共计 3160 个字符，预计需要花费 8 分钟才能阅读完成。
———–
二叉堆（Binary Heap）没什么神秘，性质比二叉搜寻树 BST 还简略。其次要操作就两个，sink（下沉）和 swim（上浮），用以保护二叉堆的性质。其次要利用有两个，首先是一种排序办法「堆排序」，第二是一种很有用的数据结构「优先级队列」。
本文就以实现优先级队列（Priority Queue）为例，通过图片和人类的语言来形容一下二叉堆怎么运作的。
一、二叉堆概览
首先，二叉堆和二叉树有啥关系呢，为什么人们总数把二叉堆画成一棵二叉树？
因为，二叉堆其实就是一种非凡的二叉树（齐全二叉树），只不过存储在数组里。个别的链表二叉树，咱们操作节点的指针，而在数组里，咱们把数组索引作为指针：
// 父节点的索引
int parent(int root) {return root / 2;}
// 左孩子的索引
int left(int root) {return root * 2;}
// 右孩子的索引
int right(int root) {return root * 2 + 1;}画个图你立刻就能了解了，留神数组的第一个索引 0 空着不必，
PS：因为数组索引是数组，为了不便辨别，将字符作为数组元素。
你看到了，把 arr[1] 作为整棵树的根的话，每个节点的父节点和左右孩子的索引都能够通过简略的运算失去，这就是二叉堆设计的一个奇妙之处。为了不便解说，上面都会画的图都是二叉树构造，置信你能把树和数组对应起来。
二叉堆还分为最大堆和最小堆。最大堆的性质是：每个节点都大于等于它的两个子节点。相似的，最小堆的性质是：每个节点都小于等于它的子节点。
两种堆外围思路都是一样的，本文以最大堆为例解说。
对于一个最大堆，依据其性质，显然堆顶，也就是 arr[1] 肯定是所有元素中最大的元素。
二、优先级队列概览
优先级队列这种数据结构有一个很有用的性能，你插入或者删除元素的时候，元素会主动排序，这底层的原理就是二叉堆的操作。
数据结构的性能无非增删查该，优先级队列有两个次要 API，别离是 insert 插入一个元素和 delMax 删除最大元素（如果底层用最小堆，那么就是 delMin）。
上面咱们实现一个简化的优先级队列，先看下代码框架：
PS：为了清晰起见，这里用到 Java 的泛型，Key 能够是任何一种可比拟大小的数据类型，你能够认为它是 int、char 等。
public class MaxPQ
<Key extends Comparable<Key>> {
// 存储元素的数组
private Key[] pq;
// 以后 Priority Queue 中的元素个数
private int N = 0;
public MaxPQ(int cap) {
// 索引 0 不必，所以多调配一个空间
pq = (Key[]) new Comparable[cap + 1];
}
/* 返回以后队列中最大元素 */
public Key max() {return pq[1];
}
/* 插入元素 e */
public void insert(Key e) {...}
/* 删除并返回以后队列中最大元素 */
public Key delMax() {...}
/* 上浮第 k 个元素，以保护最大堆性质 */
private void swim(int k) {...}
/* 下沉第 k 个元素，以保护最大堆性质 */
private void sink(int k) {...}
/* 替换数组的两个元素 */
private void exch(int i, int j) {Key temp = pq[i];
pq[i] = pq[j];
pq[j] = temp;
}
/* pq[i] 是否比 pq[j] 小？*/
private boolean less(int i, int j) {return pq[i].compareTo(pq[j]) < 0;
}
/* 还有 left, right, parent 三个办法 */
}空进去的四个办法是二叉堆和优先级队列的奥秘所在，上面用图文来一一了解。
三、实现 swim 和 sink
