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本文提供了一个在统计模型中应用马可夫转换模型模型的例子，来复现 Kim 和 Nelson（1999）中提出的一些后果。它利用了 Hamilton（1989）的滤波器和 Kim（1994）的平滑器。
%matplotlib inline
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from pandas_datareader.data import DataReader
from datetime import datetime
DataReader(start=datetime(1947, 1, 1), end=datetime(2013, 4, 1))
Hamilton (1989) 马尔可夫转换模型（_Markov -switching_ _model_）
这是对 Hamilton(1989)介绍马可夫转换模型（_Markov -switching_ _model_）的开创性论文的复现。该模型是一个 4 阶的自回归模型，其中过程的平均值在两个区制之间切换。能够这样写。
每个期间，区制都依据以下的转移概率矩阵进行转换。
其中 pij 是从区制 i 转移到区制 j 的概率。
该模型类别是工夫序列局部中的 MarkovAutoregression。为了创立这个模型，咱们必须指定 k\_regimes= 2 的区制数量，以及 order= 4 的自回归阶数。默认模型还包含转换自回归系数，所以在这里咱们还须要指定 switch\_ar=False。
创立后，模型通过极大似然预计进行拟合。应用冀望最大化（EM）算法的若干步骤找到好的起始参数，并利用准牛顿（BFGS）算法来疾速找到最大值。
\[2\]:
#获取数据
hamilton= pd.read('gndata').iloc\[1:\]
# 绘制数据
hamilton.plot()
# 拟合模型
Markovreg(hamilton)
summary()
咱们绘制了通过过滤和平滑解决的消退概率。滤波指的是基于截至并包含工夫 tt（但不包含工夫 t +1,…,Tt+1,…,T）的数据对工夫 t 的概率预计。平滑化是指应用样本中的所有数据对工夫 t 的概率进行预计。
fig, axes = plt.subplots(2, figsize=(7,7))
ax = axes\[0\]
ax.plot(margl_prob\[0\])
ax = axes\[1\]
ax.plot(smoomarginal_pro\[0\])
依据预计的转移矩阵，咱们能够计算出消退与扩张的预期持续时间。
print(expected_du)
在这种状况下，预计经济衰退将继续约一年（4 个季度），扩张约两年半。
Kim, Nelson, and Startz (1998) 三状态方差转换模型。
这个模型展现了带有区制异方差（方差转换）和无均匀效应的预计。
模型是:
因为没有自回归成分，这个模型能够用 MarkovRegression 类来拟合。因为没有均匀效应，咱们指定趋势 =’nc’。假如转换方差有三个区制，所以咱们指定 k\_regimes= 3 和 switching\_variance=True（默认状况下，方差被假设为在不同区制下是雷同的）。
raw = pd.read_table(ew ,engine='python')
# 绘制数据集
plot(figsize=(12, 3))
res_kns.summary()
上面咱们绘制了处于每个区制中的概率；只有在多数期间，才有可能呈现高_方差_区制。
fig, axes = plt.subplots(3, figsize=(10,7))
ax.plot(smoothed_proba\[0\])
ax.plot(smoothed_proba\[2\])
ax.plot(smoothed_proba\[3\])
Filardo (1994) 时变的转移概率
这个模型展现了用时变的转移概率进行预计。
在上述模型中，咱们假如转移概率在不同期间是不变的。在这里，咱们容许概率随着经济情况的变动而变动。否则，该模型就是 Hamilton（1989）的马尔可夫自回归。
每个期间，区制当初都依据以下的时变转移概率矩阵进行转移。
其中 pij,tipij,t 是在 t 期间从区制 i 转移到区制 j 的概率，并定义为。
与其将转移概率作为最大似然法的一部分进行预计，不如预计回归系数 βij。这些系数将转移概率与预先确定的或外生的变量 xt- 1 向量分割起来。
\[9\]:# 用标准差进行标准化
data\['p'\]\['1960-01-01':\].std() / data\['dlip'\]\[:'1959-12-01'\].std()
# 绘制数据
data\['dlip'\].plot( )
data\['dmdlleading'\].plot(figsize=(13,3));
时变的转移概率是由 exog_tvtp 参数指定的。
这里咱们展现了模型拟合的另一个特点 – 应用随机搜寻的 MLE 起始参数。因为马尔科夫转换模型的特色往往是似然函数的许多部分最大值，执行初始优化步骤有助于找到最佳参数。
上面，咱们规定对起始参数向量的 20 个随机扰动进行查看，并将最好的一个作为理论的起始参数。因为搜寻的随机性，咱们当时设置了随机数种子，以便后果复制。
markovreg(data, k=2, order=4)
fit(search=20)
summary()
上面咱们绘制了经济运行在低生产状态下的平滑概率，并再次将 NBER 的消退状况纳入其中进行比拟。
ax.plot(smoo\_marg\_prob\[0\])
利用工夫变动的转移概率，咱们能够看到低生产状态的预期持续时间如何随工夫变动。
exp_dura\[0\].plot(figsize=(12,3));
在经济衰退期间，低生产状态的预期持续时间要比经济扩张时高得多。
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