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引言
当从单变量稳定率预测跳到多变量稳定率预测时，咱们须要明确，当初咱们不仅要预测单变量稳定率元素，还要预测协方差元素。假如你有两个序列，那么这个协方差元素就是 2 乘 2 方差 - 协方差矩阵的对角线。咱们应该应用的精确术语是 “ 方差 - 协方差矩阵 ”，因为该矩阵由对角线上的方差元素和非对角线上的协方差元素组成。然而因为读 “ 方差 - 协方差矩阵 “ 十分累人，所以通常被称为协方差矩阵，或者有时不太正式地称为 var-covar 矩阵。
如果你还在读这篇文章，阐明你在建设相干关系模型方面有一些教训。鉴于你晓得各个序列的方差，相干和协方差之间的分割是间接的。
所以当我第一次钻研这个问题时，我不明确为什么咱们不独自建设所有非对角线的模型，例如应用样本成对相干的滚动窗口呢？你想有一个无效的相关矩阵，这意味着对称（很容易施加）和正负有限。
首先，为什么非负定属性很重要，其次，为什么它不容易施加。把非负定属性看作是多变量的，相当于单变量状况下对稳定率的正向施加。你不会想让你的模型生成负的稳定率吧？在单变量的状况下，乘以任何平方数，咱们都能够放弃在负数的范畴内。在更高的维度上，确保协方差的 “ 正性 “ 波及到乘法，不是乘以一个平方的标量，而是乘以一个 “ 平方 “ 的矢量。
将 XC 示意为居中的随机变量 X，所以 。当初依据定义 是一个协方差矩阵，显然是非负定的。当初，如果咱们用矩阵乘以一个 “ 平方 “ 向量，咱们能够将向量 “ 插入 “ 期望值中（因为（1）向量不是随机变量，以及（2）冀望算子的线性）。咱们（应该）依然失去非负定矩阵 。你用哪个向量 并不重要，因为它是 “ 平方 “ 的。
如果咱们对协方差条目进行独自建模，并将它们 “ 修补 “ 成一个矩阵，将每个成对的协方差放在正确的地位（例如，变量 1 和变量 3 之间的协方差在条目 和 ，不能保障咱们最终失去一个非负定的矩阵。因为不存在非负定的协方差矩阵，那么咱们就有可能失去一个有效的协方差矩阵。
从业人员因为解脱了繁琐的学术判断过程，可能会解脱这个实践上的失误。然而，还有其余问题，在实质上是计算上的问题。一个非负的有限矩阵能够有零或负的行列式。在许多贝叶斯的利用中，咱们心愿应用准确矩阵而不是协方差矩阵。为了计算准确矩阵，咱们简略地反转协方差矩阵，但这意味着咱们要除以行列式，因而，行列式为零就会产生问题。
文献中的次要构建模块是 GARCH 过程。假如咱们有一个随机变量，咱们能够用它的稳定率来建模。
(1)
很容易了解。对于明天的稳定率来说，重要的是昨天的稳定率 ，特别强调的是昨天的冲击，。请记住，如果，那么 仅仅是对方差 的预计，而没有思考到 t - 1 以前的任何状况。
进步维度
当初，增加另一个随机变量。你当初有两个稳定率和一个协方差项。然而，为什么不以向量主动回归（VAR）扩大主动回归的同样形式来扩大这个过程？进入 VEC 模型。
(2)
这里 是一个矢量化运算符，将一个矩阵作为一个矢量进行重叠。因为矩阵的对称性，咱们不须要所有的系数，所以更好的表述：
(3)
这个模型背地的直觉与 VAR 的根底是一样的。兴许当股票的稳定率高时，债券的稳定率就低，兴许当债券的稳定率高时，与股票的协方差就高，等等。
这个模型的一个潜在问题，也是与 VAR 类似的，就是稳定率是独立的过程，这意味着只有 A 和 B 的对角线是重要的，在这种状况下，咱们只是用不必要的预计乐音来烦扰这个模型。之前提到的另一个计算问题是，因为咱们没有对矩阵过程自身进行建模，而是对三个项逐个进行建模，所以咱们不能确保后果是一个无效的协方差矩阵，特地是没有施加非负 - 有限束缚。BEKK 模型（Baba, Engle, Kraft and Kroner, 1990）获得了这一停顿。有一个很好的理由不具体探讨这些 “ 第一代 “ 模型。它们对于少数几个变量来说是十分难以估计的。我没有亲自尝试过那些模型。对于这些模型，即便人们胜利地进行了预计，就实践者而言，预计的复杂性给后果带来了很大问题。
CCC 和 DCC
恩格尔（2002）在其开创性的论文中提出了下一个重要的步骤，随后文献中呈现了一个低潮。”Dynamic Conditional Correlation: 一类简略的多变量狭义自回归条件异方差模型 ”。从摘要中能够看出：” 这些（模型）具备单变量 GARCH 模型的灵活性，加上参数化的相干模型 ”。这类条件相干模型的要害切入点是要意识到
