菲尔兹奖得主小平邦彦的心中的数学，可能和很多人所想的数学不同。他强调对数学的一种感觉——数感，一种对数学造成的感知，并且其敏锐性和听觉类似，而与聪慧无关。他还认为数学也是试验迷信，是一种思维上的试验。这些独到的视角将有助于咱们了解、学习数学。
撰文丨小平邦彦
翻译丨尤斌斌
小平邦彦（Kunihiko Kodaira，1915-1997）
数学是什么，这说不清道不明。不过，每一个对数学感兴趣的人多多少少都有各自的见解。在本文中，我会坦率地讲述数学家眼中的数学印象，比方像我这样专门钻研数学的数学家是如何对待数学的，以便为读者提供参考。人们通常认为数学是一门由紧密逻辑所构建的学识，即使不是与逻辑完全一致，也大致相同。
实际上，数学与逻辑并没有多大关系。当然，数学必须遵循逻辑。不过，逻辑对于数学的作用相似于语法对于文学。书写合乎语法的文章与用语法编织语言、创作小说是截然不同的。同样，按照逻辑进行推论与应用逻辑构筑数学实践也并非同一层面上的事件。
任何人都能了解个别逻辑，如果将数学归为逻辑，那么任何人都能了解数学。然而家喻户晓，无奈了解数学的初中生或高中生大有人在，语言能力优异、数学能力有余的学生非常常见。因而我认为，数学在实质上与逻辑不同。
数感
咱们试着思考数学之外的自然科学，比如说物理学。物理学钻研的是天然景象中的物理现象，同理可得，数学钻研的是天然景象中的数学景象。那么，了解数学相当于“察看”数学景象。这里所说的“察看”不是指“用眼观看”，而是通过肯定感觉所造成的感知。
尽管很难用语言去形容这种感觉，不过这是一种显著不同于逻辑推理能力的纯正的感觉，在我看来这种感知简直靠近于视觉。或者咱们能够称之为直觉，不过为了凸显其纯正性，在接下来的表述中，我将其称为“数感”。直觉一词含有“霎时领悟假相”的意思，所以不太适合。
数感的敏锐性相似于听觉的敏锐性，也就是说基本上与是否聪慧无关（实质上无关，但不意味着没有统计关联）。不过数学的了解须要凭借数感，正如乐感不好的人无奈了解音乐，数感不好的人同样无奈了解数学（给不善于数学的孩子当家教时，就能明确这种感觉。对你来说曾经不言而喻的问题，在不善于数学的孩子看来却怎么也无奈了解，因而你会苦于不知如何解释）。
在证实定理时，数学家并没有觉察本人的数感施展了作用，因而会认为是依照周密的逻辑进行了证实。其实，只有用形式逻辑符号去解析证实，数学家就会发现事实并非如此。因为这样最终只会失去一串简短的逻辑符号，实际上齐全不可能证实定理（当然我的重点并不在于指摘证实过程的逻辑不够紧密，而是在于指出数感能帮忙咱们省略逻辑推理这个过程，间接疏导咱们走向后方）。近来常常听到人们在探讨数学感觉，能够说数学感觉的根底正是数感。所有数学家天生都具备敏锐的数感，只是本人没有觉察而已。
数学同样以天然景象为钻研对象
兴许有人认为将天然景象的一部分作为数学的钻研对象太过莽撞。然而，正如数学家在证实新的定理时，通常不会说“创造”了定理，而是表白为“发现”了定理。
由此可见，数学景象与物理现象一样，都是自然界中的固有之物。我也证实过几个新定理，但我从来不感觉那些定理是本人想进去的。这些定理始终都存在，只不过碰巧被我发现了而已。常常会有人指出，数学对于理论物理学有着不堪设想的微妙作用。甚至会让人产生一种观点，认为所有物理现象都须要依靠数学法令而存在。
而且，大部分状况下，在物理学实践被发现之前，数学家们早就筹备好了该实践所需的数学知识。黎曼空间对于爱因斯坦狭义相对论的作用就是最好的例子。为什么数学对物理学的作用如此之大？当然，只有解释说数学是物理学的语言，这个话题就到此为止了。
比方，狭义相对论中黎曼空间的作用确实能够说是一种语言，然而数学对于量子力学的作用却堪称是一种神秘的魔法，无奈单纯将其视为一种语言。关上量子力学的教材，首先是对于光干预、电子散射等试验的阐明，接着是用波函数（即希尔伯特空间中的矢量）来形容光子、电子等粒子的状态，最初推出态叠加原理。
