执行多项式回归应用 age 预测 wage。应用穿插验证为多项式抉择最佳次数。抉择了什么水平，这与应用ANOVA 进行假设检验的后果相比如何？对所得多项式拟合数据进行绘图。

加载工资数据集。保留所有穿插验证误差的数组。咱们执行 K =10 K 倍穿插验证。



1.  rm(list = ls())
    
2.  set.seed(1)
    

5.  # 测试误差
    
6.  cv.MSE <- NA
    

8.  # 循环遍历年龄
    
9.  for (i in 1:15) {10.    glm.fit <-  glm(wage ~ poly(age, i), data = Wage)
    
11.    # 咱们应用 cv.glm 的穿插验证并保留 cv 误差
    
12.    cv.MSE[i] <-  cv.glm(Wage, glm.fit, K = 10)$delta[1]
    
13.  }
    
14.  # 查看后果对象
    
15.  cv.MSE


1.  ##  [1] 1675.837 1601.012 1598.801 1594.217 1594.625 1594.888 1595.500
    
2.  ##  [8] 1595.436 1596.335 1595.835 1595.970 1597.971 1598.713 1599.253
    
3.  ## [15] 1595.332

咱们通过绘制 type = "b" 点与线之间的关系图来阐明后果。



1.  # 用线图阐明后果
    
2.  plot( x = 1:15, y = cv.MSE, xlab = "power of age", ylab = "CV error", 
    
3.        type = "b", pch = 19, lwd = 2, bty = "n", 
    
4.        ylim = c(min(cv.MSE) - sd(cv.MSE), max(cv.MSE) + sd(cv.MSE) ) )
    

6.  # 水平线
    
7.  abline(h = min(cv.MSE) + sd(cv.MSE) , lty = "dotted")
    

9.  # 最小值
    
10.  points(x = which.min(cv.MSE), y = min(cv.MSE), col = "red", pch = "X", cex = 1.5 )

咱们再次以较高的年龄权重对模型进行拟合以进行方差分析。


1.  ## Analysis of Deviance Table
    
2.  ## 
    
3.  ## Model  1: wage ~ poly(age, a)
    
4.  ## Model  2: wage ~ poly(age, a)
    
5.  ## Model  3: wage ~ poly(age, a)
    
6.  ## Model  4: wage ~ poly(age, a)
    
7.  ## Model  5: wage ~ poly(age, a)
    
8.  ## Model  6: wage ~ poly(age, a)
    
9.  ## Model  7: wage ~ poly(age, a)
    
10.  ## Model  8: wage ~ poly(age, a)
    
11.  ## Model  9: wage ~ poly(age, a)
    
12.  ## Model 10: wage ~ poly(age, a)
    
13.  ## Model 11: wage ~ poly(age, a)
    
14.  ## Model 12: wage ~ poly(age, a)
    
15.  ## Model 13: wage ~ poly(age, a)
    
16.  ## Model 14: wage ~ poly(age, a)
    
17.  ## Model 15: wage ~ poly(age, a)
    
18.  ##    Resid. Df Resid. Dev Df Deviance        F    Pr(>F) 
    
19.  ## 1       2998    5022216 
    
20.  ## 2       2997    4793430  1   228786 143.5637 < 2.2e-16 ***
    
21.  ## 3       2996    4777674  1    15756   9.8867  0.001681 ** 
    
22.  ## 4       2995    4771604  1     6070   3.8090  0.051070 . 
    