(4)
是一个矩阵，对角线上是各个序列的稳定率（当初独自预计），对角线外是零。这只是以矩阵模式对咱们开始时的惯例方程进行了解决。，因为。当初具备几个条件：
- 把 对角线和非对角线离开，你能够用通常的单变量 GARCH 估计值来 “ 填补 “ 这个对角线。非对角线是由相关矩阵给出的，咱们当初能够对其进行决定。当咱们假如一个恒定的相关矩阵（CCC），也就是说 ，咱们能够天然地应用样本相关矩阵。咱们能够假如该矩阵 是时变的，并应用滚动窗口或指数衰减权重或其余形式来预计它。
- 因为二次模式 ，并且因为 是相关矩阵，咱们必定会失去一个无效的协方差矩阵，即便咱们应用恒定的相关矩阵，它也是工夫变动的。
- 因为这种对角线与非对角线的拆散，咱们实际上能够解决许多变量，与 “ 第一代 “ 类模型十分不同。我认为，这是该模型被承受和风行的次要起因。
当初咱们进行预计。
应用 R 进行估算
让咱们失去一些数据。咱们提取三个 ETF 的过来几年的数据。SPY（追踪规范普尔 500 指数），TLT 和 IEF（别离追踪长期和中期债券）。
k <- 3 # 多少年数据
sym = c('SPY', 'TLT', "IEF") # 规范普尔 500 指数，长期和中期债券，所有 ETFs
for (i in 1:l)getSymbols(sym\[i\], src="yahoo", from=start, to=end)
ret <- na.omit(ret)# 删除第一个察看值当初来演示如何应用 CCC 和 DCC 模型构建协方差矩阵。咱们首先失去单变量稳定率。咱们须要它们，它们位于对角线矩阵 的对角线上。咱们用重尾的不对称 GARCH 来预计它们。
garch(distribution="std") #std 是学生 t 散布
volatilityfit # 用一个矩阵来保留三种资产的稳定率
for (i in 1:l) model = ugarchfit(spec,ret\[,i\])当初，一旦咱们有了，咱们就可能创立基于 CCC 和 DCC 的协方差矩阵。对于 CCC（恒定条件相干），咱们应用样本相关矩阵，而对于 DCC（动静），咱们应用基于例如 3 个月的挪动窗口预计的相关矩阵。
# 创立一个 CCC 模型的协方差
nassets <- l # 为了进步可读性，l 看起来太像 1 了。# 为不同期间的矩阵制作容器。array(dim=c(n, nassets, TT))
# 计算样本无条件的相关矩阵。samp_cor <- cor(ret) # 在整个循环过程中会放弃不变
wind <- 60 # 大略三个月的工夫
for (i in (w+1):TT)
(volatilitfit\[i,\])*diag(assets)
cov_ccc
cor_tv
cov\_dcc<- dt %*% cor\_tv\[,,i\] %*% dt后果
后果按年计算，并乘以 100，转为百分比，以进步可读性。绘制它。
par()$mar # 边距
plot(ann*cov_ccc\[1,1,\]~time
plot(ann*cov_ccc\[1,2,\]~time)
在上图中，咱们有协方差矩阵的对角线。咱们看到（1）中期债券的波动性最低，正如预期的那样，（2）SPY 的波动性很大，方差也很高。(3) 曲线长端的方差高于中期的方差，这是收益率曲线文献中一个典型的事实。(4) 乏味的是，长期债券的波动性始终在回升，这可能是对行将进步政策利率的高度警惕。
在下图中，咱们有三个协方差项，一次是假如 CCC 的预计（实线），一次是假如 DCC 的预计（虚线）。对于中期和长期债券之间的协方差，如果你假如恒定或动静相关矩阵，并不重要。然而，这对 SPY 与债券的协方差项的确很重要。例如，基于 DCC 的协方差矩阵认为在 2013 年中期股票和债券之间的协方差简直为零，而基于 CCC 的协方差则表明在此期间的协方差为负。到底是恒定的还是动静的，对跨资产投资组合的构建可能有很大的影响。
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