态叠加原理是量子力学中的基本原理，它表白了如果状态 A 是状态 B 与状态 C 的叠加，那么 A 的波函数是 B 的波函数与 C 的波函数的线性组合。什么是粒子的状态？例如，粒子加速器中电子的状态由粒子加速器决定，所以粒子的状态能够了解成粒子所在的环境。在量子力学中，极简单的环境也只由一个波函数（矢量）来形容，因而首先需对环境进行简化和数学化。
如何了解状态 A 是状态 B 与状态 C 的叠加？
如果是教材中的光干预等状况，那么就比拟容易了解。不过，在通常状况下说环境 A 是环境 B 与环境 C 的叠加，这就不容易了解了。不确定性原理，例如不可能同时测量一个粒子的地位和它的速度，是通过测量试验对粒子的烦扰来加以阐明的，最终表明一个粒子无奈同时存在于测量地位的安装和测量速度的安装中。
换言之，即粒子不可能同时存在两种环境。那么如何了解这两种环境的叠加呢？只能说切实是难以了解。另外，波函数的线性组合运算如同数学中的高级运算一样简略。而态叠加原理则主张通过简略的数学运算来示意各种简单奇怪状态的叠加。也就是说，数学运算摆布了作为量子力学对象的物理现象。这种数学运算与物理现象的关系，并非是通过解析叠加的物理意义而将其用数学公式体现进去，而是将“波函数的线性组合能够形容状态的叠加”视为公理，而后根据数学运算来确定叠加的意义。正如费曼（R.P.Feynman）所言，除了数学之外，没有其余办法能阐明态叠加原理了。咱们只能认为量子力学基于数学的无穷魔法，因而我认为物理现象的背地存在着固有的数学景象。
数学是试验迷信
我认为，数学家钻研数学景象的意义与物理学家钻研天然景象雷同。兴许有人认为，物理学家须要进行各种试验，而数学家仅仅在思考而已。不过，这种状况下的“思考”含有“思考试验”的意思，与考试中对题目的“思考”性质全然不同。考试题目个别是将固定范畴内的已知内容组合在一起，一小时之内必定可能解开，所以相当于提供了清晰的思考对象和思考办法。
然而，试验是考察未知的天然景象，因而无奈预测后果，甚至无奈失去后果。这种试验的模式 同样存在于数学中，探索未知数学景象的思考试验，其思考对象和思考办法都具备未知性。这也是数学钻研过程中最大的艰难。最简略易懂的思考试验当属从具体事实中演绎猜测。例如咱们尝试思考一下，偶数起码能示意成几个素数之和。偶数 2 自身是素数，暂且另当别论。
除此之外，正如 4 =2+2，6=3+3，8=3+5，10=5+5，100=47+53……所示，偶数个别能示意成两个素数之和。根据上述论断，咱们能够从中推出“任何一个大于 2 的偶数都能够示意成两个素数的和”（这个命题就是驰名的哥德巴赫猜想，至今未被证明）。
如果考察多个事实可能猜测出定理的模式，那么之后只有思考如何证实该定理即可，也就是说钻研的最后难关曾经冲破。当然，数学中仅仅依附积攒几个事实是无奈证实定理的，定理的证实必须另外进行思考。高等数论的许多定理就是先由试验后果引发猜测，而后才失去证实。
而且，从 19 世纪末到 20 世纪初，恩里格斯（F. Enriques）、卡斯特尔诺沃（G. Castelnuovo）等意大利代数几何学家取得的惊人成绩中，根据试验失去成绩的不在少数。托德（J. A. Todd）在其 1930 年左右发表的论文中曾明确断言：“代数几何是试验迷信。”直到最近（编者注：本文发表于 1969 年 5 月），上述几位数学家的定理才全副得以紧密证实。不过值得注意的是，只管他们过后给出的定理证实不够齐全，然而定理自身却是正确的。
发现新定理
当初数学的钻研对象个别都十分形象，实例也非常形象，让人难以了解。所以依附具体事实演绎来猜测定理的形式，在大多数状况下曾经难以实用。目前的状况下，对于发现新定理的思考试验形式，我自己也是不得而知。如果将精力都破费在考虑新的思考形式上，恐怕难有所得。实际上很多时候无论如何思考都得不到相应的后果。
这样看的话，是否能够说数学钻研是一份极其艰难的工作呢？不过这倒也未必。有时候感觉本人什么也没做，那些该当思考的事件却很天然地出现在眼前，钻研工作也得以顺利推动。
夏目漱石在《梦十夜》中对运庆（编者注：日本镰仓时代的高僧，雕刻技能非常精湛）雕刻金刚手菩萨像的形容，充沛体现了这种感触。
这部分内容援用如下：
