关于算法:R语言使用贝叶斯层次模型进行空间数据分析

在本节中，我将重点介绍应用集成嵌套拉普拉斯近似办法的贝叶斯推理。
能够预计贝叶斯层次模型的后边缘散布。鉴于模型类型十分宽泛，咱们将重点关注用于剖析晶格数据的空间模型。

为了阐明如何与空间模型拟合，将应用纽约白血病数据集。该数据集记录了普查区纽约州北部的许多白血病病例。数据集中的一些变量是：

Cases：1978-1982 年期间的白血病病例数。
POP8：1980 年人口。
PCTOWNHOME：领有屋宇的人口比例。
PCTAGE65P：65 岁以上的人口比例。
AVGIDIST：到最近的三氯乙烯（TCE）站点的均匀反间隔。

鉴于有趣味钻研纽约州北部的白血病危险，因而首先要计算预期的病例数。这是通过计算总死亡率（总病例数除以总人口数）并将其乘以总人口数得出的：

rate <- sum(NY8$Cases) / sum(NY8$POP8)
NY8$Expected <- NY8$POP8 * rate

一旦取得了预期的病例数，就能够应用_标准化死亡率_（SMR）来取得原始的危险预计，该_规范_是将察看到的病例数除以预期的病例数得出的：

NY8$SMR <- NY8$Cases / NY8$Expected

在流行病学中，重要的是制作地图以显示绝对危险的空间散布。在此示例中，咱们将重点放在锡拉库扎市以缩小生成地图的计算工夫。因而，咱们用锡拉丘兹市的区域创立索引：

# Subset Syracuse city
syracuse <- which(NY8$AREANAME == "Syracuse city")

能够应用函数spplot（在包中sp）简略地创立疾病图：

library(viridis)
## Loading required package: viridisLite
spplot(NY8\[syracuse, \], "SMR", #at = c(0.6, 0.9801, 1.055, 1.087, 1.125, 13),
   col.regions = rev(magma(16))) #gray.colors(16, 0.9, 0.4))

## Loading required package: viridisLite

能够轻松创立交互式地图

请留神，先前的地图还包含 11 个受 TCE 净化的站点的地位，能够通过放大看到它。

咱们将思考的第一个模型是没有潜在随机效应的 Poisson 模型，因为这将提供与其余模型进行比拟的基准。

模型：

请留神，它的 glm 性能相似于该性能。在此，参数 E用于预期的案例数。或设置了其余参数来计算模型参数的边际
（应用control.predictor）并计算一些模型抉择规范（应用control.compute）。

接下来，能够取得模型的摘要：

summary(m1)

## 
## Call:

## Time used:
##     Pre = 0.368, Running = 0.0968, Post = 0.0587, Total = 0.524 
## Fixed effects:
##               mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant   mode kld
## (Intercept) -0.065 0.045     -0.155   -0.065      0.023 -0.064   0
## AVGIDIST     0.320 0.078      0.160    0.322      0.465  0.327   0
## 
## Expected number of effective parameters(stdev): 2.00(0.00)
## Number of equivalent replicates : 140.25 
## 
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 948.12
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 418.75
## Effective number of parameters .....................: 2.00
## 
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 949.03
## Effective number of parameters .................: 2.67
## 
## Marginal log-Likelihood:  -480.28 
## Posterior marginals for the linear predictor and
##  the fitted values are computed

能够通过在线性预测变量中包含 iid 高斯随机效应，将潜在随机效应增加到模型中，以解决适度扩散问题。

当初，该模式的摘要包含无关随机成果的信息：

summary(m2)

## 
## Call:

## Time used:
##     Pre = 0.236, Running = 0.315, Post = 0.0744, Total = 0.625 
## Fixed effects:
##               mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant   mode kld
## (Intercept) -0.126 0.064     -0.256   -0.125     -0.006 -0.122   0
## AVGIDIST     0.347 0.105      0.139    0.346      0.558  0.344   0
## 
## Random effects:
##   Name     Model
##     ID IID model
## 
## Model hyperparameters:
##                     mean       sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode
## Precision for ID 3712.34 11263.70       3.52     6.94   39903.61 5.18
## 
## Expected number of effective parameters(stdev): 54.95(30.20)
## Number of equivalent replicates : 5.11 
## 
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 926.93
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 397.56
## Effective number of parameters .....................: 61.52
## 
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 932.63
## Effective number of parameters .................: 57.92
## 
## Marginal log-Likelihood:  -478.93 
## Posterior marginals for the linear predictor and
##  the fitted values are computed

这两个模型预计能够被增加到 SpatialPolygonsDataFrame NY8

NY8$FIXED.EFF <- m1$summary.fitted\[, "mean"\]
NY8$IID.EFF <- m2$summary.fitted\[, "mean"\]
spplot(NY8\[syracuse, \], c("SMR", "FIXED.EFF", "IID.EFF"),
  col.regions = rev(magma(16)))

