关于数据挖掘:Copula估计边缘分布模拟收益率计算投资组合风险价值VaR与期望损失ES附代码数据

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最近咱们被客户要求撰写对于 Copula 的钻研报告,包含一些图形和统计输入。

在这项工作中,我通过创立一个蕴含四只基金的模型来摸索 copula,这些基金跟踪股票、债券、美元和商品的市场指数

摘要

而后,我应用该模型生成模仿值,并应用理论收益和模仿收益来测试模型投资组合的性能,以计算危险价值 (VaR) 与冀望损失(ES)。

一、介绍与概述

Copulas 对多元散布中变量之间的相关性进行建模。它们容许将多变量依赖关系与单变量边缘散布相结合,容许咱们对形成多变量数据的每个变量应用许多单变量模型。Copulas 在 2000 年代开始风行。依据 Salmon (2009) 的说法,Li (2000) 最近提出的 Copulas 利用之一是 2008 年开始的金融危机。咱们将应用 copulas 来模仿四个 ETF 基金的行为:IVV,跟踪规范普尔 500 指数;TLT,跟踪长期国债;UUP,追踪外汇指数;以及商品的 DBC

二、实践背景

copula 是一个多变量 CDF,其边缘散布都是 Uniform (0,1)。假如 Y 有 d 维,并且有一个多元  和边缘。很容易证实,每个 都是 Uniform(0,1)。因而,的 CDF 依据定义是一个 copula。应用 Sklar (1973) 的定理,而后咱们能够将咱们的随机变量 Y 合成为一个 copula CY,它蕴含对于咱们的变量 Y 之间相互依赖的信息,以及单变量边缘 CDFs FY,它蕴含对于每个变量的所有信息单变量边缘散布。对于 d 维,咱们有:

并使每个,咱们有:

如果咱们对等式(2)进行微分,咱们会发现 Y 的密度为:

方程 (3) 中的后果容许咱们创立多变量模型,这些模型思考了变量的互相依赖性(方程的第一局部)和每个变量的散布(方程的第二局部)。咱们能够应用 copula 和边缘局部的参数版本来创立可用于运行测试和执行预测的模型。在接下来的几节中,咱们将应用用于统计计算的 R 语言将高斯和 t-copula 拟合到介绍中形容的 ETF 的对数收益率。有了 copula 和边缘,咱们将应用模型来确定投资的危险价值 (VaR) 和预期损失 (ES)。


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三、算法实现与开发

像平常一样,咱们从读取文件开始。图 1 显示了价格图:留神 IVV 和 DBC(股票和商品)之间的关系以及 TLT 和 UUP(元和国债)之间的关系。

# 将 ETF 读入

read.zoo("F.csv")
# 获取最近 501 天

tf[(T-500):T,]
# 绘制价格

pdf("价格.pdf")

在这种状况下,咱们计算对数收益率。图 2 显示了收益图。

# 计算对数收益
le <- lag(e,-1
log(ef) - log(lef) ) * 100

而后咱们做一个配对图来确定后果是否相干,例如,正如冀望的那样,IVV 和 DBC 之间存在十分高的相关性。图 3 显示了配对图。而后咱们取得边距的参数,拟合每个变量的散布。后果见表一

# 拟合散布
 fitdr
## 失去后果矩阵
# 将 AIC 函数利用于第一项(值)# params 列表的第四项 (loglik)
AIC(saply (saply(prms, 4))

# params 列表的第一项(预计)sapply (sapply(pams,3))

图 4 显示了拟合散布与来自变量的实在数据进行比拟的图。当初咱们有了边缘散布,咱们须要找到模型的 copula。咱们首先应用概率变换并取得  中的每一个,咱们晓得它们是 Uniform(0,1)。这是通过以下代码实现的:

# 当初咱们须要均匀分布
IV <- pct(IVV, a)
rt <- cbind(uV uL, UP, DC)

图 5 显示了均匀分布之间的相关性。通过均匀分布,咱们能够看到哪种类型的参数 copula 最适宜。咱们将拟合高斯 copula 和 t-copula,记录它们的 AIC 并查看哪一个提供了最佳拟合。

图 5:均匀分布之间的相关性

# 拟合高斯 copula

fit.gaussian <- fitCopula (ncp))
# 记录拟合的 AIC
fit.aic = AIC(filik,

############################################### ############
# 当初是 t-copula

fitCopula (tcop, url00))
# 记录拟合的 AIC

AIC(fiik
length(fite)

比拟两种拟合,如表 II 所示,咱们发现 t-copula 拟合最好,因而咱们将依据 t-copula 的参数创立一个模型。而后,咱们应用该模型生成 10,000 个察看后果,模仿咱们模型的可能后果。咱们的模仿模型与拟合模型之间的图形比拟能够在图 6 中看到 – 模仿十分靠近拟合模型。

tCopula(parun")
cop.dist <- mvdc(copt,
parast1)
rmvdc(co00)

当初咱们有了模仿的察看后果,咱们将应用参数办法计算危险价值 (VaR) 和预期损失 (ES)。咱们将假如一个投资组合(任意抉择)在 IVV 中投资 30%,在 TLT 中投资 15%,在 UUP 中投资 35%,在 DBC 中投资 20%。为了计算投资组合 w 的收益率 Rp,咱们简略地应用矩阵代数将咱们的模仿收益率 Rs 乘以权重,如 Rp = Rs × w。而后咱们将 t 散布拟合到 Rp 并应用它来预计 VaR 和 ES。对于 t 散布,VaR 和 ES 的公式为:

其中:

• S:仓位大小

• F -1 ν:逆 CDF 函数

• fν:密度函数 • µ:平均值

• λ:形态 / 尺度参数

• ν:自由度

• α:置信水平

R 中公式的利用实现如下。请留神,在代码中,VaR 和 ES 被四舍五入到最靠近的千位。后果在表 III 中。

# 计算模仿值的 VaR 和 ES


fitdistr(re, "t")
es <- -m+lada*es1*es2

咱们的最终工作是计算非参数 ES 和 VaR,由以下公式给出:

其中:

• S:仓位大小

• qˆ(α):样本收益率的分位数

• Ri:第 i 个样本收益率

R 实现如下:

# 计算实在值的 VaR 和 ES
ret <- (rf %*% w) / 100

ES <- -S * sum(ret * ir) / sum (iar)

后果示于表 III 中。

四、计算结果

表 I 显示了 ETF 边缘 t 散布的预计参数和 AIC 的后果:

表 I 边缘散布

两个 copula 拟合的 AIC 都在表 II 中。

表 II Copula AIC

VaR 和 ES 在表 III 中。

表三 VaR 和 ES

五、总结与论断

这项工作展现了如何预计边缘和 copula,以及如何利用 copula 来创立一个模型,该模型将思考变量之间的互相依赖性。它还展现了如何计算危险价值 (VaR) 和冀望损失 (ES)。


本文摘选 R 语言 Copula 预计边缘散布模仿收益率计算投资组合危险价值 VaR 与冀望损失 ES ,点击“浏览原文”获取全文残缺材料。


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