向量自回归模型预计的先决条件之一是被剖析的工夫序列是安稳的。然而，经济实践认为，经济变量之间在程度上存在着平衡关系，能够使这些变量差分而安稳。这就是所谓的协整关系。因为晓得这种关系能够改善剖析的后果，所以心愿有一个计量经济学模型，可能捕捉到这种关系。所谓的向量误差修改模型（VECMs）就属于这一类模型。下文介绍了 VECMs 的基本概念，并在 R 中预计这种模型。
模型和数据
向量误差修改模型与 VAR 模型十分类似，能够有如下模式。
其中，Δx 为向量 x 中各变量的第一次差分，Pi 为协整关系的系数矩阵，Γ 为 x 的差分变量滞后的系数矩阵，d 为确定性项的向量，C 为其对应的系数矩阵，p 为 VAR 模式下模型的滞后阶数，ϵ 为均值为零的误差项，方差 - 协方差矩阵 Σ。
由上式可知，与 VAR 模型惟一不同的是误差修改项 Πxt-1，它反映了如果其中一个变量偏离其平衡值，则 x 中的变量增长率会如何变动的影响。系数矩阵 Π 能够写成矩阵乘积 Π =αβ′，这样误差修改项就变成了 αβ′xt-1。协整矩阵 β 蕴含了各层次变量之间的平衡关系信息。β′xt- 1 形容的向量能够解释为变量与平衡值之间的间隔，α 是所谓的载荷矩阵，形容了因变量向平衡值收敛的速度。
为了阐明 R 向量误差修改模型预计，咱们应用数据集 E6(2007)，其中蕴含从季度 1972Q2 到 1998Q4，季节性调整的长期利率和通胀率工夫序列。
plot(data) #绘图数据
预计
有多种办法能够预计 VEC 模型。第一种办法是应用一般最小二乘法，这种办法能够失去精确的后果，但不能预计变量之间的协整关系。预计狭义最小二乘法（EGLS）是一种代替办法。然而，最风行的 VECMs 预计办法是 Johansen（1995）的最大似然预计。
然而，在预计 VEC 模型之前，必须指定滞后阶数 p、协整矩阵的等级 r 和确定性项。抉择滞后阶数的一个无效策略是在程度上预计 VAR，并抉择最小化信息准则的滞后办法。因为工夫序列体现出强烈的季节性法则，咱们通过指定节令参数 = 4 来管制，其中 4 是数据的频率。
# 预计 VAR
VAR(data,ic = "AIC", season = 4 ,....)
# AIC 倡议的滞后阶数
var$p## AIC(n)
## 4依据 AIC，能够应用滞后阶数为 4，这与 Lütkepohl（2007）中应用的数值雷同。这意味着 VEC 模型对应的 VAR 在程度上有 3 个滞后期。因为 ca.jo 函数要求 VAR 模型的滞后阶数，咱们设置 K =4。
在 VECM 中退出确定性项是一个奇妙的问题。一个常见的策略是在误差修改项中退出一个线性趋势，在方程的非协整局部退出一个常数，这个策略就不做赘述了。在这个例子中，咱们遵循 Lütkepohl（2007）的办法，在方程的非协整局部增加一个常数项和季节性伪变量。
cajo 函数不仅仅是预计 VECM，它还计算了方程的测验统计量。它还计算了 r 的不同特异性的测验统计量，用户能够在两种办法中进行抉择，即迹测验和特征值测验。在这个例子中，应用了迹测验，即 type = “trace”。
# 预计
cajo(e6, ecdet = "none", type = "trace",...)
迹测验表明，r=1，协整关系 β 和载荷矩阵 α 的第一列估计值与 Lütkepohl（2007 年，第 7 章）中 ML 预计的后果统一。
# Beta
round(vec@V, 2)## R.l1 Dp.l1
## R.l1 1.00 1.0
## Dp.l1 -3.96 1.7# Alpha
round(vec@W, 2)## R.l1 Dp.l1
## R.d -0.10 -0.04
## Dp.d 0.16 -0.02然而，模型中非协整局部的预计系数与 EGLS 预计的后果统一。
round(GAMMA, 2)## constant sd1 sd2 sd3 R.dl1 Dp.dl1 R.dl2 Dp.dl2 R.dl3 Dp.dl3
## R.d 0.01 0.01 0.00 0.00 0.29 -0.16 0.01 -0.19 0.25 -0.09
## Dp.d -0.01 0.02 0.02 0.03 0.08 -0.31 0.01 -0.37 0.04 -0.34因为应用了不同的参考日期，与 Lütkepohl（2007）的后果不同。
脉冲响应剖析
VECM 的脉冲响应函数通常由其 VAR 模式取得。
# 将 VEC 转换为 VAR，r=1。vec2var(vec, r = 1)而后用通常的形式计算脉冲响应函数。
# 取得 IRF
irf(impulse = "R", response = "Dp",...)
请留神，和安稳的 VAR 模型的一个重要区别是，协整 VAR 模型的脉冲反馈不是必须靠近零，因为变量是不安稳的。
参考文献
Lütkepohl, H. (2007). _New introduction to multiple time series analysis_ (2nd ed.). Berlin: Springer.