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最近咱们被客户要求撰写对于 Nelson-Siegel 的钻研报告，包含一些图形和统计输入。
在本教程中，咱们将钻研如何将 Nelson-Siegel-Svensson（NSS）模型拟合到数据
1 引言
因为咱们将应用随机技术进行优化，因而咱们应该从新运行几次。变量 nRuns 设置示例重启的次数。
> set.seed(112233)2 将 NS 模型拟合到给定的零利率
NS 模型
咱们应用给定的参数 betaTRUE 创立“实在”的收益曲线 yM。付款工夫（以年为单位）在向量 tm 中。
> tm <- c(c(1, 3, 6, 9)/12, 1:10)
> betaTRUE <- c(6, 3, 8, 1)
> yM <- NS(betaTRUE, tm)
> par(ps = 11, bty = "n", las = 1, tck = 0.01, mgp = c(3, 0.2, 0), mar = c(4, 4, 1, 1))
> plot(tm, yM, xlab = "maturities in years", ylab = "yields in %")目标是通过这些点拟合平滑曲线。咱们从指标函数 OF 开始。它有两个参数：param 和 list 数据（蕴含所有其余变量）。返回察看到的（“市场”）收益率 yM 的向量与参数 param 的模型收益率之间的最大相对差。
咱们增加了一个粗略而无效的束缚，以避免导致“NA”值的参数值：指标函数返回较大的正值。咱们将其最小化，因而产生 NA 值的参数被标记为不良。在第一个示例中，咱们将数据设置如下：
> data <- list(yM = yM, tm = tm, model = NS, ww = 0.1, min = c( 0,-15,-30, 0), max = c(15, 30, 30,10))咱们增加了一个模型（在本例中为 NS），该模型形容了从参数到收益曲线的映射，以及向量 min 和 max，咱们稍后将其用作束缚。ww 是惩办权重，如下所述。
OF 将采纳候选解决方案参数，通过 data $ model 将此解决方案转换为收益，并将这些收益与 yM 进行比拟，这意味着要计算最大相对差。
> OF(param2, data) ## 失去正值
[1] 0.97686咱们还能够依据收益率曲线比拟解决方案。
> par(ps = 11, bty = "n", las = 1, tck = 0.01, mgp = c(3, 0.2, 0), mar = c(4, 4, 1, 1))
> plot(tm, yM, xlab = "maturities in years", ylab = "yields in %")
> lines(tm, NS(param1, tm), col = "blue")
> lines(tm, NS(param2, tm), col = "red")
> legend(x = "topright", legend = c("true yields", "param1", "param2"), col = c("black", "blue", "red"), pch = c(1, NA, NA), lty = c(0, 1, 1))咱们通常心愿获取参数，以便满足某些约束条件。咱们通过惩办函数将它们包含在内。
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R 语言中的 Nelson-Siegel 模型在汇率预测的利用
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咱们曾经有了数据，因而让咱们看看该函数对违反束缚的解决方案有何作用。假如咱们有三个解的总体 mP。
> param1 <- c(6, 3, 8, -1)
> param2 <- c(6, 3, 8, 1)
> param3 <- c(-1, 3, 8, 1)
> mP <- cbind(param1,param2,param3)
> rownames(mP) <- c("b1","b2","b3","lambda")
> mP
param1 param2 param3
b1 6 6 -1
b2 3 3 3
b3 8 8 8
lambda -1 1 1第一个和第三个解决方案违反了束缚。在第一个解决方案中，λ 为负。在第三个解中，β1 为负。
> penalty(mP,data)
param1 param2 param3
0.2 0.0 0.2参数 ww 管制了咱们的惩办水平。
> data$ww <- 0.5
> penalty(mP,data)
param1 param2 param3
1 0 1对于无效的解决方案，惩办应为零。
> penalty(mP, data)
param1 param2 param3
0 0 0 请留神，惩办会立刻失效；无需遍历解决方案。
这样咱们就能够进行测试了。咱们首先定义 DE 的参数。请特地留神，咱们传递了惩办函数，并将 loopPen 设置为 FALSE。
而后应用指标函数 OF，列表数据和列表算法调用 DEopt。
> sol <- DEopt(OF = OF, algo = algo, data = data) 差别演变。
最佳解的指标函数值为 0;
最终人群中 OF 的标准偏差为 3.0455e-16。
为了查看指标函数是否失常工作，咱们将最大误差与返回的指标函数值进行比拟–它们应该雷同。
> max(abs(data$model(sol$xbest, tm) - data$model(betaTRUE, tm)) )
[1] 0
> sol$OFvalue
[1] 0 作为基准，咱们从 stats 包运行函数 nlminb。
如果发现它的性能优于 DE，咱们将无力地表明咱们的 DE 实现存在问题。
咱们应用一个随机起始值 s0。
> s0 <- algo$min + (algo$max - algo$min) * runif(length(algo$min))
> sol2 <- nlminb(s0, OF, data = data,
lower = data$min,
upper = data$max,
control = list(eval.max = 50000L,
iter.max = 50000L))同样，咱们比拟返回的指标函数值和最大误差。
> max(abs(data$model(sol2$par, tm) - data$model(betaTRUE,tm)) )
[1] 1.5787e-07
> sol2$objective
