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跳跃扩散过程为间断演化过程中的偏差提供了一种建模伎俩。然而，跳跃扩散过程的微积分使其难以剖析非线性模型。本文开发了一种办法，用于迫近具备依赖性或随机强度的多变量跳跃扩散的转移密度。通过推导摆布过程时变的方程组，咱们可能通过密度因子化来近似转移密度，将跳跃扩散的动静与无跳跃扩散的动静进行比照。在这个框架内，咱们开发了一类二次跳跃扩散，咱们能够计算出对似然函数的准确近似。随后，咱们剖析了谷歌股票稳定率的一些非线性跳跃扩散模型，在各种漂移、扩散和跳跃机制之间进行。在此过程中，咱们发现了周期性漂移和依赖状态的跳跃机制的根据。

简介

事实世界的过程常常受到许多随机输出源的影响，导致各种随机行为，造成过程轨迹的一个组成部分。因而，在对这种景象进行建模时，模型方程必须思考到过程动静的各种随机性起源。

只管扩散过程在间断过程的建模中被宽泛应用，但通常假如布朗运动作为过程随机演变的驱动机制。如果布朗运动不够，能够对模型过程进行概括，使其利用更加理论。

一个这样的概括是在模型过程的轨迹中包含随机产生的 “ 跳跃 ”。这种批改次要是在金融背景下进行的，其中扩散模型被用来形容价格 / 资产过程的动静，这些价格 / 资产过程在察看到的工夫序列中会呈现看似自发的频繁跳动。例如，人们通常假如一个给定的股票价格过程的对数收益为正态分布。通过假如股票价格过程的动态变化遵循几何布朗运动，这一假如能够很容易地被纳入随机微分方程中。

其中 Xt 示意工夫 t 的股票价格，由此可见，对数(Xt)- 对数(Xs)∼N((μ-σ2/2)(t-s), σ2(t-s))，对于 t >s。然而，股票价格收益率的正态性长期以来始终受到争议，教训证据表明，收益率往往体现出正态分布不能很好复制的特色。其中最广为人知的是模型过程中显著不足重尾的景象。这一点能够通过计算描述性的统计数据来证实，比方察看到的收益率序列的偏度和峰度，随后能够与正态分布下的相应统计数据进行比照。在扩散过程的背景下，这种差别通常是通过建设随机稳定率模型来补救的，其中收益过程的扩散系数自身被视为一个随机过程。也就是说，批改后的过程能够采取以下模式：

其中 a(σ 2 t , t)和 b(σ 2 t , t)别离示意方差过程的漂移和扩散，B (1) t 和 B (2) t 是相干的布朗运动。随机稳定率模型通过容许对数收益的方差随工夫变动，更精确地捕获股票价格收益的尾部行为。

然而，在解释随机稳定率机制时须要留神。事实上，当 B (1) t 和 B (2) t 不相干时，对数收益过程的边际散布是以方差过程的已知初始值为条件的（即 Xt|Xs, σ2 s for t > s），依然是正态分布，即存在强相干，在这种状况下，对数收益的边际散布可能是偏斜的，尾部比正态分布下预测的略厚，由此产生的转移密度可能没有足够的 leptokurtic 来解释短转移期内的极其收益事件。

为了阐明这一点，思考对规范普尔 500 指数（S&P 500）的每日对数收益的滚动预计。让 Xti 示意规范普尔 500 指数在工夫 ti 的值，而后用带宽 h 定义一个峰度滚动估计值。

图形容了峰度的滚动预计和时间差预计，计算为{K(ti, h) – K(ti-1, h) : i = h, h + 1, . . N}，在 1990-01-01 至 2015-12-31 的时间段内应用 h =250 天的带宽。在这个带宽下，差分序列代表了将滚动估计值向前挪动一天所引起的预计峰度的变动，即（大概）过来一年的数据。此外，咱们还将峰度的总体估计值（在整个时间段内计算）与正态分布的估计值叠加在一起。

依据总体预计，样本的峰度显著超过了正态分布的预计。然而，一年的滚动预计显示，只管对数收益系列的峰度通常高于正态分布的峰度，但总体预计的规模可归因于一些极其收益事件的产生。这些事件体现为峰度的滚动估计值中忽然呈现的尖峰，在时间差的估计值中能够分明地看到。