23.  ## 5       2994    4770322  1     1283   0.8048  0.369731 
    
24.  ## 6       2993    4766389  1     3932   2.4675  0.116329 
    
25.  ## 7       2992    4763834  1     2555   1.6034  0.205515 
    
26.  ## 8       2991    4763707  1      127   0.0795  0.778016 
    
27.  ## 9       2990    4756703  1     7004   4.3952  0.036124 * 
    
28.  ## 10      2989    4756701  1        3   0.0017  0.967552 
    
29.  ## 11      2988    4756597  1      103   0.0648  0.799144 
    
30.  ## 12      2987    4756591  1        7   0.0043  0.947923 
    
31.  ## 13      2986    4756401  1      190   0.1189  0.730224 
    
32.  ## 14      2985    4756158  1      243   0.1522  0.696488 
    
33.  ## 15      2984    4755364  1      795   0.4986  0.480151 
    
34.  ## ---
    
35.  ## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

依据 F 测验，咱们应该抉择年龄进步到 3 次的模型，通过穿插验证。

当初，咱们绘制多项式拟合的后果。



1.  plot(wage ~ age, data = Wage, col = "darkgrey",  bty = "n")
    
2.  ...

拟合 step 函数以 wage 应用进行预测age。绘制取得的拟合图。



1.  cv.error <-  NA
    
2.  ...
    

4.  # 突出显示最小值
    
5.  points(x = which.min(cv.error), y = min(cv.error, na.rm = TRUE),

穿插验证表明，在 k = 8 的状况下，测试误差最小。最小值的 1sd 之内的最简洁模型具备 k = 4，因而将数据分为 5 个不同的区域。



1.  lm.fit <-  glm(wage ~ cut(age, 4), data = Wage)
    

3.  matlines(age.grid, cbind( lm.pred$fit + 2* lm.pred$se.fit,
    
4.                            lm.pred$fit - 2* lm.pred$se.fit),
    
5.           col = "red", lty ="dashed")

该 Wage 数据集蕴含了一些其余的变量，如婚姻状况（maritl），工作级别（jobclass），等等。摸索其中一些其余预测变量与的关系wage，并应用非线性拟合技术将模型拟合到数据中。



1.  ...
    
2.  summary(Wage[, c("maritl", "jobclass")] )


1.  ##               maritl               jobclass 
    
2.  ##  1. Never Married: 648   1. Industrial :1544 
    
3.  ##  2. Married      :2074   2. Information:1456 
    
4.  ##  3. Widowed      :  19 
    
5.  ##  4. Divorced     : 204 
    
6.  ##  5. Separated    :  55



1.  # 关系箱线图
    
2.  par(mfrow=c(1,2))
    
3.  plot(Wage$maritl, Wage$wage, frame.plot = "FALSE")

看来一对已婚夫妇均匀比其余群体挣更多的钱。信息类工作的工资均匀高于工业类工作。



1.  m1 <-  lm(wage ~ maritl, data = Wage)
    
2.  deviance(m1) # fit (RSS in linear; -2*logLik)

## [1] 4858941



1.  m2 <-  lm(wage ~ jobclass, data = Wage)
    
2.  deviance(m2)

## [1] 4998547



1.  m3 <-  lm(wage ~ maritl + jobclass, data = Wage)
    
2.  deviance(m3)

## [1] 4654752

正如预期的那样，应用最简单的模型能够使样本内数据拟合最小化。

咱们不能使样条曲线拟合分类变量。

咱们不能将样条曲线拟合到因子，但能够应用一个样条曲线拟合一个连续变量并增加其余预测变量的模型。



1.  library(gam)
    
2.  m4 <-  gam(...)
    
3.  deviance(m4)

## [1] 4476501

anova(m1, m2, m3, m4)


1.  ## Analysis of Variance Table
    
2.  ## 
    
3.  ## Model 1: wage ~ maritl
    
4.  ## Model 2: wage ~ jobclass
    
5.  ## Model 3: wage ~ maritl + jobclass
    
6.  ## Model 4: wage ~ maritl + jobclass + s(age, 4)
    
7.  ##   Res.Df     RSS      Df Sum of Sq      F    Pr(>F) 
    
8.  ## 1   2995 4858941 
    
9.  ## 2   2998 4998547 -3.0000   -139606 31.082 < 2.2e-16 ***
    
10.  ## 3   2994 4654752  4.0000    343795 57.408 < 2.2e-16 ***
    
11.  ## 4   2990 4476501  4.0002    178252 29.764 < 2.2e-16 ***
    
12.  ## ---
    
13.  ## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

F 测验表明，咱们从模型四到模型一统计显著改善的变量有年龄，wage，maritl，和jobclass。

`Boston 数据回归`

这个问题应用的变量 dis（到五个波士顿待业核心的间隔的加权平均值）和 nox（每百万人口中一氧化氮的浓度，单位为百万）。咱们将 dis 作为预测变量，将 nox 作为因变量。



