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本文将剖析了几种用于制订保险费率的平滑技术。
-
保费没有细分
该价格应与纯溢价相干，而纯溢价与频率成正比，因为
没有协变量，预期频率应为
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.5033 -0.3719 -0.2588 -0.1376 13.2700
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -2.6201 0.0228 -114.9 <2e-16 ***
\-\-\-
Signif. codes: 0‘***’0.001‘**’0.01‘*’0.05‘.’0.1‘’1
(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
Null deviance: 12680 on 49999 degrees of freedom
Residual deviance: 12680 on 49999 degrees of freedom
AIC: 16353
Number of Fisher Scoring iterations: 6
> exp(coefficients(regglm0))
(Intercept)
0.07279295因而，如果咱们不想思考到潜在的异质性，通常将其 视为百分比，即概率，因为
即 能够解释为没有索赔的可能性。让咱们将其可视化为驾驶员年龄的函数，
> plot(a,yp0,type="l",ylim=c(.03,.12))
> segments(a\[k\],yp1\[k\],a\[k\],yp2\[k\],col="red",lwd=3)
咱们的确会为所有驾驶员预测雷同的频率，例如对于 40 岁的驾驶员，
> cat("Frequency =",yp0\[k\],"confidence interval",yp1\[k\],yp2\[k\])
Frequency = 0.07279295 confidence interval 0.07611196 0.06947393当初咱们思考一种状况，其中咱们尝试思考异质性，例如按年龄，
- （规范）泊松回归
在（对数）泊松回归的想法是假如而不是的，咱们应该有，其中
在这里，让咱们只思考一个解释变量，即
咱们有
> plot(a,yp0,type="l",ylim=c(.03,.12))
> abline(v=40,col="grey")
> lines(a,yp1,lty=2)
> lines(a,yp2,lty=2)
> points(a\[k\],yp0\[k\],pch=3,lwd=3,col="red")
> segments(a\[k\],yp1\[k\],a\[k\],yp2\[k\],col="red",lwd=3)
对于咱们 40 岁的驾驶员的年化索赔频率的预测当初为 7.74%（比咱们之前的 7.28%略高）
> cat("Frequency =",yp0\[k\],"confidence interval",yp1\[k\],yp2\[k\])
Frequency = 0.07740574 confidence interval 0.08117512 0.07363636不计算预期频率，而是计算比率。
在程度蓝线上方，溢价将高于未分段的溢价，而低于此程度。在这里，年龄小于 44 岁的驾驶员将领取更多的费用，而年龄大于 44 岁的驾驶员将领取较少的费用。在引言中，咱们探讨了分段的必要性。如果咱们思考两家公司，一个细分市场，而另一个细分市场持平，那么年长的司机将去第一家公司（因为保险更便宜），而年老的司机将去第二家公司（同样，它更便宜）。问题在于，第二家公司暗中心愿老司机能补救这一危险。然而因为它们曾经不存在了，所以保险价格会太便宜了，公司也会放宽资金（如果没有破产的话）。因而，公司必须应用细分技术能力生存。当初，问题在于，咱们不能确定溢价的这种指数衰减是溢价随年龄变动的正确办法。一种代替办法是应用非参数技术来可视化年龄对索赔频率的_实在_影响。
- 纯非参数模型
第一个模型能够是思考每个年龄的保费。能够思考将驾驶员的年龄作为回归_因素_，
> plot(a0,yp0,type="l",ylim=c(.03,.12))
> abline(v=40,col="grey")
在这里，咱们 40 岁司机的预测略低于前一个，但置信区间要大得多（因为咱们关注的是投资组合中很小的一类：年龄_恰好在_ 40 岁的司机）
Frequency = 0.06686658 confidence interval 0.08750205 0.0462311在这里，咱们认为类别太小，溢价也太不稳固了：溢价将从 40 岁到 41 岁降落 20%，而后从 41 岁到 42 岁回升 50%。
> diff(log(yp0\[23:25\]))
24 25
-0.2330241 0.5223478公司没有机会采纳这种策略来确保被保险人。保费的这种_不连续性_是这里的重要问题。
- 应用年龄段
另一种抉择是思考年龄段，从十分年老的驾驶员到高级驾驶员。
> summary(regglmc1)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -1.6036 0.1741 -9.212 < 2e-16 ***
cut(ageconducteur, level1)(20,25\] -0.4200 0.1948 -2.157 0.0310 *
cut(ageconducteur, level1)(25,30\] -0.9378 0.1903 -4.927 8.33e-07 ***
cut(ageconducteur, level1)(30,35\] -1.0030 0.1869 -5.367 8.02e-08 ***
