什么是分治算法
将手头的问题分成较小的子问题，而后别离解决每个子问题。如果子问题没方法解决，将子问题划分为更小的子问题时，达到无奈划分的阶段时得出后果。最初合并所有子问题的解决方案，以取得原始问题的解决方案。
- 宰割，将问题宰割为较小的子问题，通常采纳递归的模式，直到没有子问题能够进一步宰割为止。
- 解决，当问题无奈宰割，此时应该曾经失去了子问题的答案。
- 合并，解决了较小的子问题后，此阶段将它们递归组合，失去原始问题的答案。
分治算法能够解决什么问题？
- 归并排序
- 疾速排序
- 二分查找
等等
满足应用分治算法的条件
应用分治算法满足的条件：
- 原问题能够合成为若干个规模较小的子问题
- 子问题相互独立
- 子问题的解合并解决后可失去原问题的解
???????? 53. 最大子序和
这道题目更简略不便的解答应该是应用动静布局
思路
将原问题合成为 3 个子问题，最大子序和要么在数组的右边，要么在数组的左边，要么横跨数组两头。，咱们通过递归拆解子问题。
当咱们把问题拆解成，数组的长度只有 1 时，咱们就能够失去子问题的解。因为此时最大的子序和就是数组中元素的值。咱们只须要返回，数组的右边，数组的左边，或者横跨数组两头的最大值即可，这些子问题的解答，最终会组合成原问题的解。
举一个例子????, 求 [4, -3, 5, -2] 的最大子序和。下图是合成的过程
把思路变为代码时，会有一个问题，左右两边能够通过递归获取最大值，如何获取两头的最大值呢？上面是办法的介绍
先计算右边序列外面的蕴含最左边元素的子序列的最大值，也就是从右边序列的最左边元素向左一个一个累加起来，找出累加过程中每次累加的最大值，就是右边序列的最大值，依照同样的办法，找出左边序列的最大值，左右两边的最大值相加，就是蕴含这两个元素的子序列的最大值。
解答
/**
* @param {number[]} nums
* @return {number}
*/
var maxSubArray = function(nums) {
/**
* 求逾越两头的最大值
*/
const getMiddMax = (left, right) => {
let leftMax = Number.MIN_SAFE_INTEGER
let rightMax = Number.MIN_SAFE_INTEGER
let leftSum = 0
let rightSum = 0
for (let i = left.length - 1; i >= 0; i--) {leftSum += left[i]
leftMax = Math.max(leftSum, leftMax)
}
for (let i = 0; i < right.length; i++) {rightSum += right[i]
rightMax = Math.max(rightSum, rightMax)
}
return rightMax + leftMax
}
const divideAndConquer = (arr) => {if (arr.length <= 1) {
// 失去了最小子问题的解答
return arr.length === 1 ? arr[0] : Number.MIN_SAFE_INTEGER;
}
// 持续拆解子问题
const middIndex = Math.floor(arr.length / 2)
const left = arr.slice(0, middIndex)
const right = arr.slice(middIndex)
const middMax = getMiddMax(left, right)
const leftMax = divideAndConquer(left)
const rightMax = divideAndConquer(right)
return Math.max(middMax, leftMax, rightMax)
}
return divideAndConquer(nums)
};
其余题解
这些应用分治办法的解答很多不是最优解，代码还有很多能够优化的中央，能力无限还请见谅
???????? 215. 数组中的第 K 个最大元素
这道题目，之前我应用的是利用小顶堆，在不排序数组的状况下，获取第 K 个最大元素
思路
本题的解答的思路有很多种。最简略的是应用语言内置的排序，将数组排序后返回第 K 个最大元素（然而这样刷题也没有任何意义）。
其余的思路是能够利用堆这种数据结构，最小堆，最大堆都能够。因为堆的顶部，永远是最大值或者最小值。
咱们重点说一下分治的思路，有点相似快排，然而咱们不会像快排一样对整个数组进行排序。只对局部内容进行排序。
取数组的第一个值为基准值，大于它的放在右边，小于它的放在左边。咱们的指标是获取 数组中的第 K 个最大元素，如果右边的数组的长度大于 K，阐明 K 必定在右边的数组。如果 K 的长度大于右边的数组，阐明 K 必定在左边的数组。
在下一次迭代中，咱们能够只解决 K 所存在的那半边的数组。当数组的长度等于 1 时就是 K 了。过程合成如下
解答
/**
* @param {number[]} nums
* @param {number} k
* @return {number}
*/
var findKthLargest = function(nums, k) {
let result = null
const divideAndConquer = (arr, base) => {if (arr.length === 1) {result = arr[0]
return
}
const referenceValue = arr[0]
const min = []
const max = []
for (let i = 1; i < arr.length; i++) {if (arr[i] > referenceValue) {max.push(arr[i])
} else {min.push(arr[i])
}
}
max.push(referenceValue)