为了解释这种极其事件，Merton（1976）提出在扩散轨迹中退出跳跃，以便建设一个比几何布朗运动的间断门路所预测的更准确的资产价格回报模型，在这种状况下，批改后的随机微分方程（SDE）的模式为

其中 z˙t 示意正态分布的跳跃随机变量，Nt 是强度恒定的泊松过程，即 Nt-Ns∼Poi(λ(t – s))。在这种表述下，极其事件被明确地蕴含在随机微分方程中，作为扩散轨迹中随机产生的不间断跳跃。因而，察看到的对数收益的尾部行为和布朗运动的尾部行为之间的差别，通过退出跳跃机制失去了缓解。在此基础上，咱们能够扩大该模型，以建设一个带有跳跃的随机稳定率模型，例如：

其中跳跃同时影响着收益率和稳定率。利用这一点，能够保留随机稳定率的有用个性，同时间接阐明极其收益事件和稳定率的跳跃。

标量的例子

为了证实矩量方程在剖析跳跃扩散模型中的利用，咱们思考一个具备随机强度的非线性、工夫不均一的跳跃扩散。设

λ(Xt, r˙t, t) = r˙t，其中强度参数 r˙t 的动态变化由间断工夫马尔科夫链 (CTMC) 给出。

转移率矩阵

在方程的动静作用下，该过程体现出线性漂移和稳定，随工夫周期性变动。此外，该过程还受到随机产生的跳跃事件的影响，跳跃强度随工夫在 λ1 和 λ2 之间随机转换。咱们须要评估强度过程随工夫变动的期望值。从˙rt 的转移概率矩阵中，能够失去 

图将失去的近似值与不同工夫点的模仿轨迹计算的频率散布进行了比拟。与矩方程一样，转移密度近似值仿佛精确地复制了指定时间段内的转移密度。周期性稳定的影响能够从转移密度曲面的振荡形态中看出。

 for(i in 1:4)plot(log(moments\[i,\])~time,type='l')
  lines(log(moments\[i,\])~time)

 legend('bottomright',bty='n')

  for(i in 2:5) h1 =simhists\[\[i\]\]
    surface3d(x,ch)  
  plot(1:2, type='n', main="", xlab="", ylab="",axes=FALSE)

通过反复计算不同初始条件下的转移密度近似值 – 咱们不是从低跳频状态开始，而是让过程从高跳频状态开始 – 咱们能够直观地看到随机强度的影响。图比拟了强度过程的两个初始状态的近似过渡密度。在高强度制度下，过渡密度显著比低强度制度下更偏斜。这是很直观的，因为只管无论强度过程的状态如何，跳跃散布都是固定的，但在假设的参数集下，跳跃通常会假如正值。

因而，如果跳跃产生得更频繁，那么与低强度区制下相比，该过程很可能在某一特定工夫内从其初始状态进一步流传。留神到，只管强度过程转换回低强度状态的概率不为零，但与从低强度状态开始相比，均匀而言，在转移期的持续时间内，强度预计会更高。这能够通过比拟假如参数下强度过程的两个初始状态的 h（t, λ, β）来验证。

Parameter True Value Estimate 90% CI
µx 0.50 0.54 (0.39, 0.68)
βx 2.00 1.92 (1.47, 2.33)
σx 0.10 0.11 (0.10, 0.11)
µy 1.00 1.05 (0.92, 1.18)
βy 5.00 4.96 (4.88, 5.01)
σy 0.10 0.11 (0.10, 0.11)
λ 1.00 1.10 (0.82, 1.43)
µz11 0.50 0.46 (0.30, 0.61)
µz21 0.50 0.31 (0.21, 0.45)
σz11 0.50 0.53 (0.41, 0.70)
σz21 0.50 0.55 (0.47, 0.66)

失去的参数估计值与实在的参数集相当吻合，但 μz21 是个显著的例外。然而，仔细检查发现，在跳跃扩散模型下计算出的估计值的确是一个无效的估计值，因为间接从跳跃实现中计算出的值是相当类似的。事实上，在这个试验中，跳跃信号是相当强的，因为跳跃散布的分散性绝对于扩散参数来说是很大的。因而，跳跃和扩散动静之间的对比度很高，足以对跳跃区制的动静做出相当精确的推断。

只管预计的参数靠近实在的参数集，但在模仿中产生的特定的跳跃实现序列蕴含在实在参数集下绝对不可能的值。只管这样，跳跃区制的参数依然能够被精确地提取进去，只管保留了不可能的跳跃序列的属性。

