摘要： 最小二乘法是一种在误差预计、不确定度、零碎辨识及预测、预报等数据处理诸多学科畛域失去广泛应用的数学工具。最小二乘很简略，也在业界失去了宽泛应用。
本文分享自华为云社区《最小二乘法介绍》，作者：Yan。
最小二乘法是一种在误差预计、不确定度、零碎辨识及预测、预报等数据处理诸多学科畛域失去广泛应用的数学工具。最小二乘很简略，也在业界失去了宽泛应用。
然而对于最小二乘法和它的故事，兴许很多人并不理解，明天给大家做一下分享。
1801 年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。通过 40 天的跟踪观测后，因为谷神星运行至太阳背地，使得皮亚齐失去了谷神星的地位。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，然而依据大多数人计算的后果来寻找谷神星都没有后果。
时年 24 岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥伯斯依据高斯计算出来的轨道从新发现了谷神星。
高斯应用的最小二乘法的办法发表于 1809 年他的著述《天体静止论》中，而法国科学家勒让德于 1806 年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而石破天惊。
为了不便大家了解最小二乘法，给大家讲个故事。
假如身高是变量 X，体重是变量 Y，咱们都晓得身高与体重有比拟间接的关系。生存教训通知咱们：个别身高比拟高的人，体重也会比拟大。然而这只是咱们直观的感触，只是很粗略的定性的剖析。
在数学世界里，咱们大部分时候须要进行严格的定量计算：能不能依据一个人的身高，通过一个式子就能计算出他或者她的规范体重？
咱们能够采样一批人的身高体重数据，(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xn,yn)，其中 x 是身高，y 是体重。
生存常识通知咱们：身高与体重是一个近似的线性关系，用最简略的数学语言来形容就是 y = \beta_0+\beta_1xy=β0+β1x。
于是，接下来的工作就变成：怎么求出这个 β0与 β1呢？
为了计算 β0,β1的值，咱们采取如下规定：β0,β1应该使计算出来的函数曲线与察看值的差的平方和最小。用数学公式形容就是：
其中，y_{ie}yie示意依据 y =\beta_0 + \beta_1xy=β0+β1x 估算进去的值，y_iyi是察看失去的实在值。
这样，样本的回归模型很容易得出：
当初须要确定 β0、β1，使 cost function 最小。大家很容易想到，对该函数求导即可找到最小值：
将这两个方程整顿后应用克莱姆法令，很容易求解得出：
依据这个公式，只须要将样本都带入就能够求解出相应的参数。
如果咱们推广到更个别的状况，如果有更多的模型变量 x1,x2,⋯,xm（留神：x_1x1是指 一个样本，x1 是指样本里的一个模型相干的变量 )，能够用线性函数示意如下：
y(x1,⋯,xm;β0,⋯,βm)=β0+β1x1+⋯+βmxm
对于 n 个样本来说，能够用如下线性方程组示意：
如果将样本矩阵 x_i^hxih记为矩阵 A, 将参数矩阵记为向量 \betaβ，实在值记为向量 Y，上述线性方程组能够示意为：
即 A \beta = YAβ=Y
对于最小二乘来说，最终的矩阵表达形式能够示意为：
min∣∣Aβ−Y∣∣2
最初的最优解为：
β=(ATA)−1ATY
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