拟。
summary(fca)
温度变量的系数是 0.0028
该系数的标准误差为 0.0007
均匀相对比例误差为 0.7354048，小于初始模型的误差（0.8200619）。
练习 7
查看温度变量系数的统计意义。该系数在 5% 的程度上是否有统计学意义？
test(fit)
练习 8
预计 ARIMA 模型的函数能够输出更多的附加回归因子，但只能以矩阵的模式输出。创立一个有以下几列的矩阵。
温度变量的值。
支出变量的值。
滞后一期的支出变量的值。
滞后两期的支出变量的值。
输入该矩阵。
留神：最初三列能够通过在支出变量值的向量中增加两个 NA 来创立，并将失去的向量作为嵌入函数的输出（维度参数等于要创立的列数）。
vars <- cbind(temp, income)
print(vars)
练习 9
应用取得的矩阵来拟合三个扩大的 ARIMA 模型，应用以下变量作为额定的回归因子。
温度、支出。
温度、支出的滞后期为 0、1。
温度，滞后期为 0、1、2 的支出。
查看每个模型的摘要，并找到信息准则（AIC）值最低的模型。
留神 AIC 不能用于比拟具备不同阶数的 ARIMA 模型，因为察看值的数量不同。例如，非差分模型 ARIMA（p，0，q）的 AIC 值不能与差分模型 ARIMA（p，1，q）的相应值进行比拟。
auto.arima(cons, xreg = var)
print(fit0$aic)
能够应用 AIC，因为各模型的参数阶数雷同（0）。
AIC 值最低的模型是第一个模型。
它的 AIC 等于 -113.3。
练习 10
应用上一练习中发现的模型对将来 6 个期间进行预测，并绘制预测图。预测须要一个将来 6 个期间的冀望温度和支出的矩阵；应用 temp 变量和以下冀望支出值创立矩阵：91, 91, 93, 96, 96, 96。
找出该模型的均匀相对比例误差，并与本练习集中前两个模型的误差进行比拟。
带有两个内部回归因子的模型具备最低的 均匀相对比例误差 (0.528)
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