1、准备常识
如上图所示依据灵感棒的长短对灵感棒进行编号。
- 盒中共有 3 层，每层有 3 个仓位，一共有
9 个仓位。 - 如果一个仓位满了，咱们称为
满仓位；如果一个仓位不满(大概残余一个圆柱的直径)，咱们称为半仓位。 - 咱们称
1、2和3 号位为长棒，残余为短棒。9 个仓位中至多有一根长棒。
Remark： 半仓位 + 半仓位 ≠ 满仓位 。 半仓位 并不是残余一半仓位的意思，而是大概残余一个圆柱的直径那个长的间隔。
2、次要内容
固定搭配
- 3 根
1 号位有 2 种搭配。1 号位+6 号位= 半仓位、1 号位+7 号位+8 号位= 满仓位。因为7 号位只有一根，所以至多会有 2 根1 号位别离和两根6 号位组合，因而盒中至多会有两个半仓位。 - 4 根
2 号位有 3 种搭配。2 号位+4 号位= 满仓位、2 号位+5 号位= 半仓位、2 号位+8 号位×2= 半仓位、2 号位+6 号位+8 号位= 满仓位。因为4 号位只会和2 号位搭配，所以至多有 2 根2 号位别离和 2 根4 号位搭配。 - 4 根
3 号位只有 1 种搭配。3 号位+3 号位= 满仓位。4 根3 号位占据两个满仓位，那么 3 根1 号位、4 根2 号位再加上占据两个满仓位的3 号位刚好为 9 个仓位(3+4+2)。 - 2 根
4 号位只有 1 种搭配。2 号位+4 号位= 满仓位。 - 2 根
5 号位有 1 种搭配或用于填充 3 个半仓位。2 号位+5 号位= 半仓位。用于填充半仓位时有两种形式：竖着或横着，因为5 号位的长度大概等于 3 个圆柱的直径，因而刚好能够竖在或横在盒子里。 - 3 根
6 号位有 2 种搭配。1 号位+6 号位= 半仓位、2 号位+6 号位+8 号位= 满仓位。依据上诉剖析，肯定会有两根6 号位别离和 2 根1 号位组合，所以只剩下 1 根6 号位可自在搭配。 - 1 根
7 号位有 1 种搭配或用于填充 2 个半仓位。1 号位+7 号位+8 号位= 满仓位。用于填充半仓位时有两种形式：竖着或横着，因为7 号位的长度大概等于 2 个圆柱的直径，因而能够竖在或横在盒子里（不是刚好，因而会留下一个半仓位的空间）。 - 2 根
8 号位有 3 种搭配或用于填充 3 个半仓位。1 号位+7 号位+8 号位= 满仓位、2 号位+6 号位+8 号位= 满仓位、2 号位+8 号位×2= 半仓位。用于填充半仓位时 2 根8 号位必须是搭配着，且有两种形式：竖着或横着，因为 2 根8 号位的长度大概等于 3 个圆柱的直径，因而刚好能够竖在或横在盒子里，所以如果8 号位去填充仓位时，必须两根都用上。因而能够看作：8 号位+8 号位=5 号位。
组合分析
根据上诉剖析，咱们能够整顿出一些没法自在搭配的组合：
- (
1 号位+6 号位)×2= 半仓位×2。有 4 根3 号位共占据 2 个满仓位。 - (
2 号位+4 号位)×2= 满仓位×2。有 2 根2 号位共占据 2 个满仓位。 - (
3 号位+3 号位)×2= 满仓位×2。有 4 根3 号位共占据 2 个满仓位。
则残余的灵感棒： 1 号位 ×1、 2 号位×2、 5 号位×2、 6 号位×1、 7 号位×1、 8 号位×2。
残余的仓位：空仓位 ×3、 半仓位×2。