const maxLen = max.length + base;
if (maxLen >= k && max.length) {
// 阐明 k 存在在 max 数组中
divideAndConquer(max, base)
} else if (maxLen < k && min.length) {
// 阐明 k 存在在 min 数组中
divideAndConquer(min, maxLen)
}
}
divideAndConquer(nums, 0)
return result
};???????? 169. 少数元素
思路
对半拆分数组。如果少数元素的长度大于数组的 1 /2。那么少数的元素，必定是拆分进去的两个数组，中的至多其中一个数组中的众数（如果少数元素次要集中在数组的两头局部，则拆分进去的两个数组的众数都是少数元素）。
应用对半拆分的思路，合成子问题：
- 当子问题（数组）被合成为长度为 1 时，那么子问题的解（子数组的众数）就是数组中的惟一值
- 当子问题（数组）被合成为长度为 2 时，如果数组中两个元素相等那么众数就是该元素。如果数组中两个元素不相等，能够看作子问题没有解。
- 当右边数组的没有解，左边数组有解时，数组的少数元素就是左边数组的众数
- 当右边数组的有解，左边数组没有解时，数组的少数元素就是右边数组的众数
- 当右边数组的有解，左边数组有解，并且解雷同时，数组的少数元素就是两边数组雷同的解
- 当右边数组的有解，左边数组有解，并且解不雷同时，此时咱们须要遍历数组计数，失去那一个解才是真正的众数。
上面是一个例子，展现了拆解子问题的过程：
解答
/**
* @param {number[]} nums
* @return {number}
*/
var majorityElement = function(nums) {const counter = (arr, target) => {
let count = 0
for (let i = 0; i < arr.length; i++) {if (arr[i] === target) {count += 1}
}
return count
}
const divideAndConquer = (arr) => {if (arr.length === 1) {return arr[0]
}
if (arr.length === 2) {if (arr[0] === arr[1]) {return arr[0]
} else {return null}
}
const middIndex = Math.floor(arr.length / 2)
const left = arr.slice(0, middIndex)
const right = arr.slice(middIndex)
const leftMode = divideAndConquer(left)
const rightMode = divideAndConquer(right)
if (leftMode === null && rightMode !== null) {return rightMode} else if (leftMode !== null && rightMode === null) {return leftMode} else if (leftMode === null && rightMode === null) {return null} else {
// 须要判断下记数
let counterLeft = counter(arr, leftMode)
let counterRight = counter(arr, rightMode)
return counterLeft > counterRight ? leftMode : rightMode;
}
}
return divideAndConquer(nums)
};???? 241. 为运算表达式设计优先级
思路
本题在最初的合并子问题的解时。不像其余分治算法的题目，把子问题的解简略的累加，或者取最大值。本题须要对子问题进行排列组合，获得原始问题的解。
遍历字符串，遇到运算符就将字符串宰割成两局部，而后为宰割进去的两局部增加小括号。合成子问题，直到被格调进去的局部不蕴含运算符为止。而后把子问题进行排列组合，失去最终的解答。
上面是合成的过程:
解答
/**
* @param {string} input
* @return {number[]}
*/
var diffWaysToCompute = function(input) {const result = []
const operatorHash = {
'+': true,
'-': true,
'*': true,
}
// 获取排列组合
const getPermutations = (a, b, operator) => {const hash = {}
const result = []
for (let i = 0; i < a.length; i++) {for (let j = 0; j < b.length; j++) {const key = `((${a[i]})${operator}(${b[j]}))`
if (!hash[key]) {result.push(key)
}
}
}
return result
}
const divideAndConquer = (str, res) => {for (let i = 0; i < str.length; i++) {const operator = str[i]
if (operatorHash[operator]) {const left = str.slice(0, i)
const right = str.slice(i + 1)
const leftRes = []
const rightRes = []
if (isNaN(Number(left))) {divideAndConquer(left, leftRes)
