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关于数据挖掘:用R语言用Nelson-Siegel和线性插值模型对债券价格和收益率建模附代码数据

jiezi

原文链接：http://tecdat.cn/?p=11758

最近咱们被客户要求撰写对于 Nelson Siegel 和线性插值模型的钻研报告，包含一些图形和统计输入。

保证金购买是指投资者先从银行或经纪人处借得资金购买证券，而所购买的证券作为借入资金的抵押

债券根底 

  • 零息债券 是指以贴现形式发行，不附息票，而于到期日时按面值一次性领取本利的债券。
  • 债券的票面价值 债券的票面价值又称面值, 是债券票面表明的货币价值, 是债券发行人承诺在债券到期日偿还给债券持有人的金额。
  • 债券能够参考价格或收益率。例如，将领取 100 元的零息债券的价格能够是 90 元。但收益率将为（100−90）/90=11%，而不是 10%。
  • 债券收益率 是投资于债券上每年产生出的收益总额与投资本金总量之间的比率。
  • 债券能够在二级市场上交易（一级市场是债券发行过程）。如果利率减少，债券的价值就会减少，如果利率升高，债券的价值就会缩小，这仅仅是因为该债券是在利率扭转之前以便宜 / 低廉的价格发行的。也能够做空债券。
  • 尽管冀望债券不会呈现负利率，但也不是齐全看不到。在危机期间，政府债券甚至公司债券都能够以负收益率交易(例如雀巢)。

债券定价

债券价格是通过应用票面利率和现金流来确定。

式中，CFt 是 t 时的现金流，B（0，t）是贴现系数或 0 时价格

 

其中 R（0，t）是在工夫为 t 时在工夫 0 的年度即期汇率。

 

B（0，t）也能够称为零息债券的价格。

咱们能够暗示零息票利率与市场上不同期限的债券。而后咱们能够用这些利率建设一个期限构造模型来为任何债券定价。严格违反期限构造可能是买入 / 卖出机会，也可能是套利机会。

calculate_bond_price<-function(face_value=1000,coupon_rate=0.05,maturity=1,yearly_coupons=0){
    #该函数依据给定的债券 B（0，t）的面值，到期日，年息率和等距付款来计算其价格
    #如果 yearly_coupons == 0, 它只在到期时领取
    #如果 yearly_coupons == 1, 每年领取一次
    #如果 yearly_coupons == 2, 每半年领取一次
    if(yearly_coupons==0){face_value/((1+coupon_rate)^maturity)
    }else{face_value/((1+coupon_rate/yearly_coupons)^(yearly_coupons*maturity))
    }

}
calculate_bond_price()

<!—->

## [1] 952.381

如果咱们有适合的证券，咱们也能够从息票领取债券中构建零息票债券。

  • 1 年期纯贴现债券在 95 发售。
  • 两年期 8%的债券售价 99 元。

 

 

2 年期纯折价债券的价格为 99-0.08（95）= 91.4。

复利类型

简略复利

假如利率为 0.05，期限为 2 年。100 美元的价格在到期时将是多少。

 

定期复利

如果将利息永恒增加到本金投资中，那么咱们的复利就是利率。假如雷同的示例，但每半年复算一次。

 

年名义利率为  

间断复利

当初，假如复利的频率很高，以至于在两次加息之间的工夫距离是无限小（靠近零）。而后在极限状况下

 

 

因而，以咱们的示例为例，间断复利的年利率是 

给定一组零息票债券价格，咱们能够计算间断收益率 


#例如，债券价格为 0.987，期限为半年。calculate_yield(0.987,0.5)
## [1] 0.02617048

远期汇率

假如有两个到期日不同的债券 

能够重新排列成

 

imply_forward_rate<-function(R0t1=0.04,R0t2=0.045,t1=1,t2=2){((1+R0t2)^t2/(1+R0t1)^t1)^(1/(t2-t1)) -1

}
imply_forward_rate()

<!—->

## [1] 0.05002404

到期日的相关性

利率不仅随着到期日变动，而且随着工夫变动。咱们还将调用某些数据和计算。

让咱们加载库并查看收益率曲线数据。

##             R_3M  R_6M  R_1Y  R_2Y  R_3Y  R_5Y  R_7Y R_10Y
## 1981-12-31 12.92 13.90 14.32 14.57 14.64 14.65 14.67 14.59
## 1982-01-31 14.28 14.81 14.73 14.82 14.73 14.54 14.46 14.43
## 1982-02-28 13.31 13.83 13.95 14.19 14.13 13.98 13.93 13.86
## 1982-03-31 13.34 13.87 13.98 14.20 14.18 14.00 13.94 13.87
## 1982-04-30 12.71 13.13 13.34 13.78 13.77 13.75 13.74 13.62
## 1982-05-31 13.08 13.76 14.07 14.47 14.48 14.43 14.47 14.30

