关于算法:R语言建模收入不平等分布函数拟合及洛伦兹曲线Lorenz-curve

洛伦兹曲线来源于经济学，用于形容社会支出不平衡的景象。将支出降序排列，别离计算支出和人口的累积比例。
本文，咱们钻研支出和不平等。咱们从一些模仿数据开始

 > (income=sort(income))
[1]  19246  23764  53237  61696 218835

为什么说这个样本中存在不平等？如果咱们看一下最贫困者领有的财产，最贫困的人（五分之一）领有 5%的财产；倒数五分之二领有 11%，依此类推

> income[1]/sum(income)
[1] 0.0510
> sum(income[1:2])/sum(income)
[1] 0.1140

如果咱们绘制这些值，就会失去洛伦兹曲线

 > plot(Lorenz(income))
> points(c(0:5)/5,c(0,cumsum(income)/sum(income))

当初，如果咱们失去 500 个观测值。直方图是可视化这些数据分布的办法

> summary(income)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
   2191   23830   42750   77010   87430 2003000 
> hist(log(income),

在这里，咱们应用直方图将样本可视化。但不是支出，而是支出的对数（因为某些离群值，咱们无奈在直方图上可视化）。当初，能够计算基尼系数以取得无关不平等的一些信息

> gini=function(x){+ mu=mean(x)
+ g=2/(n*(n-1)*mu)*sum((1:n)*sort(x))-(n+1)/(n-1)

实际上，没有任何置信区间的系数可能毫无意义。计算置信区间，咱们应用 boot 办法

 > G=boot(income,gini,1000)
> hist(G,col="light blue",border="white"

红色局部是 90%置信区间，

 5%       95% 
0.4954235 0.5743917

还包含了一条具备高斯分布的蓝线，

> segments(quantile(G,.05),1,quantile(G,.95),1,
 
> lines(u,dnorm(u,mean(G),sd(G)),

另一个风行的办法是帕累托图（Pareto plot），咱们在其中绘制了累积生存函数的对数与支出的对数，

 > plot(x,y)

如果点在一条直线上，则意味着能够应用帕累托散布来建模支出。

后面咱们曾经看到了如何取得洛伦兹曲线。实际上，也能够针对某些参数散布（例如，一些对数正态分布）取得 Lorenz 曲线，

 > lines(Lc.lognorm,param=1.5,col="red")
> lines(Lc.lognorm,param=1.2,col="red")
> lines(Lc.lognorm,param=.8,col="red")

在这里，对数正态分布是一个很好的抉择。帕累托散布兴许不是：

 > lines(Lc.pareto,param=1.2,col="red")

实际上，能够拟合一些参数散布。

 shape           rate    
  1.0812757769   0.0140404379 
 (0.0604530180) (0.0009868055)

当初，思考两种散布，伽马散布和对数正态分布（实用于极大似然办法）

 shape           rate    
  1.0812757769   0.0014040438 
 (0.0473722529) (0.0000544185)
     meanlog       sdlog   
  6.11747519   1.01091329 
 (0.04520942) (0.03196789)

咱们能够可视化密度

 > hist(income,breaks=seq(0,2005000,by=5000),
+ col=rgb(0,0,1,.5),border="white",
  + fit_g$estimate[2])/1e2
 + fit_ln$estimate[2])/1e2
> lines(u,v_g,col="red",lwd=2)
> lines(u,v_ln,col=rgb(1,0,0,.4),lwd=2)

在这里，对数正态仿佛是一个不错的抉择。咱们还能够绘制累积散布函数

`> plot(x,y,type="s",col="black",xlim=c(0,250000))

+ fit_g$estimate[2])

+ fit_ln$estimate[2])
> lines(u,v_g,col="red",lwd=2)`

当初，思考一些更事实的状况，在这种状况下，咱们没有来自考察的样本，但对数据进行了合并，

对数据进行建模，

fit(ID=rep("Data",n), 



Time difference of 2.101471 secs
for LNO fit across 1 distributions

咱们能够拟合对数正态分布（无关该办法的更多详细信息，请参见从合并支出估算不平等的办法）

`> y2=N/sum(N)/diff(income_binned$low) 

+ fit_LN$parameters[2])
> plot(u,v,col="blue",type="l",lwd=2)
> for(i in 1:(n-1)) rect(income_binned$low[i],0,
+ income_binned$high[i],y2[i],col=rgb(1,0,0,.2),`

在此，在直方图上（因为已对数据进行分箱，因而很天然地绘制直方图），咱们能够看到拟合的对数正态分布很好。

> v <- plnorm(u,fit_LN$parameters[1],
+ fit_LN$parameters[2])

> for(i in 1:(n-1)) rect(income_binned$low[i],0,


> for(i in 1:(n-1)) rect(income_binned$low[i],
+ y1[i],income_binned$high[i],c(0,y1)[i],

对于累积散布函数，我思考了最坏的状况（每个人都处于较低的支出中）和最好的状况（每个人都具备最高可能的支出）。

也能够拟合狭义 beta 散布

GB_family(ID=rep("Fake Data",n),

为了获得最佳模型，查看

> fits[,c("gini","aic","bic")]

后果很好，接下来看下实在数据：

 fit(ID=rep("US",n), 

+ distribution=LNO, distName="LNO"
Time difference of 0.1855791 secs
for LNO fit across 1 distributions

同样，我尝试拟合对数正态分布

> v=dlnorm(u,fit_LN$parameters[1],

> plot(u,v,col="blue",type="l",lwd=2)
> for(i in 1:(n-1)) rect(data$low[i],

然而在这里，拟合度很差。同样，咱们能够估算狭义 beta 散布

> 
GB_family(ID=rep("US",n), 

+ ID_name="Country")

能够失去基尼指数，AIC 和 BIC

 gini      aic      bic
1  4.413431 825368.5 825407.3
2  4.395080 825598.8 825627.9
3  4.451881 825495.7 825524.8
4  4.480850 825881.7 825910.8
5  4.417276 825323.6 825352.7
6  4.922122 832408.2 832427.6
7  4.341036 827065.2 827084.6
8  4.318667 826112.8 826132.2
9        NA 831054.2 831073.6
10       NA       NA       NA

看到最好的散布仿佛是狭义伽玛散布。

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