关于数据挖掘:Matlab正态分布历史模拟法加权移动平均线-EWMA估计风险价值VaR和回测标准普尔指数-SP500时间序列附代码数据

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最近咱们被客户要求撰写对于危险价值的钻研报告，包含一些图形和统计输入。

此示例阐明如何应用三种办法预计危险价值 (VaR) 并执行 VaR 回测剖析。这三种办法是：

正态分布
历史模仿
指数加权挪动平均线 (EWMA)

危险价值是一种量化与投资组合相干的危险程度的统计办法。VaR 掂量指定工夫范畴内和给定置信水平的最大损失量。

回测掂量 VaR 计算的准确性。应用 VaR 办法，计算损失预测，而后与第二天完结时的理论损失进行比拟。预测损失和理论损失之间的差别水平表明 VaR 模型是低估还是高估了危险。因而，回测回顾数据并有助于评估 VaR 模型。

本示例中应用的三种预计办法在 95% 和 99% 的置信水平下预计 VaR。

加载数据。本例中应用的数据来自规范普尔指数从 1993 年到 2003 年的工夫序列收益率。

tik2rt(sp);

将预计窗口定义为 250 个交易日。测试窗口从 1996 年的第一天开始，始终继续到样本完结。

WinSze = 250;

对于 95% 和 99% 的 VaR 置信水平。

p = [0.05 0.01];

这些值意味着别离有至少 5% 和 1% 的概率产生的损失将大于最大阈值（即大于 VaR）。

对于正态分布法，假如投资组合的损益呈正态分布。应用此假如，通过将每个置信水平的_z_分数乘以收益率的标准差来计算 VaR。因为 VaR 回溯测试对数据进行追溯，因而“明天”的 VaR 是依据过来_N_ = 250 天（但不包含“明天”）的收益率值计算得出的。

for t = TtWnow
    i = t - TsWidoSrt + 1;
    Esationdw = t-EtiWinwSze:t-1;
    gma = std(Returns(tmWinow));
    Noa95(i) = -Zscre(1)*Sima;
    Nrml99(i) = -Zsore(2)*Sigma;
end


plot(DaeRtuns(TsWidw),[Nrm95 oma99])

正态分布办法也称为参数 VaR，因为它的预计波及计算收益率标准差的参数。正态分布办法的长处是简略。然而，正态分布办法的弱点是假如收益率是正态分布的。正态分布办法的另一个名称是方差 - 协方差办法。

与正态分布办法不同，历史模仿 (HS) 是一种非参数办法。它不假如资产收益的特定散布。历史模仿通过假如过来的损益能够作为下一个收益期的损益调配来预测危险。“明天”的 VaR 计算为“明天”之前最初_N 次_收益率的 _第 p_个分位数。

for t = Tstidow
    i = t - Tsidwtt + 1;
    Htrl95(i) = -qate(X,pVR(1));
    Hii99(i) = -qatie(X,pVaR(2));


fiure;
plot(Dtr(Ttow),[Hic95 Hstrl99])

从上图能够看出，历史模仿曲线具备分段不变的轮廓。其起因是，在极其事件产生之前，量值在几天内不会发生变化。因而，历史模仿办法对稳定率的变动反馈迟缓。

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Python 蒙特卡罗（Monte Carlo）模拟计算投资组合的危险价值（VaR）

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前两个 VaR 办法假如所有过来的收益率都具备雷同的权重。指数加权挪动均匀 (EWMA) 办法调配不相等的权重，尤其是指数递加的权重。最近的收益率具备更高的权重，因为它们对“明天”收益率的影响比过来更远的收益率更大。大小预计窗口上的 EWMA 方差公式是：

是归一化常数：

为不便起见，咱们假如一个无限大的预计窗口来近似方差：

实际中常常应用的衰减因子的值为 0.94。这是本示例中应用的值。

启动 EWMA 设置标准偏差。

Laa = 0.94;

for i = 2 : (Tsart-1)
    Sm2(i) = (1-Labda) * Rts(i-1)^2 + Lama * m2(i-1);

在测试窗口中应用 EWMA 来预计 VaR。

for t = TeWio

    EWMA95 (k) = -Zscre(1)*Sima;
    EWMA99(k) = -Zsoe(2)*Siga;
end

plot(DR,[EWMA95 EWMA99])

在上图中，EWMA 对大（或小）收益率期间的反馈十分迅速。

在本示例的第一局部中，应用三种不同的办法和两种不同的 VaR 置信水平在测试窗口上预计了 VaR。VaR 回测的指标是评估 VaR 模型的性能。95% 置信度的 VaR 估计值仅在大概 5% 的工夫内被违反。VaR 失败的集群表明不足跨工夫的独立性，因为 VaR 模型对一直变动的市场条件反馈迟缓。