1.  rm(list = ls())
    
2.  set.seed(1)
    
3.  library(MASS)
    
4.  attach(Boston)


1.  ## The following objects are masked from Boston (pos = 14):
    
2.  ## 
    
3.  ##     age, black, chas, crim, dis, indus, lstat, medv, nox, ptratio,
    
4.  ##     rad, rm, tax, zn

应用 poly() 函数拟合三次多项式回归来预测 nox 应用dis。报告回归输入，并绘制后果数据和多项式拟合。



1.  m1 <-  lm(nox ~ poly(dis, 3))
    
2.  summary(m1)


1.  ## 
    
2.  ## Call:
    
3.  ## lm(formula = nox ~ poly(dis, 3))
    
4.  ## 
    
5.  ## Residuals:
    
6.  ##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
    
7.  ## -0.121130 -0.040619 -0.009738  0.023385  0.194904 
    
8.  ## 
    
9.  ## Coefficients:
    
10.  ##                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
    
11.  ## (Intercept)    0.554695   0.002759 201.021  < 2e-16 ***
    
12.  ## poly(dis, 3)1 -2.003096   0.062071 -32.271  < 2e-16 ***
    
13.  ## poly(dis, 3)2  0.856330   0.062071  13.796  < 2e-16 ***
    
14.  ## poly(dis, 3)3 -0.318049   0.062071  -5.124 4.27e-07 ***
    
15.  ## ---
    
16.  ## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
    
17.  ## 
    
18.  ## Residual standard error: 0.06207 on 502 degrees of freedom
    
19.  ## Multiple R-squared:  0.7148, Adjusted R-squared:  0.7131 
    
20.  ## F-statistic: 419.3 on 3 and 502 DF,  p-value: < 2.2e-16



1.  dislim <-  range(dis)
    
2.  ...
    
3.  lines(x = dis.grid, y = lm.pred$fit, col = "red", lwd = 2)
    
4.  matlines(x = dis.grid, y = cbind(lm.pred$fit + 2* lm.pred$se.fit,
    
5.                                   lm.pred$fit - 2* lm.pred$se.fit) 
    
6.           , col = "red", lwd = 1.5, lty = "dashed")

摘要显示，在 nox 应用进行预测时，所有多项式项都是无效的dis。该图显示了一条平滑的曲线，很好地拟合了数据。

绘制多项式适宜不同多项式次数的范畴（例如，从 1 到 10），并报告相干的残差平方和。

咱们绘制 1 到 10 度的多项式并保留 RSS。



1.  # 
    
2.  train.rss <-  NA
    
3.  ...
    
4.  # 在训练集中显示模型拟合
    
5.  train.rss


1.  ##  [1] 2.768563 2.035262 1.934107 1.932981 1.915290 1.878257 1.849484
    
2.  ##  [8] 1.835630 1.833331 1.832171

正如预期的那样，RSS 随多项式次数枯燥递加。

执行穿插验证或其余办法来抉择多项式的最佳次数，并解释您的后果。

咱们执行 LLOCV 并手工编码：



1.  cv.error <- matrix(NA, nrow = nrow(Boston), ncol = 10)
    

3.  ...
    