格子数据波及在不同区域（例如，邻里，城市，省，州等）测量的数据。呈现空间依赖性是因为相邻区域将显示类似的指标变量值。

能够应用poly2nbpackage 中的函数来计算邻接矩阵 spdep。如果其边界至多在某一点上接触，则此性能会将两个区域视为街坊：

这将返回一个 nb 具备邻域构造定义的对象：

NY8.nb

## Neighbour list object:
## Number of regions: 281 
## Number of nonzero links: 1624 
## Percentage nonzero weights: 2.056712 
## Average number of links: 5.779359

另外，当多边形的重心已知时，能够绘制对象：

plot(NY8) 
plot(NY8.nb, coordinates(NY8), add = TRUE, pch = ".", col = "gray")

通常状况是，除了 \（y\_i \）之外，咱们还有许多协变量 \（X\_i \）。因而，咱们可能想对 \（X_i \）_回归_ \（y_i \）。除了协变量，咱们可能还须要思考数据的空间结构。
能够应用不同类型的回归模型来建模晶格数据：

狭义线性模型（具备空间随机效应）。
空间计量经济学模型。

一种常见的办法（对于高斯数据）是应用
具备随机效应的线性回归：

\ [
Y = X \ beta + Zu + \ varepsilon
\]

随机效应的向量 \（u \）被建模为多元正态分布：

\ [
u \ sim N（0，\ sigma ^ 2_u \ Sigma）
\]

\（\ Sigma \）的定义是，它会引起与相邻区域的更高相关性，\（Z \）是随机成果的设计矩阵，而
\（\ varepsilon_i \ sim N（0，\ sigma ^ 2），i = 1，\ ldots，n \）是一个误差项。

在 \（\ Sigma \）中包含空间依赖的办法有很多：

同步自回归（SAR）：

\ [
\ Sigma ^ {-1} = [（I- \ rho W）’（I- \ rho W）]
\]

条件自回归（CAR）：

\ [
\ Sigma ^ {-1} =（I- \ rho W）
\]

（ICAR）：

\ [
\ Sigma ^ {-1} = diag（n_i）– W
\]

\（n_i \）是区域 \（i \）的街坊数。
\（\ Sigma_ {i，j} \）取决于 \（d（i，j）\）的函数。例如：

\ [
\ Sigma_ {i，j} = \ exp \ {-d（i，j）/ \ phi \}
\]

矩阵的“混合”（Leroux 等人的模型）：

\ [
\ Sigma = [（1 – \ lambda）I_n + \ lambda M] ^ {-1}; \ \ lambda \ in（0,1）
\]

第一个示例将基于 ICAR 标准。请留神，应用f- 函数定义空间潜在成果。这将须要一个索引来辨认每个区域中的随机效应，模型的类型和邻接矩阵。为此，将应用稠密矩阵。

## 
## Call:

## Time used:
##     Pre = 0.298, Running = 0.305, Post = 0.0406, Total = 0.644 
## Fixed effects:
##               mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant   mode kld
## (Intercept) -0.122 0.052     -0.226   -0.122     -0.022 -0.120   0
## AVGIDIST     0.318 0.121      0.075    0.320      0.551  0.324   0
## 
## Random effects:
##   Name     Model
##     ID Besags ICAR model
## 
## Model hyperparameters:
##                  mean   sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode
## Precision for ID 3.20 1.67       1.41     2.79       7.56 2.27
## 
## Expected number of effective parameters(stdev): 46.68(12.67)
## Number of equivalent replicates : 6.02 
## 
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 904.12
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 374.75
## Effective number of parameters .....................: 48.31
## 
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 906.77
## Effective number of parameters .................: 44.27
## 
## Marginal log-Likelihood:  -685.70 
## Posterior marginals for the linear predictor and
##  the fitted values are computed

Besag，York 和 Mollié模型包含两个潜在的随机效应：ICAR 潜在效应和高斯 iid 潜在效应。线性预测变量 \（\ eta_i \）
为：

\ [
\ eta\_i = \ alpha + \ beta AVGIDIST\_i + u\_i + v\_i
\]

