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这篇文章是对于 copulas 和重尾的。在寰球金融危机之前，许多投资者是多元化的。
看看上面这张相熟的图：
黑线是近似正态的。红线代表 Cauchy 散布，它是具备一个自由度的 T 散布的一个非凡状况。兴许是因为 Cauchy 和 t 散布混在一起。咱们总是能够计算出教训方差。请看下图。这是对 1 自由度的 t 散布（红色的 Cauchy 散布）和 5 自由度的 t 散布（蓝色）的模仿后果。
为了比拟不同的尾部行为，咱们有咱们所谓的尾部指数。简而言之，在简直任何散布中，某个阈值之后的观测值（比如说最差的 5% 的状况下的观测值）都是渐进式的帕累托散布。
其中 x_m 是截止点，α 将决定尾巴的形态。α 也被称为尾部指数。
当初大家都晓得，金融收益呈现出厚尾。这使得放弃投资组合为左尾事件做好筹备变得更加重要，因为在那个区域，因为相关性的减少，你会同时受到所有资产的影响（正如金融危机所证实的那样）。在这个探讨中，_copulas_施展了重要的作用。_copulas_的概念是相当奇妙的。copula 这个词起源于拉丁语，它的意思是捆绑。当咱们有两个（或更多）资产类别的收益，咱们能够假如或模仿它们的散布。做完这些之后，咱们能够把它们 “ 粘贴 “ 在一起，只对相干局部进行建模，而不思考咱们最后对它们各自散布的建模形式。怎么做？
咱们从英国统计学家 Ronald Fisher 开始，他在 1925 年证实了一个十分有用的性质，即任何间断随机变量的累积散布函数都是均匀分布的。模式上，对于任何随机变量 X，如果咱们示意 作为 X 的累积散布，则 。请记住，当咱们说 ，它仅意味着概率，。这就是 [0,1] 的起源，因为它只是一个概率。从三种不同的散布进行模仿：指数、伽玛和学生 -t，变换它们并绘制直方图：
par(mfrow=c(3,1)) # 宰割屏幕
apply(tm, 2, hist,xlab="", col ="azue") # 绘制
您能够通过这种形式转换任何间断散布。当初，将两个变换后的随机数示意为 和 . 咱们能够将它们“绑定”（copula）：. 其中， 是一些函数，并且因为原始变量是“不可见的”（当咱们将其转换为 Uniform 时隐没了），所以咱们当初只探讨两个变量之间的相关性。例如 能够是具备一些相干参数的二元正态分布。我不会在这里写出双变量正态密度，但它只是一个密度，因而，它将阐明在中心地带察看到两个变量在一起的概率，和 / 或在尾部一起的概率。这是绕过原始变量的散布，只谈相干构造的一种形式。
当初让咱们对金融和生产必需品之间的相干构造进行建模。从拉取数据开始：
da0 = (getSymbols(sym\[1\])
for (i in 1:l){
da0 = getSymbols
w <- dailyReturn
w0 <- cbind(w0,w1)
}
apply(rt0, 2, mean) # 定义平均数
apply(rt0, 2, var) # 和标准差
cor(et0) # 无条件的相干关系。
咱们当初要做的是依照探讨的办法对数据进行转换（称之为概率积分转换），并将其绘制进去。同时，咱们模仿两个具备雷同（量化 - 非条件）相关性的随机常模，并比拟这两个数字。
desiy <- kde2d
contour
# 当初从两个具备雷同相关性进行模仿。smnom <- rmvnorm
trnorim_rm <- appl
mdni_im <- kde2d
plot
contour
title
乍一看，这两个数字看起来差不多。但更具体的察看发现，角落更快地收敛到（0,0）、（1,1）坐标。这也是由这些区域的深色等值线色彩表明的。请记住，模仿数据应用的是与实在数据雷同的教训相关性，所以咱们在这里探讨的其实只是构造。
当初让咱们生成一个 copula 函数 ，咱们能够用它来 “ 包裹 “ 或 “ 捆绑 “ 咱们的转换后的收益。咱们定义了一个重尾（df=1）和一个轻尾（df=6）的 copula。咱们能够直观地看到这个函数实际上是什么样子的。这样做的形式与咱们可视化正态密度的形式差不多，但当初因为它是一个双变量函数，所以它是一个三维图。
she <- 0.3
persp(colahevy)
接下来你能够看到通常的相关性度量是雷同的，除了尾部指数，因为咱们只探讨构造，而不是大小。
tau(colight)
tau(coheavy)
rho(colight)
rho(copheavy)
tailIpulight)
tailIheavy)
高低尾不肯定雷同。这只是 t-copula 是对称函数的一个特色。在利用中，应该应用更实在的非对称 copula。
当初咱们定义边缘，并预计 copula 参数。为简略起见，我为收益定义了 Normal 边缘散布，但 copula 依然是 t-dist 且重尾：
# 用从数据中预计的参数来定义你的边际。copurmal <- mvdc
# 拟合 copula。这个函数的默认值是暗藏正告，所以如果产生谬误。# 增加 "hideWarnings=FALSE"，这样它就会通知你是否有什么谬误
coporm <- fitMvdc
该函数返回一个有那些可用的 S4 类。copurm@mvc@cpla
coporm@estiat
coporm@fittng.sas
coporm@va.st
print
summaryest <- coeffic # 咱们本人的估计值
mycop <- mvdc
# 从拟合的 copula 进行模仿
simd <- rMvdc
plot
相干构造看起来还不错 – 但你必定能够看到正态边缘是不够的，有几个黑点（实在数据）在红色模仿簇之外。
顺便提一下，当初咱们也能够预计那些没有预先指定形态的 copulas，比方正态或 t，但它们自身就是预计。这属于 “ 非参数 copulas “ 这个更简单的主题。
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