关于segmentfault:最大子序和

读完本文，你能够去力扣拿下如下题目：

53. 最大子序和

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最大子数组问题和前文讲过的经典动静布局：最长递增子序列的套路十分类似，代表着一类比拟非凡的动静布局问题的思路：

其实第一次看到这道题，我首先想到的是滑动窗口算法，因为咱们前文说过嘛，滑动窗口算法就是专门解决子串 / 子数组问题的，这里不就是子数组问题么？

然而，稍加剖析就发现，这道题还不能用滑动窗口算法，因为数组中的数字能够是正数。

滑动窗口算法无非就是双指针造成的窗口扫描整个数组 / 子串，但要害是，你得分明地晓得什么时候应该挪动右侧指针来扩充窗口，什么时候挪动左侧指针来减小窗口。

而对于这道题目，你想想，当窗口扩充的时候可能遇到正数，窗口中的值也就可能减少也可能缩小，这种状况下不晓得什么机会去膨胀左侧窗口，也就无奈求出「最大子数组和」。

解决这个问题须要动静布局技巧，然而 dp 数组的定义比拟非凡。依照咱们惯例的动静布局思路，个别是这样定义 dp 数组：

nums[0..i] 中的「最大的子数组和」为 dp[i]。

如果这样定义的话，整个 nums 数组的「最大子数组和」就是 dp[n-1]。如何找状态转移方程呢？依照数学归纳法，假如咱们晓得了 dp[i-1]，如何推导出 dp[i] 呢？

如下图，依照咱们方才对 dp 数组的定义，dp[i] = 5，也就是等于 nums[0..i] 中的最大子数组和：

那么在上图这种状况中，利用数学归纳法，你能用 dp[i] 推出 dp[i+1] 吗？

实际上是不行的，因为子数组肯定是间断的，依照咱们以后 dp 数组定义，并不能保障 nums[0..i] 中的最大子数组与 nums[i+1] 是相邻的，也就没方法从 dp[i] 推导出 dp[i+1]。

所以说咱们这样定义 dp 数组是不正确的，无奈失去适合的状态转移方程。对于这类子数组问题，咱们就要从新定义 dp 数组的含意：

以 nums[i] 为结尾的「最大子数组和」为 dp[i]。

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这种定义之下，想得到整个 nums 数组的「最大子数组和」，不能间接返回 dp[n-1]，而须要遍历整个 dp 数组：

int res = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < n; i++) {res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;

仍然应用数学归纳法来找状态转移关系：假如咱们曾经算出了 dp[i-1]，如何推导出 dp[i] 呢？

能够做到，dp[i] 有两种「抉择」，要么与后面的相邻子数组连贯，造成一个和更大的子数组；要么不与后面的子数组连贯，自成一派，本人作为一个子数组。

如何抉择？既然要求「最大子数组和」，当然抉择后果更大的那个啦：

// 要么自成一派，要么和后面的子数组合并
dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);

综上，咱们曾经写出了状态转移方程，就能够间接写出解法了：

int maxSubArray(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    if (n == 0) return 0;
    int[] dp = new int[n];
    // base case
    // 第一个元素后面没有子数组
    dp[0] = nums[0];
    // 状态转移方程
    for (int i = 1; i < n; i++) {dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);
    }
    // 失去 nums 的最大子数组
    int res = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i < n; i++) {res = Math.max(res, dp[i]);
    }
    return res;
}

以上解法工夫复杂度是 O(N)，空间复杂度也是 O(N)，较暴力解法曾经很优良了，不过 留神到 dp[i] 仅仅和 dp[i-1] 的状态无关，那么咱们能够进行「状态压缩」，将空间复杂度升高：

int maxSubArray(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    if (n == 0) return 0;
    // base case
    int dp_0 = nums[0];
    int dp_1 = 0, res = dp_0;

    for (int i = 1; i < n; i++) {// dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i-1])
        dp_1 = Math.max(nums[i], nums[i] + dp_0);
        dp_0 = dp_1;
        // 顺便计算最大的后果
        res = Math.max(res, dp_1);
    }
    
    return res;
}

尽管说动静布局推状态转移方程的确比拟玄学，但大部分还是有些法则可循的。

明天这道「最大子数组和」就和「最长递增子序列」十分相似，dp 数组的定义是「以 nums[i] 为结尾的最大子数组和 / 最长递增子序列为 dp[i]」。因为只有这样定义能力将 dp[i+1] 和 dp[i] 建设起分割，利用数学归纳法写出状态转移方程。

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