\（u_i \）是 iid 高斯随机效应
\（v_i \）是外在的 CAR 随机效应

## 
## Call:

## Time used:
##     Pre = 0.294, Running = 1, Post = 0.0652, Total = 1.36 
## Fixed effects:
##               mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant   mode kld
## (Intercept) -0.123 0.052     -0.227   -0.122     -0.023 -0.121   0
## AVGIDIST     0.318 0.121      0.075    0.320      0.551  0.324   0
## 
## Random effects:
##   Name     Model
##     ID BYM model
## 
## Model hyperparameters:
##                                         mean      sd 0.025quant 0.5quant
## Precision for ID (iid component)     1790.06 1769.02     115.76  1265.24
## Precision for ID (spatial component)    3.12    1.36       1.37     2.82
##                                      0.975quant   mode
## Precision for ID (iid component)        6522.28 310.73
## Precision for ID (spatial component)       6.58   2.33
## 
## Expected number of effective parameters(stdev): 47.66(12.79)
## Number of equivalent replicates : 5.90 
## 
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 903.41
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 374.04
## Effective number of parameters .....................: 48.75
## 
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 906.61
## Effective number of parameters .................: 45.04
## 
## Marginal log-Likelihood:  -425.65 
## Posterior marginals for the linear predictor and
##  the fitted values are computed

该模型是应用矩阵的“混合”（Leroux 等人的模型）
定义的，以定义潜在效应的精度矩阵：

\ [
\ Sigma ^ {-1} = [（1-\ lambda）I_n + \ lambda M]; \ \ lambda \ in（0,1）
\]

为了定义正确的模型，咱们应采纳矩阵 \（C \）如下：

\ [
C = I\_n – M; \ M = diag（n\_i）– W
\]

而后，\（\ lambda_ {max} = 1 \）和

\ [
\ Sigma ^ {-1} =
\ frac {1} {\ tau}（I\_n- \ frac {\ rho} {\ lambda\_ {max}} C）=
\ frac {1} {\ tau}（I\_n- \ rho（I\_n – M））= \ frac {1} {\ tau}（（1- \ rho）I_n + \ rho M）
\]

为了拟合模型，第一步是创立矩阵 \（M \）：

咱们能够查看最大特征值 \（\ lambda_ {max} \）是一个：

max(eigen(Cmatrix)$values)
## \[1\] 1

## \[1\] 1

该模型与平常一样具备性能 inla。留神，\（C \）矩阵应用参数
传递给 f 函数Cmatrix：

## 
## Call:
## Time used:
##     Pre = 0.236, Running = 0.695, Post = 0.0493, Total = 0.98 
## Fixed effects:
##               mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant   mode   kld
## (Intercept) -0.128 0.448      -0.91   -0.128      0.656 -0.126 0.075
## AVGIDIST     0.325 0.122       0.08    0.327      0.561  0.330 0.000
## 
## Random effects:
##   Name     Model
##     ID Generic1 model
## 
## Model hyperparameters:
##                   mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant  mode
## Precision for ID 2.720 1.098       1.27    2.489      5.480 2.106
## Beta for ID      0.865 0.142       0.47    0.915      0.997 0.996
## 
## Expected number of effective parameters(stdev): 52.25(13.87)
## Number of equivalent replicates : 5.38 
## 
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 903.14
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 373.77
## Effective number of parameters .....................: 53.12
## 
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 906.20
## Effective number of parameters .................: 48.19
## 
## Marginal log-Likelihood:  -474.94 
## Posterior marginals for the linear predictor and
##  the fitted values are computed

空间计量经济学是通过对空间建模略有不同的办法开发的。除了应用潜在效应，还能够对空间依赖性进行显式建模。

该模型包含协变量和 误差项 的自回归：

\ [
y = X \ beta + u; u = \ rho Wu + e; e \ sim N（0，\ sigma ^ 2）
\]

\ [
y = X \ beta + \ varepsilon; \ varepsilon \ sim N（0，\ sigma ^ 2（I- \ rho W）^ {-1}（I- \ rho W’）^ {-1}）
\]

该模型包含协变量和响应的自回归：

\ [
y = \ rho W y + X \ beta + e; e \ sim N（0，\ sigma ^ 2）
\]

\ [
y =（I- \ rho W）^ {-1} X \ beta + \ varepsilon; \ \ varepsilon \ sim N（0，\ sigma ^ 2（I- \ rho W）^ {-1}（I- \ rho W’）^ {-1}）
\]

潜在影响`slm`

当初包含一个_试验_所谓的新的潜在影响slm，以合乎以下模型：

\ [
\ mathbf {x} =（I_n- \ rho W）^ {-1}（X \ beta + e）
\]

该模型的元素是：

\（W \）是行标准化的邻接矩阵。
\（\ rho \）是空间自相干参数。
\（X \）是协变量的矩阵，系数为 \（\ beta \）。
\（e \）是具备方差 \（\ sigma ^ 2 \）的高斯 iid 误差。