对谷歌股票价格稳定的利用

在次贷危机后的世界里，投资者曾经越来越意识到理解股票价值的大幅稳定对投资组合和金融产品的影响的重要性。因而，剖析金融数据的技术曾经变得越来越简单，而且往往侧重于更好地治理与极其事件相干的危险和机会，包含在高频和低频交易范畴内。

与此同时，数据市场也有了相似的倒退，成千上万的经济变量和股票的高度具体数据简直能够收费取得。期权交易所（CBOE）公布了在次要证券交易所上市的一些大盘股的稳定率指数。通过应用诸如 S & P 500 稳定率指数，这些股票稳定率指数能够量化单个股票价格过程的波动性，而不是股票指数的稳定。

事实上，单个股票过程的动静可能与一组股票的总体动静有很大的不同。因而，股票稳定率指数在量化投资组合中的危险敞口方面十分有用，这些投资组合对此类股票和相干过程有大量投资。通过应用各种跳跃扩散模型，咱们试图对互联网搜寻巨头谷歌的股票稳定率进行建模。

图显示了谷歌股票稳定率（VXGOG）从 2010 年开始到 2015 年底的轨迹，以每日为单位进行采样。在接下来的剖析中，咱们以年为单位来掂量工夫，并应用精确的日期来察看，以构建间断察看的转移期限。

 # 谷歌股票稳定率

 #做一个数据的图表
 plot(Vt~time1,type='l',lwd=1)

为了对稳定率工夫序列进行建模，咱们定义了一些嵌套在 SDE 中的跳跃扩散模型。

跳跃强度为 λθ(Xt, t)，旨在复制稳定率序列的突出特色和动态变化。利用狭义二次方程框架，咱们能够为方程建设一个模板，能够用来拟合各种模式的漂移、扩散和跳跃。为了对稳定率序列的漂移进行建模，咱们应用了线性均值回归的漂移构造。

请留神，先验参数大多是无信息的，然而，它们的确有助于将相干参数限度在适当的畛域内。例如，θ8 被限度在 [0,1] 区间内，否则似然会蕴含多个雷同的模型。咱们能够将跳跃扩散过程拟合到察看到的序列中，并计算出参数估计值。

 # 计算参数估计值
estimates(model_1)

从建模的角度来看，通过比拟模型与传统扩散模型的拟合，能够分明地看到跳跃式扩散的应用。例如，与它的无跳跃对应模型 – 股票稳定率的工夫同质性 CIR 模型相比。

与 DIC 的比拟显示了拟合度的大幅提高。

 # 比拟 DIC 值
dic(model\_1, model\_2)

只管参数估计值能够阐明过程的跳跃区制的动静，但 JGQD.mcmc()函数为评估跳跃事件的概率提供了一个有用的统计数字。从模型输入中，咱们能够拜访列表变量，它给出了在 MCMC 运行的每个迭代中察看到至多一次跳跃的预计均匀概率。因而，咱们能够画出上述概率的频率直方图，以便深刻理解一个典型转移跳跃到来的拟合概率。

 # 做一个每个转移期的均匀跳跃概率的柱状图。hist(zero.jump\[seq(burns,updates,1)\]

依据直方图，咱们能够预期在任何一个交易日看到至多一次稳定率的跳跃，概率约为 6.5%。
作为参考，咱们还叠加了每个转移区间的跳跃概率的解码序列。也就是说，咱们预计了每个察看到的转移期蕴含跳跃的概率（基于根底模型），并人为地抉择了预（后）测的跳跃达到的工夫序列。这是通过强加一个启发式规定来实现的，即 90% 或更高的蕴含跳跃的预计概率（蕴含在模型输入列表变量中）被认为是检测跳跃事件的决定性因素。只管不严格，但对探索性剖析很有用。

从图上看，预计的达到工夫仿佛与稳定率序列中的大幅稳定相吻合。具体来说，一些解码的达到仿佛是结构性的，在稳定率周期性回升之后察看到稳定率的降落 …… 更深刻的剖析将在接下来的钻研中进行，但要思考以下几点。

plot(deprob~time)
abline(h=0.8)

plot(Vt~time1)
for(i in 1:length(at.dates)segments(dates, 10, dates\[i\])

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