运庆在金刚手菩萨的粗眉上端一寸处横向凿刻，手中的凿刀忽而竖立，转而自上而下凿去。凿刀被敲入坚挺的木头中，厚厚的木屑应声飞落，再认真一看，金刚手菩萨怒意盈盈的鼻翼轮廓已清晰出现。运庆的运刀形式自由自在，雕刻过程中丝毫没有任何踌躇。“他的手法真如行云流水，凿刀所到之处，竟然都天然地雕刻出了心田所想的眉毛、鼻子样子。”我感叹至极，不禁喃喃自语道。后果，刚才那位年老女子回应道：“什么呀，那可不是凿刻出的眉毛、鼻子，而是眉毛、鼻子原本就埋藏在木头中，他只是用锤子、凿子将其出现进去。就像从泥土中挖出石头一样，当然不会呈现偏差。”在这种时刻，我经常感到世间没有比数学更容易的学科了。如果遇到一些学生在犹豫未来是否从事数学方面的工作，我就会想倡议他们“肯定要选数学，因为再没有比数学更容易的学科了”。漱石的故事后续如下：这时，我豁然开朗，原来这就是雕刻艺术。这样的话，如同谁都能够做这个。想到这里，我忽然也有了想要雕刻一座金刚手菩萨像的念头，于是回到家中，从后院里沉积的木柴当选了一块木头，开始入手雕刻。然而大失所望，虽凿刻好久，木头中却依然寻不到金刚手菩萨的踪影。我忽然觉悟，明治期间的木头里基本就不会藏有金刚手菩萨。
数学也一样，一般的木头里没有埋藏着定理。不过，仅仅从表面察看，并看不出外面到底埋着什么，所以只好尝试雕刻看看。
数学中的雕刻就是繁琐的计算与查阅文献，绝不是什么简略的事件，而且在大多数状况下，都会竹篮打水一场空。因而数学钻研十分耗时，而且我感觉运气也是一个影响钻研成败的重要因素。
定理与利用
现今的数学，通过具体事实的演绎来猜测定理极其艰难，不仅如此，定理与具体事实的关系也在发生变化。在大学低年级的数学中，定理之所以是定理，是因为其可利用于许多事实中，没有利用的定理则多没有意义。好的定理能够说就是利用宽泛的定理。
从这个意义上来说，函数论的柯西积分定理是最好的数学定理之一。然而在最近的数学中，简直很少看到领有宽泛应用性的定理。岂止如此，许多定理简直毫无应用性可言。
正如某君不客气地评估：“古代数学只有两种，有定理却没有利用实例的数学与只有利用实例却没有定理的数学。”从古代数学的立场登程，“不论有没有利用，好的定理就是好的定理”，不过我却总感觉没有利用的定理多少还是有点儿美中不足。
数学的惟一了解办法
即便不做钻研，只是浏览无关数学的书和论文，也十分费时。如果只读定理局部而跳过证实过程的话，仿佛很快就能读完两三本书。
然而实际上，跳过证实的浏览形式如记忆犹新，留下的印象十分浅，后果多会一无所得。想要了解数学书，只能一步一步遵循证实过程。数学的证实不是单纯的论证，还具备思考试验的象征。所谓了解证实，也不是确认论证中是否有谬误，而是本人尝试重现思考试验的过程。换言之，了解也能够说是本身的体验。
不堪设想的是，除此之外数学没有其余的了解办法。物理学的话，即使是最新的基本粒子实践，只有浏览通俗读物，只管读者与专家的了解办法不同，多少还是能大抵了解或者至多本人感觉如同了解了。这就是外行人的了解办法，它与专家的了解办法不同。
然而数学不存在外行人的了解办法，所以没人能够写出对于数学最近成绩的通俗读物。
本文经受权节选自《惰者集：数感与数学》（人民邮电出版社·图灵新知，2022 年 2 月版）第一章“数学印象”，有删减。
作者简介
小平邦彦（Kunihiko Kodaira，1915-1997），日本数学家，先后在美国普林斯顿低等研究院、哈佛大学、约翰斯·霍普金斯大学、斯坦福大学、日本东京大学等任教授，在和谐积分实践、代数几何学和复解析几何学等诸多畛域做出了奉献；1954 年获菲尔兹奖，1957 年被日本政府授予文化勋章，1984 年获沃尔夫奖；著有《微积分入门》《复分析》《复流形实践》《几何世界的邀请》等。
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作者：[日]小平邦彦
译者：尤斌斌
菲尔兹奖、沃尔夫奖、日本文化勋章得主，日本数学大家 小平邦彦
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