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为了不便起见，这些模型通常简称为 TAR 模型。这些模型捕捉了线性工夫序列模型无奈捕捉的行为，例如周期，幅度相干的频率和跳跃景象。Tong 和 Lim（1980）应用阈值模型表明，该模型可能发现黑子数据呈现的不对称周期性行为。
一阶 TAR 模型的示例：
σ 是噪声标准偏差，Yt- 1 是阈值变量，r 是阈值参数，{et}是具备零均值和单位方差的 iid 随机变量序列。
每个线性子模型都称为一个 机制 。下面是两个 机制 的模型。
思考以下简略的一阶 TAR 模型：
# 低机制参数
i1 = 0.3
p1 = 0.5
s1 = 1
#高机制参数
i2 = -0.2
p2 = -1.8
s2 = 1
thresh = -1
delay = 1
#模仿数据
y=sim(n=100,Phi1=c(i1,p1),Phi2=c(i2,p2),p=1,d=delay,sigma1=s1,thd=thresh,sigma2=s2)$y
#绘制数据
plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t',ylab=expression(Y\[t\])
abline(thresh,0,col="red")
TAR 模型_框架_是原始 TAR 模型的批改版本。它是通过克制噪声项和截距并将阈值设置为 0 来取得的：
_框架_的稳定性以及某些规律性条件意味着 TAR 的平稳性。稳定性能够了解为，对于任何初始值 Y1，_框架_都是有界过程。
在 [164] 中：
# 应用不同的终点查看稳定性
startvals = c(-2, -1.1,-0.5, 0.8, 1.2, 3.4)
count = 1
for (s in startvals) {ysk\[1} else {ysk\[i\] = -1.8*ysk\[i-1\]
}
count = count + 1
}
#绘制不同实现
matplot(t(x),type="l"
abline(0,0)
Chan 和 Tong（1985）证实，如果满足以下条件，则一阶 TAR 模型是安稳的
个别的两机制模型写为：
在这种状况下，稳定性更加简单。然而，Chan and Tong（1985）证实，如果
模型预计
一种办法以及此处探讨的办法是条件最小二乘（CLS）办法。
为简略起见，除了假如 p1 = p2 = p，1≤d≤p，还假如 σ1=σ2=σ。而后能够将 TAR 模型不便地写为
如果 Yt-d> r，则 I（Yt-d> r）= 1，否则为 0。CLS 最小化条件残差平方和：
在这种状况下，能够依据是否 Yt-d≤r 将数据分为两局部，而后执行 OLS 预计每个线性子模型的参数。
如果 r 未知。
在 r 值范畴内进行搜寻，该值必须在工夫序列的最小值和最大值之间，以确保该序列实际上超过阈值。而后从搜寻中排除最高和最低 10%的值
- 在此受限频带内，针对不同的 r = yt 值估算 TAR 模型。
- 抉择 r 的值，使对应的回归模型的残差平方和最小。
# 找到分位数
lq = quantile(y,0.10)
uq = quantile(y,0.90)
#绘制数据
plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t'abline(lq,0,col="blue")
abline(uq,0,col="blue")
# 模型估计数
sum((lq <= y) & (y <= uq) )80
如果 d 未知。
令 d 取值为 1,2,3，…，p。为每个 d 的潜在值估算 TAR 模型，而后抉择残差平方和最小的模型。
Chan（1993）已证实，CLS 办法是统一的。
最小 AIC（MAIC）办法
因为在实践中这两种状况的 AR 阶数是未知的，因而须要一种容许对它们进行预计的办法。对于 TAR 模型，对于固定的 r 和 d，AIC 变为
而后，通过最小化 AIC 对象来预计参数，以便在某个工夫距离内搜寻阈值参数，以使任何计划都有足够的数据进行预计。
# 估算模型
#如果晓得阈值
#如果阈值尚不分明
#MAIC 办法
for (d in 1:3) {if (model.tar.s$AIC < AIC.best) {
AIC.best = model.tar.s$AIC
model.best$d = d
model.best$p1 = model.tar.s
ar.s$AIC, signif(model.tar.s$thd,4)
AICM
非线性测试
1. 应用滞后回归图进行目测。
绘制 Yt 与其滞后。拟合的回归曲线不是很直，可能表明存在非线性关系。
在 [168] 中：
lagplot(y)
2.Keenan 测验：
思考以下由二阶 Volterra 开展引起的模型：
其中{ϵt} 的 iid 正态分布为零均值和无限方差。如果 η =0，则该模型成为 AR（mm）模型。
能够证实，_Keenan_测验等同于回归模型中测验 η =0：
其中 Yt ^ 是从 Yt-1，…，Yt- m 上的 Yt 回归失去的拟合值。
3. Tsay 测验：
_Keenan_测试的一种更通用的代替办法。用更简单的表达式替换为 Keenan 测验给出的上述模型中的项 η（∑mj = 1ϕjYt-j）2。最初对所有非线性项是否均为零的二次回归模型执行 F 测验。
在 [169] 中：
# 查看非线性: Keenan, Tsay
#Null is an AR model of order 1
Keenan.test(y,1)$test.stat
90.2589565661567
$p.value
1.76111433596097e-15
$order
1在 [170] 中：
Tsay.test(y,1)$test.stat
71.34
$p.value
3.201e-13
$order
14. 测验阈值非线性
这是基于似然比的测试。