相关系数矩阵显示出收益率没有齐全相干。

  R\_3M R\_6M R\_1Y R\_2Y R\_3Y R\_5Y R\_7Y R\_10Y
R\_3M 1.0000000 0.9983390 0.9940045 0.9837559 0.9744780 0.9546189 0.9399504 0.9230412
R\_6M 0.9983390 1.0000000 0.9981715 0.9899820 0.9817197 0.9632268 0.9491761 0.9332366
R\_1Y 0.9940045 0.9981715 1.0000000 0.9959937 0.9900195 0.9746174 0.9621895 0.9478956
R\_2Y 0.9837559 0.9899820 0.9959937 1.0000000 0.9984844 0.9896811 0.9808896 0.9694621
R\_3Y 0.9744780 0.9817197 0.9900195 0.9984844 1.0000000 0.9958583 0.9896185 0.9804575
R\_5Y 0.9546189 0.9632268 0.9746174 0.9896811 0.9958583 1.0000000 0.9983629 0.9936744
R\_7Y 0.9399504 0.9491761 0.9621895 0.9808896 0.9896185 0.9983629 1.0000000 0.9981232
R\_10Y 0.9230412 0.9332366 0.9478956 0.9694621 0.9804575 0.9936744 0.9981232 1.0000000

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R 语言应用随机技术差分进化算法优化的 Nelson-Siegel-Svensson 模型

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债券价格和收益率

在这一部分中，咱们将看到构建债券价格和收益率的办法。

间接法

假如您失去以下债券利率。请记住，名义汇率是 100。

  息票 到期 价格
债券 1 5.0 1 个 101.0
债券 2 5.5 2 101.5
债券 3 5.0 3 99.0
债券 4 6.0 4 100.0

零息债券价格（B（0，t）

而后咱们失去 



get_zero_coupon()
## $B0t
## [1] 0.9619048 0.9119386 0.8536265 0.7890111
## 
## $R0t
## [1] 0.03960396 0.04717001 0.05417012 0.06103379

线性插值

R03<-0.055
R04<-0.06

R03p75<-((4-3.75)*0.055+(3.75-3)*0.06)/(4-3)
R03p75

<!—->

## [1] 0.05875

<!—->

## 或应用 R 函数
yield_interpolate<-approxfun(x=c(3,4),y=c(0.055,0.06))
yield_interpolate(3.75)

<!—->

## [1] 0.05875

三次插值

假如咱们的费率如下：


#插值 2.5 年的债券
t_val<-2.5
sum(abcd_vec*((2.5)^(3:0)))
## [1] 0.0534375

<!—->

## [1] 0.0534375

间接办法（Nelson Siegel）

尼尔森·西格尔（Nelson Siegel）模型是模仿利率收益率曲线的一种风行办法。

 

其中 θ 是到期日，β0 是长期收益率，β1 是斜率参数，β2 是曲率参数，τ 是比例参数。


ns_data <-
data.frame(maturity=1:30) %>%
mutate(ns_yield=nelson_siegel_calculate(theta=maturity,tau=3.3,beta0=0.07,beta1=-0.02,beta2=0.01))

head(ns_data)
##   maturity   ns_yield
## 1        1 0.05398726
## 2        2 0.05704572
## 3        3 0.05940289
## 4        4 0.06122926
## 5        5 0.06265277
## 6        6 0.06376956

<!—->

ggplot(data=ns_data, aes(x=maturity,y=ns_yield)) + geom_point() + geom_line()

能够应用参数来更好地预计收益曲线。

Nelson Siegel 参数的预计

Nelson Siegel 曲线预计。

##              beta_0     beta_1   beta_2    lambda
## 1981-12-31 14.70711 -5.3917409 3.269125 0.5123605
## 1982-01-31 14.35240 -0.7602066 2.834508 0.1887807
## 1982-02-28 13.74481 -0.9247232 2.681840 0.1236869

留神：咱们将 lambda 称为 tau（ττ）（形态参数）。

Beta 灵敏度

思考提供 Fi 将来现金流的债券价格。因而，带有 beta 参数的价格变动如下。

 


nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=2)
##      Beta0      Beta1      Beta2 
## -192.51332 -141.08199  -41.27936

<!—->

nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=7)

<!—->

##     Beta0     Beta1     Beta2 
## -545.4198 -224.7767 -156.7335

<!—->

nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=15)

<!—->

##     Beta0     Beta1     Beta2 
## -812.6079 -207.1989 -173.0285

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本文选自《用 R 语言用 Nelson Siegel 和线性插值模型对债券价格和收益率建模》。

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