关于算法:二叉搜索树操作集锦

读完本文，你能够去力扣拿下如下题目：

100. 雷同的树

450. 删除二叉搜寻树中的节点

701. 二叉搜寻树中的插入操作

700. 二叉搜寻树中的搜寻

98. 验证二叉搜寻树

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通过之前的文章框架思维，二叉树的遍历框架应该曾经印到你的脑子里了，这篇文章就来实操一下，看看框架思维是怎么灵活运用，秒杀所有二叉树问题的。

二叉树算法的设计的总路线：明确一个节点要做的事件，而后剩下的事抛给框架。

void traverse(TreeNode root) {
    // root 须要做什么？在这做。// 其余的不必 root 操心，抛给框架
    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

举两个简略的例子领会一下这个思路，热热身。

1. 如何把二叉树所有的节点中的值加一？

void plusOne(TreeNode root) {if (root == null) return;
    root.val += 1;

    plusOne(root.left);
    plusOne(root.right);
}

2. 如何判断两棵二叉树是否完全相同？

boolean isSameTree(TreeNode root1, TreeNode root2) {
    // 都为空的话，显然雷同
    if (root1 == null && root2 == null) return true;
    // 一个为空，一个非空，显然不同
    if (root1 == null || root2 == null) return false;
    // 两个都非空，但 val 不一样也不行
    if (root1.val != root2.val) return false;

    // root1 和 root2 该比的都比完了
    return isSameTree(root1.left, root2.left)
        && isSameTree(root1.right, root2.right);
}

借助框架，下面这两个例子不难理解吧？如果能够了解，那么所有二叉树算法你都能解决。

二叉搜寻树（Binary Search Tree，简称 BST）是一种很罕用的的二叉树。它的定义是：一个二叉树中，任意节点的值要大于等于左子树所有节点的值，且要小于等于左边子树的所有节点的值。

如下就是一个合乎定义的 BST：

上面实现 BST 的根底操作：判断 BST 的合法性、增、删、查。其中“删”和“判断合法性”稍微简单。

零、判断 BST 的合法性

这里是有坑的哦，咱们依照方才的思路，每个节点本人要做的事不就是比拟本人和左右孩子吗？看起来应该这样写代码：

boolean isValidBST(TreeNode root) {if (root == null) return true;
    if (root.left != null && root.val <= root.left.val) return false;
    if (root.right != null && root.val >= root.right.val) return false;

    return isValidBST(root.left)
        && isValidBST(root.right);
}

然而这个算法呈现了谬误，BST 的每个节点应该要小于左边子树的所有节点，上面这个二叉树显然不是 BST，然而咱们的算法会把它断定为 BST。

呈现谬误，不要慌乱，框架没有错，肯定是某个细节问题没留神到。咱们从新看一下 BST 的定义，root 须要做的不只是和左右子节点比拟，而是要整个左子树和右子树所有节点比拟。怎么办，遥相呼应啊！

这种状况，咱们能够应用辅助函数，减少函数参数列表，在参数中携带额定信息，请看正确的代码：

boolean isValidBST(TreeNode root) {return isValidBST(root, null, null);
}

boolean isValidBST(TreeNode root, TreeNode min, TreeNode max) {if (root == null) return true;
    if (min != null && root.val <= min.val) return false;
    if (max != null && root.val >= max.val) return false;
    return isValidBST(root.left, min, root) 
        && isValidBST(root.right, root, max);
}

一、在 BST 中查找一个数是否存在

依据咱们的指导思想，能够这样写代码：

boolean isInBST(TreeNode root, int target) {if (root == null) return false;
    if (root.val == target) return true;

    return isInBST(root.left, target)
        || isInBST(root.right, target);
}

这样写完全正确，充分证明了你的框架性思维曾经养成。当初你能够思考一点细节问题了：如何充分利用信息，把 BST 这个“左小右大”的个性用上？

很简略，其实不须要递归地搜寻两边，相似二分查找思维，依据 target 和 root.val 的大小比拟，就能排除一边。咱们把下面的思路稍稍改变：

boolean isInBST(TreeNode root, int target) {if (root == null) return false;
    if (root.val == target)
        return true;
    if (root.val < target) 
        return isInBST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        return isInBST(root.left, target);
    // root 该做的事做完了，顺带把框架也实现了，妙
}