[1] 1.5787e-07为了比拟咱们的两个解（DE 和 nlminb），咱们能够将它们与实在的收益率曲线一起绘制。然而必须强调的是，这两种算法的后果都是随机的：对于 DE，因为它成心应用随机性；在 nlminb 的状况下，因为咱们随机设置了起始值。为了取得更有意义的后果，咱们应该屡次运行这两种算法。为了升高插图的构建工夫，咱们只运行两种办法一次。
> plot(tm, yM, xlab = "maturities in years",
ylab = "yields in %")
> algo$printDetail <- FALSE
> for (i in seq_len(nRuns)) {sol <- DEopt(OF = OF, algo = algo, data = data)
lines(tm, data$model(sol$xbest,tm), col = "blue")
s0 <- algo$min + (algo$max-algo$min) * runif(length(algo$min))
sol2 <- nlminb(s0, OF, data = data,
lower = data$min,
upper = data$max,
control = list(eval.max = 50000L,
iter.max = 50000L))
lines(tm,data$model(sol2$par,tm), col = "darkgreen", lty = 2)
}
> legend(x = "topright", legend = c("true yields", "DE", "nlminb"),
col = c("black","blue","darkgreen"),
pch = c(1, NA, NA), lty = c(0, 1, 2))毫无疑问，DE 仿佛通常只有一条曲线：实际上有 nRuns 条线，然而它们是互相叠加的。
其余束缚
NS（和 NSS）模型的参数束缚是要确保所得的零利率为非正数。但实际上，它们不能保障正利率。
> plot(tm, yM, xlab = "maturities in years", ylab = "yields in %")
> abline(h = 0) 这的确是一个虚构的示例，但尽管如此，咱们仍可能心愿包含针对此类参数向量的束缚措施：咱们能够仅蕴含一个所有速率均大于零的约束条件。
同样，这能够通过惩办函数来实现。
校验：
> penalty2(c(3, -2, -8, 1.5),data)
[1] 0.86343此惩办函数仅实用于单个解决方案，因而实际上将其间接写入指标函数最简略。
因而，就像一个数值测试：假如上述参数为真，而利率为负。
> algo$pen <- NULL; data$yM <- yM; data$tm <- tm
> par(ps = 11, bty = "n", las = 1, tck = 0.01,
mgp = c(3, 0.2, 0), mar = c(4, 4, 1, 1))
> plot(tm, yM, xlab = "maturities in years", ylab = "yields in %")
> abline(h = 0)
> sol <- DEopt(OF = OFa, algo = algo, data = data)
> lines(tm,data$model(sol$xbest,tm), col = "blue")
> legend(x = "topleft", legend = c("true yields", "DE (constrained)"),
col = c("black", "blue"),
pch = c(1, NA, NA), lty = c(0, 1, 2))3 将 NSS 模型拟合到给定的零利率
如果要改用 NSS 模型，则简直不须要更改。咱们只须要向指标函数传递一个不同的模型。上面是一个示例。同样，咱们修复了实在参数并尝试复原它们。
列表数据和算法与以前简直雷同；指标函数放弃完全相同。
依然须要运行算法。（同样，咱们查看返回的指标函数值。）
> sol <- DEopt(OF = OF, algo = algo, data = data)
> max(abs(data$model(sol$xbest, tm) - data$model(betaTRUE, tm)) )
[1] 7.9936e-15
> sol$OFvalue
[1] 7.9936e-15 咱们将后果与 nlminb 进行比拟。
最初，咱们比拟了几次运行所得的收益率曲线。
> par(ps = 11, bty = "n", las = 1, tck = 0.01,
mgp = c(3, 0.2, 0), mar = c(4, 4, 1, 1))
> plot(tm, yM, xlab = "maturities in years", ylab = "yields in %")
> for (i in seq_len(nRuns)) {sol <- DEopt(OF = OF, algo = algo, data = data)
lines(tm, data$model(sol$xbest,tm), col = "blue")
s0 <- algo$min + (algo$max - algo$min) * runif(length(algo$min))
sol2 <- nlminb(s0, OF, data = data,
lower = data$min,
upper = data$max,
control = list(eval.max = 50000L,
iter.max = 50000L))
lines(tm, data$model(sol2$par,tm), col = "darkgreen", lty = 2)
}
> legend(x = "topright", legend = c("true yields", "DE", "nlminb"),
col = c("black","blue","darkgreen"),
pch = c(1,NA,NA), lty = c(0,1,2), bg = "white")参考文献
对于数值优化中“良好起始值”的正文，2010 年。http://comisef.eu/?q = working_papers
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本文选自《R 语言应用随机技术差分进化算法优化的 Nelson-Siegel-Svensson 模型》。
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