} else {leftRes.push(left)
}
if (isNaN(Number(right))) {divideAndConquer(right, rightRes)
} else {rightRes.push(right)
}
res.push(...getPermutations(leftRes, rightRes, operator))
}
}
}
divideAndConquer(input, result)
// 如果是纯数字的状况
if (result.length === 0) {return [Number(input)]
}
return result.map(item => eval(item));
};???? 395. 至多有 K 个反复字符的最长子串
思路
本题思路，先找到不可能的字符（在字符串中，少于 K 次的字符串），用它们宰割数组（因为如果蕴含它们子串就不可能符合要求）。
将合成出的字符串代入下一次迭代。如果在迭代时发现，不存在不可能的字符的字符，这个字符串就是咱们的解。后果取解中长度最大的即可。
上面是合成过程：
解答
/**
* @param {string} s
* @param {number} k
* @return {number}
*/
var longestSubstring = function(s, k) {if (s.length < k) {return 0}
let result = Number.MIN_SAFE_INTEGER;
const getSplitDots = (str) => {let splitDots = []
const hash = new Map()
for (let i = 0; i < str.length; i++) {const key = str[i]
if (!hash.has(key)) {hash.set(key, [i])
} else {const val = hash.get(key)
hash.set(key, [...val, i])
}
}
const entries = hash.entries()
for (let [key, value] of entries) {if (value.length < k) {splitDots = [...splitDots, key]
}
}
return splitDots
}
const divideAndConquer = (str) => {
// 切割的点
let splitDots = getSplitDots(str)
if (splitDots.length === 0) {result = Math.max(result, str.length);
} else {const arr = str.split(splitDots[0])
for (let i = 0; i < arr.length; i++) {divideAndConquer(arr[i])
}
}
}
divideAndConquer(s)
return result;
};???? 973. 最靠近原点的 K 个点
欧几里得间隔的公式
思路
和 215 题相似，相似快排然而咱们不会对全副的内容进行排序。取数组的第一个值为基准值，求出该点的欧几里得间隔，以该店的欧几里得间隔为基准值，大于基准值放到左边的数组。小于基准值的放到右边的数组。
- 如果 K 等于右边数组的长度，阐明右边的数组就是咱们的答案。
- 如果 K 大于右边数组的长度，阐明右边的数组都是咱们的答案，然而还有一部分的答案在左边的数组中。在下一次迭代时，咱们只须要迭代左边的数组。
- 如果 K 小于右边数组的长度，阐明右边数组中蕴含了咱们的答案，然而还有局部的点，不是咱们的答案。左边的数组中，不会蕴含咱们的答案。在下一次迭代时，咱们须要迭代右边的数组。
上面以 [[3,3],[5,-1],[-2,4]] 为例子做一个简略的图解：
[3,3]的欧几里得间隔，4.24[5,-1]的欧几里得间隔，5.09[-2,4]的欧几里得间隔，4.47
解答
/**
* @param {number[][]} points
* @param {number} K
* @return {number[][]}
*/
var kClosest = function(points, K) {let reuslt = []
// 欧几里得间隔
const getEuclideanDistance = (o1) => {const [x1, y1] = o1;
const x2 = 0;
const y2 = 0
return Math.sqrt((x1 - x2) ** 2 + (y1 - y2) ** 2);
}
const divideAndConquer = (arr) => {if (!!arr.length && K) {const benchmark = getEuclideanDistance(arr[0])
const left = []
const right = []
for (let i = 1; i < arr.length; i += 1) {if (getEuclideanDistance(arr[i]) < benchmark) {left.push(arr[i])
} else {right.push(arr[i])
}
}
if (left.length) {right.push(arr[0])
} else {left.push(arr[0])
}
const len = left.length;
if (K === len) {
K -= len
// K 个点都在 left 中，完结递归
reuslt = [...reuslt, ...left];
} else if (K < len) {
// k 个点都在 left 中，然而 left 中还有多余的点，须要排查
divideAndConquer(left)
} else {