4.  names(result) <- paste("^", 1:10, sep= "")
    
5.  result


1.  ##          ^1          ^2          ^3          ^4          ^5          ^6 
    
2.  ## 0.005471468 0.004022257 0.003822345 0.003820121 0.003785158 0.003711971 
    
3.  ##          ^7          ^8          ^9         ^10 
    
4.  ## 0.003655106 0.003627727 0.003623183 0.003620892



1.  plot(result ~ seq(1,10), type = "b", pch = 19, bty = "n", xlab = "powers of dist to empl. center",
    
2.       ylab = "cv error")
    
3.  abline(h = min(cv.error) + sd(cv.error), col = "red", lty = "dashed")

基于穿插验证，咱们将抉择 dis 平方。

应用 bs() 函数拟合回归样条曲线应用 nox 进行预测dis。

咱们以 [3,6,9] 大抵相等的 4 个区间划分此范畴



1.  library(splines)
    
2.  m4 <-  lm(nox ~ bs(dis, knots = c(3, 6, 9)))
    
3.  summary(m4)


1.  ## 
    
2.  ## Call:
    
3.  ## lm(formula = nox ~ bs(dis, knots = c(3, 6, 9)))
    
4.  ## 
    
5.  ## Residuals:
    
6.  ##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
    
7.  ## -0.132134 -0.039466 -0.009042  0.025344  0.187258 
    
8.  ## 
    
9.  ## Coefficients:
    
10.  ##                               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
    
11.  ## (Intercept)                   0.709144   0.016099  44.049  < 2e-16 ***
    
12.  ## bs(dis, knots = c(3, 6, 9))1  0.006631   0.025467   0.260    0.795 
    
13.  ## bs(dis, knots = c(3, 6, 9))2 -0.258296   0.017759 -14.544  < 2e-16 ***
    
14.  ## bs(dis, knots = c(3, 6, 9))3 -0.233326   0.027248  -8.563  < 2e-16 ***
    
15.  ## bs(dis, knots = c(3, 6, 9))4 -0.336530   0.032140 -10.471  < 2e-16 ***
    
16.  ## bs(dis, knots = c(3, 6, 9))5 -0.269575   0.058799  -4.585 5.75e-06 ***
    
17.  ## bs(dis, knots = c(3, 6, 9))6 -0.303386   0.062631  -4.844 1.70e-06 ***
    
18.  ## ---
    
19.  ## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
    
20.  ## 
    
21.  ## Residual standard error: 0.0612 on 499 degrees of freedom
    
22.  ## Multiple R-squared:  0.7244, Adjusted R-squared:  0.7211 
    
23.  ## F-statistic: 218.6 on 6 and 499 DF,  p-value: < 2.2e-16



1.  # 绘图后果
    
2.  ...
    
3.  # 
    
4.  matlines( dis.grid,
    
5.  ...
    
6.            col = "black", lwd = 2, lty = c("solid", "dashed", "dashed"))

当初针对肯定范畴的自由度拟合样条回归，并绘制后果拟合并报告后果 RSS。形容取得的后果。

咱们应用 3 到 16 之间的 dfs 拟合回归样条曲线。



1.  box <-  NA
    

3.  for (i in 3:16) {
    
4.  ...
    
5.  }
    

7.  box[-c(1, 2)]


1.  ##  [1] 1.934107 1.922775 1.840173 1.833966 1.829884 1.816995 1.825653
    
2.  ##  [8] 1.792535 1.796992 1.788999 1.782350 1.781838 1.782798 1.783546

ISLR包中的 College 数据集。

将数据分为训练集和测试集。应用学费作为因变量，应用其余变量作为预测变量，对训练集执行前向逐渐抉择，确定仅应用预测变量子集的令人满意的模型。



1.  rm(list = ls())
    
2.  set.seed(1)
    
3.  library(leaps)
    
4.  attach(College)


1.  ## The following objects are masked from College (pos = 14):
    
2.  ## 
    
3.  ##     Accept, Apps, Books, Enroll, Expend, F.Undergrad, Grad.Rate,
    
4.  ##     Outstate, P.Undergrad, perc.alumni, Personal, PhD, Private,
    
5.  ##     Room.Board, S.F.Ratio, Terminal, Top10perc, Top25perc



1.  # 训练 / 测试拆分行的索引号
    
2.  train <-  sample(length(Outstate), length(Outstate)/2)
    
3.  test <-  -train
    
4.  ...
    