于是，咱们对原始框架进行革新，形象出一套 针对 BST 的遍历框架：

void BST(TreeNode root, int target) {if (root.val == target)
        // 找到指标，做点什么
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}

二、在 BST 中插入一个数

对数据结构的操作无非遍历 + 拜访，遍历就是“找”，拜访就是“改”。具体到这个问题，插入一个数，就是先找到插入地位，而后进行插入操作。

上一个问题，咱们总结了 BST 中的遍历框架，就是“找”的问题。间接套框架，加上“改”的操作即可。一旦波及“改”，函数就要返回 TreeNode 类型，并且对递归调用的返回值进行接管。

TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
    // 找到空地位插入新节点
    if (root == null) return new TreeNode(val);
    // if (root.val == val)
    //     BST 中个别不会插入已存在元素
    if (root.val < val) 
        root.right = insertIntoBST(root.right, val);
    if (root.val > val) 
        root.left = insertIntoBST(root.left, val);
    return root;
}

三、在 BST 中删除一个数

这个问题略微简单，不过你有框架领导，难不住你。跟插入操作相似，先“找”再“改”，先把框架写进去再说：

TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {if (root.val == key) {// 找到啦，进行删除} else if (root.val > key) {root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}

找到指标节点了，比方说是节点 A，如何删除这个节点，这是难点。因为删除节点的同时不能毁坏 BST 的性质。有三种状况，用图片来阐明。

状况 1：A 恰好是末端节点，两个子节点都为空，那么它能够当场逝世了。

图片来自 LeetCode

if (root.left == null && root.right == null)
    return null;

状况 2：A 只有一个非空子节点，那么它要让这个孩子接替本人的地位。

图片来自 LeetCode

// 排除了状况 1 之后
if (root.left == null) return root.right;
if (root.right == null) return root.left;

状况 3：A 有两个子节点，麻烦了，为了不毁坏 BST 的性质，A 必须找到左子树中最大的那个节点，或者右子树中最小的那个节点来接替本人。咱们以第二种形式解说。

图片来自 LeetCode

if (root.left != null && root.right != null) {
    // 找到右子树的最小节点
    TreeNode minNode = getMin(root.right);
    // 把 root 改成 minNode
    root.val = minNode.val;
    // 转而去删除 minNode
    root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
}

三种状况剖析结束，填入框架，简化一下代码：

TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {if (root == null) return null;
    if (root.val == key) {
        // 这两个 if 把状况 1 和 2 都正确处理了
        if (root.left == null) return root.right;
        if (root.right == null) return root.left;
        // 解决状况 3
        TreeNode minNode = getMin(root.right);
        root.val = minNode.val;
        root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
    } else if (root.val > key) {root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}

TreeNode getMin(TreeNode node) {
    // BST 最右边的就是最小的
    while (node.left != null) node = node.left;
    return node;
} 

删除操作就实现了。留神一下，这个删除操作并不完满，因为咱们个别不会通过 root.val = minNode.val 批改节点外部的值来替换节点，而是通过一系列稍微简单的链表操作替换 root 和 minNode 两个节点。因为具体利用中，val 域可能会很大，批改起来很耗时，而链表操作无非改一改指针，而不会去碰外部数据。

但这里疏忽这个细节，旨在突出 BST 基本操作的共性，以及借助框架逐层细化问题的思维形式。

四、最初总结

通过这篇文章，你学会了如下几个技巧：

1. 二叉树算法设计的总路线：把以后节点要做的事做好，其余的交给递归框架，不必以后节点操心。
2. 如果以后节点会对上面的子节点有整体影响，能够通过辅助函数增长参数列表，借助参数传递信息。
3. 在二叉树框架之上，扩大出一套 BST 遍历框架：

void BST(TreeNode root, int target) {if (root.val == target)
        // 找到指标，做点什么
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}

1. 把握了 BST 的基本操作。