cut(ageconducteur, level1)(35,40\] -1.0779 0.1866 -5.776 7.65e-09 ***
cut(ageconducteur, level1)(40,45\] -1.0264 0.1858 -5.526 3.28e-08 ***
cut(ageconducteur, level1)(45,50\] -0.9978 0.1856 -5.377 7.58e-08 ***
cut(ageconducteur, level1)(50,55\] -1.0137 0.1855 -5.464 4.65e-08 ***
cut(ageconducteur, level1)(55,60\] -1.2036 0.1939 -6.207 5.40e-10 ***
cut(ageconducteur, level1)(60,65\] -1.1411 0.2008 -5.684 1.31e-08 ***
cut(ageconducteur, level1)(65,70\] -1.2114 0.2085 -5.811 6.22e-09 ***
cut(ageconducteur, level1)(70,75\] -1.3285 0.2210 -6.012 1.83e-09 ***
cut(ageconducteur, level1)(75,80\] -0.9814 0.2271 -4.321 1.55e-05 ***
cut(ageconducteur, level1)(80,85\] -1.4782 0.3371 -4.385 1.16e-05 ***
cut(ageconducteur, level1)(85,90\] -1.2120 0.5294 -2.289 0.0221 *
cut(ageconducteur, level1)(90,95\] -0.9728 1.0150 -0.958 0.3379
cut(ageconducteur, level1)(95,100\] -11.4694 144.2817 -0.079 0.9366
\-\-\-
Signif. codes: 0‘***’0.001‘**’0.01‘*’0.05‘.’0.1‘’1
> lines(a,yp1,lty=2,type="s")
> lines(a,yp2,lty=2,type="s")在这里，咱们取得以下预测，
对于咱们 40 岁的驾驶员来说，当初的频率为 6.84%。
Frequency = 0.0684573 confidence interval 0.07766717 0.05924742咱们应该思考其余类别，以查看预测是否对值敏感，
对于咱们 40 岁的司机来说，得出以下值：
Frequency = 0.07050614 confidence interval 0.07980422 0.06120807所以在这里，咱们没有打消_不连续性_问题。这里的一个想法是思考_挪动区域_：如果指标是预测 40 岁驾驶员的频率，则应该以 40 为核心。而对于 35 岁的驾驶员，距离应该以 35 为核心。
- 挪动均匀
因而，思考一些_部分_回归是很天然的，只应思考年龄_靠近_ 40 岁的驾驶员。这_简直_与_带宽无关_。例如，介于 35 和 45 之间的驱动程序能够被认为靠近 40。在实践中，咱们能够思考子集函数，也能够在回归中使用权重
> value=40
> h=5要查看产生了什么，让咱们思考一个动画，感兴趣的年龄在一直变动，
在这里，对于咱们 40 岁的人来说，
Frequency = 0.06913391 confidence interval 0.07535564 0.06291218咱们取得了能够解释为_部分_回归的曲线。然而在这里，咱们没有思考到 35 没有像 39 那样靠近 40。这里的 34 假如与 40 间隔很远。显然，咱们能够改良该技术：能够思考内核函数，即，越靠近 40，权重就越大。
> value=40
> h=5在上面绘制
在这里，咱们对 40 的预测是
Frequency = 0.07040464 confidence interval 0.07981521 0.06099408这就是_核回归技术_的思维。然而，如幻灯片中所述，能够思考其余非参数技术，例如样条函数。
- 用样条平滑
在 R 中，应用样条函数很简略（某种程度上比内核平滑器简略得多）
> library(splines)
当初对咱们 40 岁司机的预测是
Frequency = 0.06928169 confidence interval 0.07397124 0.06459215请留神，此技术与另一类_模型无关_，即所谓的狭义相加模型，即 GAM。
该预测与咱们下面取得的预测十分靠近（次要区别在于十分老的驾驶员）
Frequency = 0.06912683 confidence interval 0.07501663 0.06323702- 不同模型的比拟
无论哪种形式，所有这些模型都是无效的。所以兴许咱们应该比拟它们，
在上图中，咱们能够可视化这 9 个模型的预测下限和上限。水平线是不思考异质性的预测值。
参考文献
1. 用 SPSS 预计 HLM 档次线性模型模型
2.R 语言线性判别分析（LDA），二次判别分析（QDA）和正则判别分析（RDA）
3. 基于 R 语言的 lmer 混合线性回归模型
4.R 语言 Gibbs 抽样的贝叶斯简略线性回归仿真剖析
5. 在 r 语言中应用 GAM（狭义相加模型）进行电力负荷工夫序列剖析
6. 应用 SAS，Stata，HLM，R，SPSS 和 Mplus 的分层线性模型 HLM
7.R 语言中的岭回归、套索回归、主成分回归：线性模型抉择和正则化
8.R 语言用线性回归模型预测空气质量臭氧数据
9.R 语言分层线性模型案例