该 slm 潜成果 的试验，它能够与所述线性预测其余成果组合。

为了定义模型，咱们须要：

X：协变量矩阵
W：行标准化的 邻接矩阵
Q：系数 \（\ beta \）的准确矩阵
范畴 \（\ RHO \），通常由本征值定义

slm潜在作用是通过参数传递 args.sm。在这里，咱们创立了一个具备雷同名称的列表，以将所有必须的值保留在一起：

#Arguments for 'slm'
args.slm = list(
   rho.min = rho.min ,
   rho.max = rho.max,
   W = W,
   X = mmatrix,
   Q.beta = Q.beta
)

此外，还设置了精度参数 \（\ tau \）和空间自相干参数 \（\ rho \）的先验：

#rho 的先验
hyper.slm = list(
   prec = list(prior = "loggamma", param = c(0.01, 0.01)),
      rho = list(initial=0, prior = "logitbeta", param = c(1,1))
)

先前的定义应用具备不同参数的命名列表。参数 prior定义了应用之前 param 及其参数。在此，为精度调配了带有参数 \（0.01 \）和 \（0.01 \）的伽玛先验值，而为空间自相干参数指定了带有参数 \（1 \）和 \（1 \）的 beta 先验值（即 a 区间 \（（（1，1）\））中的平均先验。

## 
## Call:
## Time used:
##     Pre = 0.265, Running = 1.2, Post = 0.058, Total = 1.52 
## Random effects:
##   Name     Model
##     ID SLM model
## 
## Model hyperparameters:
##                   mean    sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant  mode
## Precision for ID 8.989 4.115      3.709    8.085     19.449 6.641
## Rho for ID       0.822 0.073      0.653    0.832      0.936 0.854
## 
## Expected number of effective parameters(stdev): 62.82(15.46)
## Number of equivalent replicates : 4.47 
## 
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 902.32
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 372.95
## Effective number of parameters .....................: 64.13
## 
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 905.19
## Effective number of parameters .................: 56.12
## 
## Marginal log-Likelihood:  -477.30 
## Posterior marginals for the linear predictor and
##  the fitted values are computed

系数的预计显示为随机效应的一部分：

round(m.slm$summary.random$ID\[47:48,\], 4)

##    ID   mean     sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant   mode kld
## 47 47 0.4634 0.3107    -0.1618   0.4671     1.0648 0.4726   0
## 48 48 0.2606 0.3410    -0.4583   0.2764     0.8894 0.3063   0

空间自相干以外部比例报告（即 0 到 1 之间），并且须要从新缩放：

## Mean            0.644436 
## Stdev           0.145461 
## Quantile  0.025 0.309507 
## Quantile  0.25  0.556851 
## Quantile  0.5   0.663068 
## Quantile  0.75  0.752368 
## Quantile  0.975 0.869702
``````
plot(marg.rho, type = "l", main = "Spatial autocorrelation")

NY8$ICAR <- m.icar$summary.fitted.values\[, "mean"\]
NY8$BYM <- m.bym$summary.fitted.values\[, "mean"\]
NY8$LEROUX <- m.ler$summary.fitted.values\[, "mean"\]
NY8$SLM <- m.slm$summary.fitted.values\[, "mean"\]
spplot(NY8\[syracuse, \], 
  c("FIXED.EFF", "IID.EFF", "ICAR", "BYM", "LEROUX", "SLM"),
  col.regions = rev(magma(16))
)

留神空间模型如何产生绝对危险的更平滑的预计。

为了抉择最佳模型，能够应用下面计算的模型抉择规范：

Bivand, R., E. Pebesma and V. Gómez-Rubio (2013). _Applied spatial data
analysis with R_. Springer-Verlag. New York.

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关于算法:R语言使用贝叶斯层次模型进行空间数据分析

原文链接：http://tecdat.cn/?p=10932

原文出处：拓端数据部落公众号

介绍

数据集：纽约州北部的白血病

疾病作图

混合效应模型

泊松回归

具备随机效应的泊松回归

增加点估计以进行映射

晶格数据的空间模型

邻接矩阵

回归模型

线性混合模型

空间随机效应的构造

ICAR 模型

BYM 模型

Leroux 模型

空间计量经济学模型

同步自回归模型（SEM）

空间滞后模型（SLM）

潜在影响`slm`

模型定义

模型拟合

后果汇总

参考文献

原文链接：http://tecdat.cn/?p=10932

原文出处：拓端数据部落公众号

介绍

数据集：纽约州北部的白血病

疾病作图

混合效应模型

泊松回归

具备随机效应的泊松回归

增加点估计以进行映射

晶格数据的空间模型

邻接矩阵

回归模型

线性混合模型

空间随机效应的构造

ICAR 模型

BYM 模型

Leroux 模型

空间计量经济学模型

同步自回归模型（SEM）

空间滞后模型（SLM）

潜在影响slm

模型定义

模型拟合

后果汇总

参考文献

潜在影响`slm`