零假如是 AR（pp）模型；另一种假如是具备恒定噪声方差的 p 阶的两区域 TAR 模型，即 σ1=σ2=σ。应用这些假如，能够将通用模型重写为
零假如表明 ϕ2,0 = ϕ2,1 = … = ϕ2，p = 0。
似然比测验统计量能够证实等于
其中 n - p 是无效样本大小，σ^ 2（H0）是线性 AR（p）拟合的噪声方差的 MLE，而 σ^ 2（H1）来自 TAR 的噪声方差与在某个无限距离内搜寻到的阈值的 MLE。
H0 下似然比测验的采样散布具备非标准采样散布；参见 Chan（1991）和 Tong（1990）。
在 [171] 中：
res = tlrt(y, p=1, d=1, a=0.15, b=0.85)
res$percentiles
14.1
85.9
$test.statistic
: 142.291963130459
$p.value
: 0模型诊断
应用残差剖析实现模型诊断。TAR 模型的残差定义为
标准化残差是通过适当的标准偏差标准化的原始残差：
如果 TAR 模型是真正的数据机制，则标准化残差图应看起来是随机的。能够通过查看标准化残差的样本 ACF 来查看标准化误差的独立性假如。
# 模型诊断
diag(model.tar.best, gof.lag=20)
预测
预测散布通常是非正态的。通常，采纳模仿办法进行预测。思考模型
而后给定 Yt = yt，Yt-1 = yt-1，…
因而，能够通过从误差散布中绘制 et + 1 并计算 h（yt，et + 1），来取得单步预测散布的 Yt + 1 的实现。。
通过独立反复此过程 B 次，您能够 从向前一步预测散布中随机取得 B 值样本。
能够通过这些B 值的样本平均值来预计提前一步的预测平均值。
通过迭代，能够轻松地将仿真办法扩大为找到任何 l 步提前预测散布：
其中 Yt = yt 和 et + 1，et + 2，…，et + l 是从误差散布得出的 ll 值的随机样本。
在 [173] 中：
# 预测
model.tar.pred r.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)
y.pred = ts(c
lines(ts(model.tar.pred$pred.interval\[2,\], start=end(y) + c(0,1), freq=1), lty=2)
lines(ts(model
样例
这里模仿的工夫序列是 1700 年至 1988 年太阳黑子的年数量。
在 [174] 中：
# 数据集
#太阳黑子序列，每年
plot.ts(sunsp
# 通过滞后回归图查看非线性
lagplot(sunspo)
# 应用假设检验查看线性
Keenan.test(sunspot.year)
Tsay.test(sunspot.year)$test.stat
18.2840758932705
$p.value
2.64565849317573e-05
$order
9
$test.stat
3.904
$p.value
6.689e-12
$order
9在 [177] 中：
# 应用 MAIC 办法
AIC{sunspot.tar.s = tar(sunspot.year, p1 = 9, p2 = 9, d = d, a=0.15, b=0.85)
AICM
在 [178] 中：
# 测试阈值非线性
tl(sunspot.year, p=9, d=9, a=0.15, b=0.85)$percentiles
15
85
$test.statistic
: 52.2571950943405
$p.value
: 6.8337179274236e-06# 模型诊断
tsdiag(sunspot.tar.best)
# 预测
sunspot.tar.pred <- predict(sunspot.tar.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)
lines(ts(sunspot.tar.pred$pretart=e
# 拟合线性 AR 模型
#pacf(sunspot.year)
#尝试 AR 阶数 9
ord = 9
ar.mod <- arima(sunspot.year, order=c(ord,0,0), method="CSS-ML")
plot.ts(sunspot.year\[10:289\]
模仿 TAR 模型上的 AR 性能
_示例 1._ 将 AR（4）拟合到 TAR 模型
set.seed(12349)
#低机制参数
i1 = 0.3
p1 = 0.5
s1 = 1
#高机制参数
i2 = -0.2
p2 = -1.8
s2 = 1
thresh = -1
delay = 1
nobs = 200
#模仿 200 个样本
y=sim(n=nobs,Phi1=c(i1,p1),Phi$y
#应用 Tsay 的测验确定最佳 AR 阶数
ord <- Tsay.test(y)$order
#线性 AR 模型
#pacf(sunspot.year)
#try AR order 4
_例子 2._ 将 AR（4）拟合到 TAR 模型
_例子 3._ 将 AR（3）拟合到 TAR 模型
_例子 3._ 将 AR（7）拟合到 TAR 模型
参考文献
恩惠斯（W. Enders），2010 年。利用计量经济学工夫序列
最受欢迎的见解
1. 在 python 中应用 lstm 和 pytorch 进行工夫序列预测
2.python 中利用长短期记忆模型 lstm 进行工夫序列预测剖析
3. 应用 r 语言进行工夫序列（arima，指数平滑）剖析
4.r 语言多元 copula-garch- 模型工夫序列预测
5.r 语言 copulas 和金融工夫序列案例
6. 应用 r 语言随机稳定模型 sv 解决工夫序列中的随机稳定
7.r 语言工夫序列 tar 阈值自回归模型
8.r 语言 k -shape 工夫序列聚类办法对股票价格工夫序列聚类
9.python3 用 arima 模型进行工夫序列预测