为什么要有上浮 swim 和下沉 sink 的操作呢？为了保护堆构造。
咱们要讲的是最大堆，每个节点都比它的两个子节点大，然而在插入元素和删除元素时，不免毁坏堆的性质，这就须要通过这两个操作来复原堆的性质了。
对于最大堆，会毁坏堆性质的有有两种状况：
- 如果某个节点 A 比它的子节点（中的一个）小，那么 A 就不配做父节点，应该上来，上面那个更大的节点上来做父节点，这就是对 A 进行 下沉。
- 如果某个节点 A 比它的父节点大，那么 A 不应该做子节点，应该把父节点换下来，本人去做父节点，这就是对 A 的 上浮。
当然，错位的节点 A 可能要上浮（或下沉）很屡次，能力达到正确的地位，复原堆的性质。所以代码中必定有一个 while 循环。
仔细的读者兴许会问，这两个操作不是互逆吗，所以上浮的操作肯定能用下沉来实现，为什么我还要吃力写两个办法？
是的，操作是互逆等价的，然而最终咱们的操作只会在堆底和堆顶进行（等会讲起因），显然堆底的「错位」元素须要上浮，堆顶的「错位」元素须要下沉。
上浮的代码实现：
private void swim(int k) {
// 如果浮到堆顶，就不能再上浮了
while (k > 1 && less(parent(k), k)) {
// 如果第 k 个元素比下层大
// 将 k 换上去
exch(parent(k), k);
k = parent(k);
}
}画个 GIF 看一眼就明确了：
下沉的代码实现：
下沉比上浮稍微简单一点，因为上浮某个节点 A，只须要 A 和其父节点比拟大小即可；然而下沉某个节点 A，须要 A 和其 两个子节点 比拟大小，如果 A 不是最大的就须要调整地位，要把较大的那个子节点和 A 替换。
private void sink(int k) {
// 如果沉到堆底，就沉不上来了
while (left(k) <= N) {
// 先假如右边节点较大
int older = left(k);
// 如果左边节点存在，比一下大小
if (right(k) <= N && less(older, right(k)))
older = right(k);
// 结点 k 比俩孩子都大，就不用下沉了
if (less(older, k)) break;
// 否则，不合乎最大堆的构造，下沉 k 结点
exch(k, older);
k = older;
}
}画个 GIF 看下就明确了：
至此，二叉堆的次要操作就讲完了，一点都不难吧，代码加起来也就十行。明确了 sink 和 swim 的行为，上面就能够实现优先级队列了。
四、实现 delMax 和 insert
这两个办法就是建设在 swim 和 sink 上的。
insert 办法先把要插入的元素增加到堆底的最初，而后让其上浮到正确地位。
public void insert(Key e) {
N++;
// 先把新元素加到最初
pq[N] = e;
// 而后让它上浮到正确的地位
swim(N);
}delMax 办法先把堆顶元素 A 和堆底最初的元素 B 对调，而后删除 A，最初让 B 下沉到正确地位。
public Key delMax() {
// 最大堆的堆顶就是最大元素
Key max = pq[1];
// 把这个最大元素换到最初，删除之
exch(1, N);
pq[N] = null;
N--;
// 让 pq[1] 下沉到正确地位
sink(1);
return max;
}
至此，一个优先级队列就实现了，插入和删除元素的工夫复杂度为 O(logK)，K 为以后二叉堆（优先级队列）中的元素总数。因为咱们工夫复杂度次要破费在 sink 或者 swim 上，而不论上浮还是下沉，最多也就树（堆）的高度，也就是 log 级别。
五、最初总结
二叉堆就是一种齐全二叉树，所以适宜存储在数组中，而且二叉堆领有一些非凡性质。
二叉堆的操作很简略，次要就是上浮和下沉，来保护堆的性质（堆有序），外围代码也就十行。
优先级队列是基于二叉堆实现的，次要操作是插入和删除。插入是先插到最初，而后上浮到正确地位；删除是调换地位后再删除，而后下沉到正确地位。外围代码也就十行。
兴许这就是数据结构的威力，简略的操作就能实现奇妙的性能，真心拜服创造二叉堆算法的人！
