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本文是极其值推断的内容。咱们在狭义帕累托散布上应用最大似然办法。

• 极大似然预计

在参数模型的背景下，规范技术是思考似然的最大值（或对数似然）。思考到一些技术性假如，如 ，的某个邻域，那么

其中 示意费雪信息矩阵。在此思考一些样本，来自狭义帕累托散布，参数为，因而 

如果咱们解决极大似然的一阶条件，咱们失去一个满足以下条件的预计

这种渐进正态性的概念如下：如果样本的实在散布是一个具备参数 的 GPD，那么，如果 n 足够大，就会有一个联结正态分布。因而，如果咱们产生大量的样本（足够大，例如 200 个观测值），那么预计的散点图应该与高斯分布的散点图雷同。

> for(s in 1:1000){+ param\[s,\]=gpd(x,0)$par.ests


> image(x,y,z)

失去一个 3D 的示意

> persp(x,y,t(z)
+ xlab="xi",ylab="sigma")

有了 200 个观测值，如果真正的根底散布是 GPD，那么，联结散布 是正态的。

• Delta德尔塔法

另一个重要的属性是德尔塔法。这个想法是，如果是渐进正态，足够平滑，那么也是渐进高斯的。

从这个属性中，咱们能够失去 （这是极值模型中应用的另一个参数化）的正态性，或者在任何四分位数 上。咱们运行一些模仿，再一次查看联结正态性。

> for(s in 1:1000)
+ gpd(x,0)$par.ests
+ q=sha * (.01^(-xih) - 1)/xih
+ tvar=q+(sha + xih * q)/(1 - xih)
dmnorm(cbind(vx,vy),m,S)
> image(x,y,t(z)

正如咱们所看到的，在样本大小为 200 的状况下，咱们不能应用这个渐进式的后果：看起来咱们没有足够的数据。然而，如果咱们在 n =5000 运行同样的代码，

   

``````
> n=5000

咱们失去 和的联结正态性。这就是咱们能够从这个后果中失去的 delta- 办法。

• 轮廓似然(Profile Likelihood)

另一个乏味的办法是 Profile 似然函数的概念。因为尾部指数， 在这里是辅助参数。
这能够用来推导出置信区间。在 GPD 的状况下，对于每个，咱们必须找到一个最优的。咱们计算Profile 似然函数，即。而咱们能够计算出这个轮廓似然的最大值。一般来说，这个两阶段的优化与（全局）最大似然是不等价的，计算结果如下

+  profilelikelihood=function(beta){+  -loglik(XI,beta) }
+  L\[i\]=-optim(par=1,fn=profilelik)$value }

如果咱们想计算轮廓似然的最大值（而不是像以前那样只计算网格上的轮廓似然的值），咱们应用

+  profile=function(beta){+  -loglikelihood(XI,beta) }
(OPT=optimize(f=PL,interval=c(0,3)))

咱们失去后果和最大似然预计的 类似。咱们能够用这种办法来计算置信区间，在图表上将其可视化

> line(h=-up-qchisq(p=.95,df=1)
>  I=which(L>=-up-qchisq(p=.95,df=1))
>  lines(XIV\[I\]

竖线是参数95% 置信区间的上限和下限。

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