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在事物的倒退过程中,常体现出简单的稳定状况,即时而稳定的幅度较缓,而又时常呈现稳定会聚性 (VolatilitY clustering), 在危险钻研中常常遇到这种状况。恩格尔(Engle) 在 1982 年提出了用来形容方差稳定的自回归条件异方差模型 ARCH (Autoregressive conditional heteroskedasticity model)。并由博勒斯莱 文 (Bollerslev, T., 1986) 倒退成为狭义自回归条件异方 差 GARCH (Generalized ARCH), 起初又倒退成为很多的非凡模式。
在 AR(1)过程的背景下,咱们花了一些工夫来解释当 靠近于 1 时会产生什么。
- 如果 过程是安稳的,
- 如果 该过程是随机游走
- 如果 这个过程会大幅稳定
同样,随机游走是十分乏味的过程,具备令人费解的个性。例如,
作为 ,并且该过程将有限次穿过 _x_轴……
咱们认真钻研了 ARCH(1) 过程的性质,尤其是当 ,咱们失去的后果可能令人费解。
思考一些 ARCH(1) 过程 ,具备高斯噪声,即
其中
是一个 iid 序列 变量。这里 和 必须是正的。
回顾 因为 . 因而
,所以方差存在,并且只有当 , 在这种状况下
此外,如果 ,则能够失去第四矩,
. 当初,如果咱们回到钻研方差时取得的属性,如果 ,或者 ?
如果咱们查看模仿,咱们能够生成一个 ARCH(1) 过程,例如。
> ea=rnorm
> eson=rnorm
> sga2=rep
> for(t in 2:n){> plot
为了了解产生了什么,咱们应该记住,咱们好的是,必须在 之间可能计算出 的第二时刻。然而,有可能有一个具备有限变异的安稳过程。
迭代
一次又一次地迭代……
其中
在这里,咱们有一个正项的总和,咱们能够应用所谓的 Cauchy rule:定义
那么,如果 , 收敛。这里,
也能够写成
并且依据大数定律,因为咱们这里有一个独立同散布项的总和,
因而,如果 ,而后 会有限度,当 取无穷大。
下面的条件能够写成
这就是所谓的 Lyapunov 系数。
方程
是 一个条件 .
在这种状况下 ,这个上界的数值是 3.56。
> 1/exp(mean(log(rnorm(1e7)^2)))
在这种状况下(),方差可能是有限的,但序列是安稳的。另一方面,如果 ,而后 简直必定会走向无穷大,因为 走向无穷大。
然而为了察看这种差别,咱们须要大量的察看。例如,
和 ,
咱们很容易看出区别。我并不是说很容易看出下面的散布具备有限的方差,但依然如此。实际上,如果咱们思考希尔在上述系列中的图片,在侧面的尾巴上 的
实际上,如果咱们思考对上述系列的绘希尔图,在正 的尾部
> hil
或负 的尾部
-epsilon
咱们能够看到,尾部指数(严格来说)小于 2(意味着 2 阶的时刻不存在)。
为什么它令人费解?兴许是因为这里 不是弱安稳(在 意义上),而是强安稳。这不是通常的弱和强的关系形式。这可能就是为什么咱们不称其为强平稳性,而称其为严格平稳性。
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