VaR 回测剖析中常见的第一步是将收益率和 VaR 估计值绘制在一起。在 95% 的置信水平上绘制所有三种办法，并将它们与收益率进行比拟。

Rtnet = Rrns(Tstnow);
DesTst   = Das(TsWnow);
fige;
plot

为了突出不同的办法如何对一直变动的市场条件做出不同的反馈，您能够放大收益率值产生微小和忽然变动的工夫序列。例如，大概在 1998 年 8 月：

Zm   = (Da >= da(1998,8,5)) & (D <= da(1998,10,31);


br(D,);

for i = 1 : sze(Vata,2)
    sts(D-0.5,VaRData(:,i),VaFt{i});

plot(D(IN95),-N(nN95)

当收益为负 VaR 时，就会产生 VaR 失败。仔细观察 8 月 27 日至 8 月 31 日，会发现收益率显着降落。从 8 月 27 日起，EWMA 更亲密、更精确地跟踪收益率趋势。因而，与正态分布办法（7 次失败，蓝色）或历史模仿办法（8 次失败，红色）相比，EWMA 的 VaR 失败（2)次失败，紫色）较少。

除了可视化工具，您还能够应用统计测试进行 VaR 回测。在此示例中，首先比拟正态分布办法在 95% 和 99% VaR 程度下的不同测试后果。

bctet(etet,[Nrml95 Noml99]);
summary

摘要报告显示察看到的程度与定义的 VaR 程度足够靠近。95% 和 99% VaR 程度至少具备冀望失败，其中 N 是察看次数。失败率表明 VaR 程度在范畴内，而 VaR 程度不准确并且低估了危险。运行所有反对的测试 (1-VaR_level) x _N_

test(vt)

95% 的 VaR 通过了测试，如二项式和失败比例测试（TL、BIN 和 POF 列）。99% 的 VaR 没有通过这些雷同的测试，如回绝后果所示。在条件覆盖率独立性和间隔时间独立性（ci 和 tbfi 列）中，两个置信度都被回绝。这个结果表明，VaR 的违反不是独立的，可能在短时间内有屡次失败的期间。另外，一次失败可能会使其余失败在随后的日子里更有可能产生。

在两个 VaR 置信水平下对三种办法的投资组合运行雷同的测试。

 rbackest

后果和之前的后果差不多，在 95% 的程度上，后果根本能够承受。然而，在 99% 程度的后果通常是回绝。对于独立性，大多数测试通过了条件笼罩独立性测试，间断几天测试独立性。请留神，所有测试都失败了独立性测试之间的工夫距离，它思考了所有失败之间的工夫。这个结果表明所有办法都存在独立性假如的问题。

为了更好地理解这些后果如何在市场条件下发生变化，请查看 2000 年和 2002 年的 95% VaR 置信水平。

n00 = yar(aet) == 2000);

I22 = (ea) == 2002);
v202 = rbks(RtrTt(n202

2000 年，这三种办法都通过了所有的测试。然而，2002 年的测试后果大多是所有办法都被回绝。EWMA 办法仿佛在 2002 年体现更好，但所有办法都未能通过独立性测试。

要更深刻地理解独立性测试，请查看条件笼罩独立性和失败间隔时间独立性 2002 年的测试详细信息。运行各个测试性能。

cci

在 CCI 测试中，晓得在工夫_t_ - 1 没有失败的状况下，在工夫_t_产生失败的概率 p 由下式给出01

在工夫_t_产生失败的概率 p，晓得在工夫_t_ - 1 产生失败，由下式给出11

从测试后果中的 N00, N10, N01, N11 列来看，三种办法的_p_ 值 01都在 5% 左右，而_p_ 值 11 都在 20% 以上。因为有证据表明一个失败之后呈现另一个失败的频率远高于 5%，所以这个 CCI 测试失败了。

在失败间隔时间独立性测试中，查看失败间隔时间散布的最小值、最大值和四分位数，在TBFMin、TBFQ1、TBFQ2、TBFQ3、列中 TBFMax。

tbfi

对于 95% 的 VaR 程度，您预计失败之间的均匀工夫为 20 天，或每 20 天产生一次失败。然而，对于这三种办法，2002 年的失败间隔时间的中位数介于 5 到 7.5 之间。该结果表明，在一半的状况下，间断两次失败产生在 5 到 7 天内，比冀望的 20 天要频繁得多。因而，会产生更多的测试失败。对于正态办法，第一个四分位数是 1，这意味着 25% 的失败产生在间断几天。

Danielsson, J. _金融风险预测：预测市场危险的实践和实际_。威利财经，2012 年。

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本文选自《Matlab 正态分布、历史模拟法、加权挪动平均线 EWMA 预计危险价值 VaR 和回测规范普尔指数 S&P500 工夫序列》。

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