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摘要
在这项工作中，我通过创立一个蕴含四只基金的模型来摸索 copula，这些基金跟踪股票、债券、美元和商品的市场指数。而后，我应用该模型生成模仿值，并应用理论收益和模仿收益来测试模型投资组合的性能，以计算危险价值 (VaR) 与冀望损失(ES)。
一、介绍与概述
Copulas 对多元散布中变量之间的相关性进行建模。它们容许将多变量依赖关系与单变量边缘散布相结合，容许咱们对形成多变量数据的每个变量应用许多单变量模型。Copulas 在 2000 年代开始风行。依据 Salmon (2009) 的说法，Li (2000) 最近提出的 Copulas 利用之一是 2008 年开始的金融危机。咱们将应用 copulas 来模仿四个 ETF 基金的行为：IVV，跟踪规范普尔 500 指数；TLT，跟踪长期国债；UUP，追踪外汇指数；以及商品的 DBC
二、实践背景
copula 是一个多变量 CDF，其边缘散布都是 Uniform (0,1)。假如 Y 有 d 维，并且有一个多元 和边缘 。很容易证实，每个 都是 Uniform(0,1)。因而， 的 CDF 依据定义是一个 copula。应用 Sklar (1973) 的定理，而后咱们能够将咱们的随机变量 Y 合成为一个 copula CY，它蕴含对于咱们的变量 Y 之间相互依赖的信息，以及单变量边缘 CDFs FY，它蕴含对于每个变量的所有信息单变量边缘散布。对于 d 维，咱们有：
并使每个，咱们有：
如果咱们对等式（2）进行微分，咱们会发现 Y 的密度为：
方程 (3) 中的后果容许咱们创立多变量模型，这些模型思考了变量的互相依赖性（方程的第一局部）和每个变量的散布（方程的第二局部）。咱们能够应用 copula 和边缘局部的参数版本来创立可用于运行测试和执行预测的模型。在接下来的几节中，咱们将应用用于统计计算的 R 语言将高斯和 t-copula 拟合到介绍中形容的 ETF 的对数收益率。有了 copula 和边缘，咱们将应用模型来确定投资的危险价值 (VaR) 和预期损失 (ES)。
三、算法实现与开发
像平常一样，咱们从读取文件开始。图 1 显示了价格图：留神 IVV 和 DBC（股票和商品）之间的关系以及 TLT 和 UUP（元和国债）之间的关系。
# 将 ETF 读入
read.zoo("F.csv")
# 获取最近 501 天
tf\[(T-500):T,\]
# 绘制价格
pdf("价格.pdf")
在这种状况下，咱们计算对数收益率。图 2 显示了收益图。
# 计算对数收益
le <- lag(e，-1
log(ef) - log(lef) ) * 100
而后咱们做一个配对图来确定后果是否相干，例如，正如冀望的那样，IVV 和 DBC 之间存在十分高的相关性。图 3 显示了配对图。而后咱们取得边距的参数，拟合每个变量的散布。后果见表一
# 拟合散布
fitdr
## 失去后果矩阵
# 将 AIC 函数利用于第一项（值）# params 列表的第四项 (loglik)
AIC(saply (saply(prms, 4))
# params 列表的第一项（预计）sapply (sapply(pams,3))
图 4 显示了拟合散布与来自变量的实在数据进行比拟的图。当初咱们有了边缘散布，咱们须要找到模型的 copula。咱们首先应用概率变换并取得 中的每一个，咱们晓得它们是 Uniform(0,1)。这是通过以下代码实现的：
# 当初咱们须要均匀分布
IV <- pct(IVV, a)
rt <- cbind(uV uL, UP, DC)图 5 显示了均匀分布之间的相关性。通过均匀分布，咱们能够看到哪种类型的参数 copula 最适宜。咱们将拟合高斯 copula 和 t-copula，记录它们的 AIC 并查看哪一个提供了最佳拟合。
图 5：均匀分布之间的相关性
# 拟合高斯 copula
fit.gaussian <- fitCopula (ncp))
# 记录拟合的 AIC
fit.aic = AIC(filik,
############################################### ############
# 当初是 t-copula
fitCopula (tcop, url00))
# 记录拟合的 AIC
AIC(fiik
length(fite)比拟两种拟合，如表 II 所示，咱们发现 t-copula 拟合最好，因而咱们将依据 t-copula 的参数创立一个模型。而后，咱们应用该模型生成 10,000 个察看后果，模仿咱们模型的可能后果。咱们的模仿模型与拟合模型之间的图形比拟能够在图 6 中看到 – 模仿十分靠近拟合模型。
tCopula(parun")
cop.dist <- mvdc(copt,
parast1)
rmvdc(co00)当初咱们有了模仿的察看后果，咱们将应用参数办法计算危险价值 (VaR) 和预期损失 (ES)。咱们将假如一个投资组合（任意抉择）在 IVV 中投资 30%，在 TLT 中投资 15%，在 UUP 中投资 35%，在 DBC 中投资 20%。为了计算投资组合 w 的收益率 Rp，咱们简略地应用矩阵代数将咱们的模仿收益率 Rs 乘以权重，如 Rp = Rs × w。而后咱们将 t 散布拟合到 Rp 并应用它来预计 VaR 和 ES。对于 t 散布，VaR 和 ES 的公式为：
其中：
• S：仓位大小
• F -1 ν：逆 CDF 函数
• fν：密度函数 • µ：平均值
• λ：形态 / 尺度参数
• ν：自由度
• α：置信水平
R 中公式的利用实现如下。请留神，在代码中，VaR 和 ES 被四舍五入到最靠近的千位。后果在表 III 中。
# 计算模仿值的 VaR 和 ES
fitdistr(re, "t")
es <- -m+lada\*es1\*es2咱们的最终工作是计算非参数 ES 和 VaR，由以下公式给出：
其中：
• S：仓位大小
• qˆ(α)：样本收益率的分位数
• Ri：第 i 个样本收益率
R 实现如下：
# 计算实在值的 VaR 和 ES
ret <- (rf %*% w) / 100
ES <- -S * sum(ret * ir) / sum (iar)后果示于表 III 中。
四、计算结果
表 I 显示了 ETF 边缘 t 散布的预计参数和 AIC 的后果：
表 I 边缘散布
两个 copula 拟合的 AIC 都在表 II 中。
表 II Copula AIC
VaR 和 ES 在表 III 中。
表三 VaR 和 ES
五、总结与论断
这项工作展现了如何预计边缘和 copula，以及如何利用 copula 来创立一个模型，该模型将思考变量之间的互相依赖性。它还展现了如何计算危险价值 (VaR) 和冀望损失 (ES)。
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