// left 中都是最近的点，还有一部分在 right 中，须要查找 right
K -= len
reuslt = [...reuslt, ...left]
divideAndConquer(right)
}
}
}
divideAndConquer(points)
return reuslt;
};???????? 43. 字符串相乘
本题最简略的办法，就是用程序模仿小学乘法的步骤进行计算。
分治乘法
Karatsuba 乘法是一种疾速乘法。此算法在 1960 年由 Anatolii Alexeevitch Karatsuba 提出，并于 1962 年得以发表。此算法次要用于两个大数相乘。一般乘法的复杂度是 n2，而 Karatsuba 算法的复杂度仅为 3n^log3≈3n^1.585（log3 是以 2 为底的）
上面应用 Karatsuba 乘法合成下 5678 * 1234 的过程
思路
合并子问题的解时，请应用字符串加法，因为测试用例数字可能过大，会超过计算机的下限
解答
// 字符串加法，这里间接拷贝了网上现成的解答
var addition = function(num1, num2) {
let i = num1.length - 1, j = num2.length - 1, add = 0;
const ans = [];
while (i >= 0 || j >= 0 || add != 0) {const x = i >= 0 ? num1.charAt(i) - '0' : 0;
const y = j >= 0 ? num2.charAt(j) - '0' : 0;
const result = x + y + add;
ans.push(result % 10);
add = Math.floor(result / 10);
i -= 1;
j -= 1;
}
return ans.reverse().join('');
}
var padZero = function (num) {
let zero = ''
while (num) {
zero += '0'
num -= 1
}
return zero
}
/**
* @param {string} num1
* @param {string} num2
* @return {string}
*/
var multiply = function(num1, num2) {const divideAndConquer = (str1, str2) => {
let str1High, str1Low, str2High, str2Low, str1Carry, str2Carry, r1, r2, r3, r4
if (str1.length > 1) {const str1MiddIndex = Math.floor(str1.length / 2)
str1High = str1.slice(0, str1MiddIndex)
str1Low = str1.slice(str1MiddIndex)
str1Carry = str1Low.length
} else {
str1High = str1
str1Low = '0'
str1Carry = 0
}
if (str2.length > 1) {const str2MiddIndex = Math.floor(str2.length / 2)
str2High = str2.slice(0, str2MiddIndex)
str2Low = str2.slice(str2MiddIndex)
str2Carry = str2Low.length
} else {
str2High = str2
str2Low = '0'
str2Carry = 0
}
if (str1High.length <= 1 && str2High.length <= 1) {r1 = String(Number(str1High) * Number(str2High)) + padZero(str1Carry + str2Carry)
} else {r1 = divideAndConquer(str1High, str2High) + padZero(str1Carry + str2Carry)
}
if (str1High.length <= 1 && str2Low.length <= 1) {r2 = String(Number(str1High) * Number(str2Low)) + padZero(str1Carry)
} else {r2 = divideAndConquer(str1High, str2Low) + padZero(str1Carry)
}
if (str1Low.length <= 1 && str2High.length <= 1) {r3 = String(Number(str1Low) * Number(str2High)) + padZero(str2Carry)
} else {r3 = divideAndConquer(str1Low, str2High) + padZero(str2Carry)
}
if (str1Low.length <= 1 && str2Low.length <= 1) {r4 = String(Number(str1Low) * Number(str2Low)) + ''
} else {r4 = divideAndConquer(str1Low, str2Low)
}
return addition(addition(r1, r2), addition(r3, r4))
}
const result = divideAndConquer(num1, num2)
if (result[0] === '0') {return '0'}
return result
};后续
leetcode 上一些分治题目的剖析和解答，如有谬误还请斧正。应该能够对分治的思维有点肤浅的认知。共勉吧。