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nn.CrossEntropyLoss()
1. 引言
在应用 pytorch 深度学习框架做多分类时，计算损失函数通常会应用穿插熵损失函数 nn.CrossEntropyLoss()
2. 信息量和熵
信息量：它是用来掂量一个事件的不确定性的；一个事件产生的概率越大，不确定性越小，则它所携带的信息量就越小。假如 $X$ 是一个离散型的随机变量，其取值汇合为 $X$ = $x_0，x_1，，，x_n$, 其概率分布函数为 $p(x) = Pr(X = x),x\in X$, 则定义事件 $X = x_0$ 的信息量为：
$$
I(x_i) = -log(p(x_i))
$$
当 $p(x_0) = 1$ 时，该事必然产生，其信息量为 0。
熵
熵用来掂量一个零碎的凌乱水平，代表零碎中信息量的总和；熵值越大，表明这个零碎的不确定性就越大。
信息量是掂量某个事件的不确定性，而熵是掂量一个零碎（所有事件）的不确定性。
熵的计算公式:
$$
H(x) = -\sum_{i=1}^np(x_i)log(p(x_i))
$$
其中，$p(x_i)为事件 X = x_i 的概率，-log(p(x_i))为事件 X = x_i 的信息量。$
能够看出，熵是信息量的期望值，是一个随机变量（一个零碎，事件所有可能性）不确定性的度量。熵值越大，随机变量的取值就越难确定，零碎也就越不稳固；熵值越小，随机变量的取值也就越容易确定，零碎越稳固。
穿插熵 Cross Entropy
穿插熵次要是用来断定理论的输入与冀望的输入的靠近水平，也就是穿插熵的值越小，两个概率分布就越靠近。假如概率分布 p 为冀望输入，概率分布 q 为理论输入，$H(p,q)$ 为穿插熵，则表达式：
（1）二分类
$$
H(p,q) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N H(p(x_i),q(x_i)) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N -(p(x_i)log(q(x_i)))+(1-p(x_i))log(1-q(x_i))
$$
其中：
N 示意一个 batch 的样本数
$p(x_i)$ 示意样本 i 的 label，正类为 1，负类为 0
$q(x_i)$ 示意样本 i 预测为正的概率
（2）多分类
$$
H(p,q) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N H(p(x_i),q(x_i)) = – \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^M p(x_{ij})log(q(x_{ij}))
$$
其中：
M 示意类别数
$p(x_{ij})$ 示意变量（0 或 1）, 如果该类别和样本 i 的类别雷同就是 1，否则是 0；
$q(x_{ij})$ 示意对于观测样本 i 属于类别 $j$ 的预测概率。
举例
| x | 猫 | 狗 | 马 |
|---|---|---|---|
| Label | 0 | 0 | 1 |
| Pred | 0.1 | 0.1 | 0.8 |
那么一个样本的 loss 为：
$loss= -(0 * log(0.1)+0*log(0.1)+1*log(0.8)) = 0.22$
pytorch 中的穿插熵
在 pytorch 中，和我了解的穿插熵不一样。nn.CrossEntropyLoss()是 nn.logSoftmax()和 nn.NLLLoss()的整合, 能够间接应用它来替换网络中的这两个操作。上面看一下官网的解释：