接下来的问题就是如何应用残余的灵感棒填充残余的仓位了。因为可填充仓位的只有 5 号位、 7 号位 和 8 号位 ，其中 5 号位 和 8 号位 可填充 3 个 半仓位 ， 7 号位 可填充 2 个 半仓位 。因为只残余 3 个 空仓位 ，即便全副变为 半仓位 ， 半仓位 的数量最多就 5 个，因为可填充 2 个 半仓位 的 7 号位 只有 1 根，所以 半仓位 的数量不可能为 4 个。综上所述 半仓位 的数量只能为 3 个或 5 个。
状况 1：半仓位 为 3 个
残余的 3 个 空仓位 调配为：2 个满仓位和 1 个半仓位，则残余的仓位安顿为：满仓位 ×2、 半仓位×3。依据残余的 1 个半仓位的安顿状况可分为如下几种状况：
- 如果残余的 1 个半仓位由
1 号位提供，可搭配的组合为：1 号位+6 号位= 半仓位，则残余的7 号位没有可搭配的组合。不可行！ - 如果残余的 1 个半仓位由
2 号位提供，可搭配的组合为：2 号位+5 号位= 半仓位，残余的灵感棒：1 号位×1、2 号位×1、5 号位×1、6 号位×1、7 号位×1、8 号位×2。3 个半仓位填充计划有 2 个，1. 由 1 根5 号位填充。残余的灵感棒：1 号位×1、2 号位×1、6 号位×1、7 号位×1、8 号位×2。两个满仓位的搭配计划：1 号位+7 号位+8 号位= 满仓位、2 号位+6 号位+8 号位= 满仓位。可行！2. 由 2 根8 号位填充。残余的灵感棒：1 号位×1、2 号位×1、5 号位×1、6 号位×1、7 号位×1。此时不满足半仓位为 3 个的条件。不可行！
状况 2：半仓位 为 5 个
残余的 3 个 空仓位 调配为：3 个半仓位，则残余的仓位安顿为：半仓位 ×5。此时 1 个 1 号位 和 2 个 2 号位 都提供半仓位，所以 1 号位 的搭配就能够固定下来： 1 号位 + 6 号位= 半仓位。残余的灵感棒： 2 号位×2、 5 号位×2、 7 号位×1、 8 号位×2。 2 号位 的半仓位提供状况可分为以下 2 种：
2 号位+5 号位= 半仓位。残余的灵感棒：7 号位×1、8 号位×2。1 个7 号位和 2 个8 号位刚好填充 5 个半仓位。可行！2 号位+8 号位×2= 半仓位和2 号位+5 号位= 半仓位。残余的灵感棒：5 号位×1、7 号位×1。1 个5 号位和 1 个7 号位刚好填充 5 个半仓位。可行！
3、总结
综上所述搭配计划共有如下几种：
- (
1 号位+6 号位)×2= 半仓位×2、(2 号位+4 号位)×2= 满仓位×2、(3 号位+3 号位)×2= 满仓位×2、1 号位+7 号位+8 号位= 满仓位、2 号位+6 号位+8 号位= 满仓位、2 号位+5 号位= 半仓位，残余 3 个半仓位由5 号位填充。组合形式：\(C_6^1C_3^1C_6^2C_4^2C_2^1=3240 \)种。 - (
1 号位+6 号位)×3= 半仓位×2、(2 号位+4 号位)×2= 满仓位×2、(3 号位+3 号位)×2= 满仓位×2、(2 号位+5 号位)×3= 半仓位×3，残余 5 个半仓位由 1 个7 号位和 2 个8 号位填充。组合形式：\(C_4^1C_7^1C_5^2C_4^2=1680 \)种。 - (
1 号位+6 号位)×3= 半仓位×3、(2 号位+4 号位)×2= 满仓位×2、(3 号位+3 号位)×2= 满仓位×2、2 号位+8 号位×2= 半仓位、2 号位+5 号位= 半仓位，残余 5 个半仓位由 1 个5 号位和 1 个7 号位填充。组合形式：\(C_4^1C_7^1C_5^2C_4^2=1680 \)种。
总计共有 6600 种排列形式。