5.  abline(h=max.adjr2 - std.adjr2, col="red", lty=2)

所有 cp，BIC 和 adjr2 得分均显示 6 是该子集的最小大小。然而，依据 1 个标准误差规定，咱们将抉择具备 4 个预测变量的模型。



1.  ...
    
2.  coefi <-  coef(m5, id = 4)
    
3.  names(coefi)

## [1] "(Intercept)" "PrivateYes" "Room.Board" "perc.alumni" "Expend"

将 GAM 拟合到训练数据上，应用学费作为响应，并应用在上一步中抉择的函数作为预测变量。绘制后果，并解释您的发现。



1.  library(gam)
    
2.  ...
    
3.  plot(gam.fit, se=TRUE, col="blue")

评估在测试集上取得的模型，并解释取得的后果。



1.  gam.pred <-  predict(gam.fit, College.test)
    
2.  gam.err <-  mean((College.test$Outstate - gam.pred)^2)
    
3.  gam.err

## [1] 3745460



1.  gam.tss <-  mean((College.test$Outstate - mean(College.test$Outstate))^2)
    
2.  test.rss <-  1 - gam.err / gam.tss
    
3.  test.rss

## [1] 0.7696916

对于哪些变量（如果有），是否存在与因变量呈非线性关系的证据？

summary(gam.fit)


1.  ## 
    
2.  ## Call: gam(formula = Outstate ~ Private + s(Room.Board, df = 2) + s(PhD, 
    
3.  ##     df = 2) + s(perc.alumni, df = 2) + s(Expend, df = 5) + s(Grad.Rate, 
    
4.  ##     df = 2), data = College.train)
    
5.  ## Deviance Residuals:
    
6.  ##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
    
7.  ## -4977.74 -1184.52    58.33  1220.04  7688.30 
    
8.  ## 
    
9.  ## (Dispersion Parameter for gaussian family taken to be 3300711)
    
10.  ## 
    
11.  ##     Null Deviance: 6221998532 on 387 degrees of freedom
    
12.  ## Residual Deviance: 1231165118 on 373 degrees of freedom
    
13.  ## AIC: 6941.542 
    
14.  ## 
    
15.  ## Number of Local Scoring Iterations: 2 
    
16.  ## 
    
17.  ## Anova for Parametric Effects
    
18.  ##                         Df     Sum Sq    Mean Sq F value    Pr(>F) 
    
19.  ## Private                  1 1779433688 1779433688 539.106 < 2.2e-16 ***
    
20.  ## s(Room.Board, df = 2)    1 1221825562 1221825562 370.171 < 2.2e-16 ***
    
21.  ## s(PhD, df = 2)           1  382472137  382472137 115.876 < 2.2e-16 ***
    
22.  ## s(perc.alumni, df = 2)   1  328493313  328493313  99.522 < 2.2e-16 ***
    
23.  ## s(Expend, df = 5)        1  416585875  416585875 126.211 < 2.2e-16 ***
    
24.  ## s(Grad.Rate, df = 2)     1   55284580   55284580  16.749 5.232e-05 ***
    
25.  ## Residuals              373 1231165118    3300711 
    
26.  ## ---
    
27.  ## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
    
28.  ## 
    
29.  ## Anova for Nonparametric Effects
    
30.  ##                        Npar Df  Npar F     Pr(F) 
    
31.  ## (Intercept) 
    
32.  ## Private 
    
33.  ## s(Room.Board, df = 2)        1  3.5562   0.06010 . 
    
34.  ## s(PhD, df = 2)               1  4.3421   0.03786 * 
    
35.  ## s(perc.alumni, df = 2)       1  1.9158   0.16715 
    
36.  ## s(Expend, df = 5)            4 16.8636 1.016e-12 ***
    
37.  ## s(Grad.Rate, df = 2)         1  3.7208   0.05450 . 
    
38.  ## ---
    
39.  ## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

非参数 Anova 测验显示了因变量与收入之间存在非线性关系的无力证据，以及因变量与 Grad.Rate 或 PhD 之间具备中等强度的非线性关系（应用 p 值为 0.05）。

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